1、12 直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图知识点 斜二测画法思考 1 边长 2 cm 的正方形 ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中， A B与 C D有何关系？ A D与 B C呢？在原图与直观图中， AB 与 A B相等吗？ AD 与 A D呢？答案 A B C D， A D B C， A B AB，A D AD.12思考 2 正方体 ABCD A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案 没有都画成正方形梳理 (1)水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法规则：2在已知图形中建立平面直角坐标系 xOy，画
2、直观图时，它们分别对应 x轴和 y轴，两轴相交于点 O，使 x O y45，它们确定的平面表示水平平面已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴或 y轴的线段已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的 .12(2)立体图形直观图的画法1用斜二测画法画水平放置的 A 时，若 A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 A90，则在直观图中， A45.( )2用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变( )3在斜二测画法中平行于 y 轴的线段在直观图中长度保持不变( )类型一 水平放置的平
3、面图形的直观图例 1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 画法：3(1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系画出相应的 x轴和 y轴，使 x O y45，如图(1)(2)所示；(2)在 x轴上截取 O B OB，在 y轴上截取 O D OD，过点 D作 x轴的平行线12l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 D C DC.连接 B C，如图(2)；(3)去掉辅助线，所得四边形 O B C D就是直角梯形 OBCD 的直观图，如图(3)引申探究若得本例中的直角
4、梯形改为等腰梯形，画出其直观图解 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点 O 为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的 x轴和 y轴，使 x O y45；(2)以 O为中点在 x轴上取 A B AB，在 y轴上取 O E OE，以 E为中点画出12C D x轴，并使 C D CD；(3)连接 B C， D A，所得的四边形 A B C D就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来
5、作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可跟踪训练 1 已知正五边形 ABCDE，如图，试画出其直观图4考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 画法：(1)在图(1)中作 AG x 轴于点 G，作 DH x 轴于点 H.(2)在图(2)中画相应的 x轴与 y轴，两轴相交于点 O，使 x O y45.(3)在图(2)中的 x轴上取 O B OB， O G OG， O C OC， O H OH， y轴上取 O E OE，分别过 G和 H作 y轴的平行线，并在相应的平行线上取12G A GA， H D HD.12 12(4)连接
6、A B， A E， E D， D C，并擦去辅助线 G A， H D， x轴与 y轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 A B C D E(如图(3)类型二 直观图的还原与计算例 2 如图所示，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD 的直观图若A1D1 O y， A1B1 C1D1， A1B1 C1D12， A1D1 O D11.试画出原四边形的形状，并求23出原图形的面积考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形解 如图，建立平面直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD O D11， OC O C12.在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA2 D1A12.在过
7、点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB A1B12.连接 BC，即得到了原图形5由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB2， CD3，直角腰的长度 AD2，所以面积为 S 25.2 32反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与 x轴， y轴平行的直线或线段，且平行于 x轴的线段还原时长度不变，平行于 y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可(2)若一个平面多边形的面积为 S，其直观图的面积为 S，则有 S S 或 S2 S.利24 2用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积跟踪训练 2
8、 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O，若 O B1，那么原三角形 ABO 的面积是( )A. B. C. D212 22 2 2考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为 1，因此面积为 ，又直观图与原平面图形面积12比为 4，所以原图形的面积为 ，故选 C.2 2(2)如图所示，矩形 O A B C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O A6 cm， C D2 cm，则原图形是_(填四边形的形状)考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 菱形解析 如图所示，在原图形 OABC 中，应有
9、 OA O A6(cm)， OD2 O D22 426(cm)， CD C D2(cm)，2 OC 6(cm)， OA OC，又 OA BC， OA BC，OD2 CD2 422 22故四边形 OABC 是菱形类型三 简单几何体的直观图例 3 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图考点 简单几何体的直观图题点 简单几何体的直观图解 画法：(1)画 轴 画 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 ， 三 轴 相 交 于 点 O， 使 xOy 45(或 135)， xOz 90， 如图 .(2)画底面，以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形直观图 ABCD.(3)画顶点在 Oz 轴上截取 OP
10、 使 OP 的长度是原四棱锥的高(4)成图顺次连接 PA， PB， PC， PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图.反思与感悟 简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为 z 轴建系(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面(3)确定顶点：利用与 z 轴平行或在 z 轴上的线段确定有关顶点(4)连线成图跟踪训练 3 用斜二测画法画棱长为 2 cm 的正方体 ABCD A B C D的直观图考点 简单几何体的直观图题点 简单几何体的直观图解 画法：(1)画轴如图，画 x 轴， y 轴， z 轴，三轴相交于点 O，使 xOy45， xOz90.(2)画底面以
11、点 O 为中心，在 x 轴上取线段 MN，使 MN2 cm；在 y 轴上取线段 PQ，使7PQ1 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A， B， C， D，四边形 ABCD 就是正方体的底面 ABCD.(3)画侧棱过 A， B， C， D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上沿 Oz 轴方向分别截取 2 cm 长的线段 AA， BB， CC， DD.(4)成图顺次连接 A， B， C， D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图)1利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观
12、图，图中正确的是( )考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为 21.2下列关于直观图的说法不正确的是( )A原图形中平行于 y 轴的线段，对应线段平行于直观图中 y轴，长度不变B原图形中平行于 x 轴的线段，对应线段平行于直观图中 x轴，长度不变C在画与直角坐标系 xOy 对应的 x O y时， x O y可以画成 45D在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 A解析 平行于 y 轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故选 A.3有一个长为 5 cm，宽为 4 cm
13、 的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_cm2.考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算8答案 5 2解析 该矩形直观图的面积为 545 (cm2)24 24如图，水平放置的 ABC 的斜二测直观图是图中的 A B C，已知A C6， B C4，则 AB 边的实际长度是_考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 10解析 在原图中， AC6， BC428， AOB90， AB 10.62 825画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为 1 cm,2 cm，高为 2 cm)考点 简单几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图解 画法：(1)作水平放置的下底面等边三
14、角形的直观图 ABC，其中 O 为 ABC 的重心， BC2 cm，线段 AO 与 x 轴的夹角为 45， AO2 OD.(2)过 O 作 z 轴，使 xOz90，在 Oz 轴上截取 OO2 cm，作上底面等边三角形的直观图 A B C，其中 B C1 cm，连接 AA， BB， CC，得正三棱台的直观图1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上92用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜” 、 “二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的 O
15、x、 Oy 轴，在直观图中画成 O x、 O y轴，使 x O y45.(2)二测：在直观图中平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.一、选择题1关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )A等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B正方形的直观图为平行四边形C梯形的直观图不是梯形D正三角形的直观图一定为等腰三角形考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 B解析 由直观图的性质知，B 正确2若把一个高为 10 cm 的圆柱的底面画在 x O y平面上，则圆柱的高应画成( )A平行于 z轴且长度为 10 cmB平行于 z轴且长度为 5 cmC与 z轴成
16、45且长度为 10 cmD与 z轴成 45且长度为 5 cm考点 简单几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图答案 A解析 由直观图的性质知，与 z 轴平行的线段长度不变，高与原长相等3如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )10考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 C解析 在 x 轴上或与 x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在 y 轴上或平行于 y 轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的 ，并注意到 xOy90， x O y45，因此由12直观图还原成原图形为选项 C.4下面每个选项的 2 个边长为 1 的正 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是(
17、)考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论5已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为 4，则此正方形的面积为( )A16 B64C16 或 64 D无法确定考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 等于 4 的一边在原图形中可能等于 4，也可能等于 8，所以正方形的面积为 16 或 64.6水平放置的 ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形 A B C，则ABC 是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 C11解析 如图
18、所示，斜二测直观图还原为平面图形，故 ABC 是钝角三角形7.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示， AB 平行于 y轴， BC， AD 平行于 x轴已知四边形 ABCD 的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为( )2A4 cm 2 B4 cm22C8 cm 2 D8 cm22考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 依题意可知 BAD45，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与 BC， AD相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.28已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面
19、的距离为 2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A2 cm B3 cm C2.5 cm D5 cm考点 简单几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图答案 D解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为 235(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为 5 cm.故选 D.二、填空题9水平放置的 ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 B C4， A C3， B C y轴，则 ABC 中 AB 边上的中线的长度为_考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算12答案 732解析 由斜二测画法规则知 AC BC，即 ABC 为直
20、角三角形，其中 AC3， BC8，所以AB ， AB 边上的中线长度为 .7373210在如图所示的直观图中，四边形 O A B C为菱形且边长为 2 cm，则在坐标系 xOy中原四边形 OABC 为_(填形状)，面积为_ cm 2.考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 矩形 8解析 由题意结合斜二测画法，可得四边形 OABC 为矩形，其中 OA2 cm， OC4 cm，四边形 OABC 的面积为 S248(cm 2)11如图所示，四边形 OABC 是上底为 2，下底为 6，底角为 45的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图 O A B C，则在直观图中，梯形的高为_考点
21、平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 22解析 作 CD， BE OA 于点 D， E，则 OD EA 2，OA BC2又 COD45， OD CD2，在直观图中梯形的高为 2 sin 45 .12 22三、解答题1312如图所示，画出水平放置的四边形 OBCD 的直观图考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 画法：(1)过点 C 作 CE x 轴，垂足为 E，如图(1)所示画出对应的 x轴， y轴，使 x O y45，如图(2)所示；(2)如图(2)所示，在 x轴正半轴上取点 B， E，使得 O B OB， O E OE.在 y正半轴上取一点 D，使得 O D OD.过 E作
22、 E C y轴，使 E C EC；12 12(3)连接 B C， C D，并擦去 x轴与 y轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O B C D就是所得直观图13一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为 3 cm，高为 3 cm，圆锥的高为 3 cm，画出此机器部件的直观图考点 简单几何体的直观图题点 简单几何体的直观图解 画法：(1)如图.画 x 轴， y 轴， z 轴，三轴相交于点 O，使 xOy45， xOz90.(2)画圆柱的两底面在 xOy 平面上画出底面圆 O，使直径为 3 cm，在 z 轴上截取 OO，使OO3 cm
23、，过 O作 Ox 的平行线 O x， Oy 的平行线 O y，利用 O x与 O y画出底面圆 O，使其直径为 3 cm.(3)画圆锥的顶点在 z 轴上取一点 P，使 PO等于圆锥的高 3 cm.(4)成图连接 A A， B B， PA， PB，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图.14四、探究与拓展14.如图所示，一个水平放置的正方形 ABCO，在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出正方形的直观图中，顶点 B到 x轴的距离为_考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 22解析 画出直观图，则 B到 x轴的距离为 OA OA .22 12 24 2215在水平放置的平面 内有一个边长为 1 的正方形 A B C D，如图，其中的对角线A C在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算解 四边形 ABCD 的真实图形如图所示， A C在水平位置， A B C D为正方形， D A C A C B45，在原四边形 ABCD 中，DA AC， AC BC，15 DA2 D A2，AC A C ，2 S 四边形 ABCD ACAD2 .2
