1、114.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系知识点一 正弦函数、余弦函数的概念思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值这样，任意给定一个实数 x，有唯一确定的值 sin x(或 cos x)与之对应由这个对应法则所确定的函数 ysin x(或 ycos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是 R.知识点二 几何
2、法作正弦函数、余弦函数的图象思考 1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法” ，其基本步骤如下：作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中 y 轴左侧的 x 轴上取一点 O1，作出以 O1为圆心的单位圆；等分单位圆，作正弦线：从 O1与 x 轴的交点 A 起，把 O1分成 12 等份过 O1上各分点作 x 轴的垂线，得到对应于 0， ， ， ，2 等角的正弦线； 6 3 2找横坐标：把 x 轴上从 0 到 2 这一段分成 12 等份；找纵坐标：把角 x 的正弦线向右平移，使它的起点与 x 轴上对应的点 x 重合，从而
3、得到12 条正弦线的 12 个终点；连线：用光滑的曲线将 12 个终点依次从左至右连接起来，即得到函数 ysin x， x0,2的图象，如图因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 ysin x， x2 k，2( k1)，kZ 且 k0 的图象与函数 ysin x， x0,2)的图象的形状完全一致于是只要将函数ysin x， x0,2)的图象向左、向右平行移动(每次 2 个单位长度)，就可以得到正弦2函数 ysin x， xR 的图象，如图思考 2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案 把 ysin x， xR 的图象向左平移 个单位长度，即可得到 ycos x， xR
4、 的图 2象梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考 1 描点法作函数图象有哪几个步骤？答案 列表、描点、连线思考 2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在 x0,2上的图象时是哪五个点？答案 画正弦函数图象的五点 (0,0) ( 2， 1) (，0) (32， 1) (2，0)画余弦函数图象的五点 (0,1) ( 2， 0) (，1) (32， 0) (2，1)梳理 “五点法”作正弦函数 ysin x(x0,2)、余弦函数 ycos x， x0,2图象的步骤(1)列表x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 0cos
5、x 1 0 1 0 1(2)描点画正弦函数 ysin x， x0,2的图象，五个关键点是(0,0)， ，(，0)， ，(2，0)；( 2， 1) (32， 1)画余弦函数 ycos x， x0,2的图象，五个关键点是(0,1)， ，(，1)， ，(2，1)( 2， 0) (32， 0)(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数 ysin x(x0,2)、余弦函数 ycos 3x(x0,2)的简图1正弦函数 ysin x 的图象向左、右和上、下无限伸展( )提示 正弦函数 ysin x 的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线 y1 和 y1之间2函数 ysin x 与 ysin( x)的
6、图象完全相同( )提示 二者图象不同，而是关于 x 轴对称3余弦函数 ycos x 的图象与 x 轴有无数个交点( )4余弦函数 ycos x 的图象与 ysin x 的图象形状和位置都不一样( )提示 函数 ycos x 的图象与 ysin x 的图象形状一样，只是位置不同类型一 “五点法”作图的应用例 1 利用“五点法”作出函数 y1sin x(0 x2)的简图考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数的图象解 取值列表：x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 01sin x 1 0 1 2 1描点连线，如图所示反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图 “五点”即 y
7、sin x 或ycos x 的图象在0,2内的最高点、最低点和与 x 轴的交点 “五点法”是作简图的常用方法跟踪训练 1 (1)用“五点法”作出函数 y1cos x(0 x2)的简图考点 余弦函数的图象题点 五点法作余弦函数的图象4解 列表如下：x 0 2 32 2cos x 1 0 1 0 11cos x 0 1 2 1 0描点并用光滑的曲线连接起来，如图(2)(2017长沙检测)利用正弦或余弦函数图象作出 y 的图象|sin(x32)|考点 余弦函数的图象题点 五点法作余弦函数的图象解 由于 y |cos x|，因此只需作出 y |cos x|的图象即可，而 y|cos |sin(x32)
8、|x|可由 ycos x 将 x 轴下方的图象折到 x 轴上方，图象如下：类型二 利用正、余弦函数图象解不等式命题角度 1 利用正、余弦函数图象解不等式例 2 利用正弦曲线，求满足 0；( ， 2)当 x 时， x0，则 xcos x0，cos x0，则 xcos x0；(0， 2)当 x 时， x0，cos x0，则 xcos x0，故选 D.( 2， )5下列各组函数中图象相同的是( ) ycos x 与 ycos( x) ysin 与 ysin(x 2) (x 2) ysin x 与 ysin( x) ysin(2 x)与 ysin xA B C D考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
9、题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案 D解析 由诱导公式知，只有中， ysin(2 x)sin x.6若 sin 1log 2x，则实数 x 的取值范围是( )A1,4 B.14， 1C2,4 D.14， 4考点 正弦函数的图象11题点 正弦函数图象的简单应用答案 A解析 由正弦函数的图象，可知1sin 1，所以11log 2x1，整理得 0log 2x2，解得 1 x4，故选 A.7方程 sin x 的根的个数是( )x10A7 B8 C9 D10考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 A解析 在同一坐标系内画出 y 和 ysin x 的图象如图所示x10根据图象可知方程
10、有 7 个根二、填空题8函数 f(x)lg cos x 的定义域为_25 x2考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点 正弦函数、余弦函数的定义域答案 5， 32) ( 2， 2) (32， 5解析 由题意，得 x 满足不等式组Error!即Error! 作出 ycos x 的图象，如图所示结合图象可得 x . 5， 32) ( 2， 2) (32， 59函数 f(x)Error!则不等式 f(x) 的解集是_12考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 Error!12解析 在同一平面直角坐标系中画出函数 f(x)和 y 的图象(图略)，由图易得 x012 32或 2 k x
11、2 k， kN. 6 5610若动直线 x a 与函数 f(x)sin x 和 g(x)cos x 的图象分别交于 M， N 两点，则| MN|的最大值为_考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案 2解析 在同一坐标系中作出函数 f(x)和 g(x)的图象，如图所示，易知当 x a k (kZ)时，| MN|取得最大值 . 4 |sin(k 4) cos(k 4)| 211(2017长沙浏阳一中期末)有下列命题： ysin | x|的图象与 ysin x 的图象关于 y 轴对称； ycos( x)的图象与 ycos| x|的图象相同； y|sin x|的
12、图象与 ysin( x)的图象关于 x 轴对称； ycos x 的图象与 ycos( x)的图象关于 y 轴对称其中正确命题的序号是_考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案 解析 对于， ycos( x)cos x， ycos| x|cos x，故其图象相同；对于， ycos( x)cos x，故这两个函数图象关于 y 轴对称，作图(图略)可知均不正确三、解答题12用“五点法”画出函数 y sin x， x0,2的简图12考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数的图象解 (1)取值列表如下：x 0 2 32 213sin x 0 1 0 1 0sin
13、 x12 12 32 1212 12(2)描点、连线，如图所示13根据 ycos x 的图象解不等式： cos x ， x0，232 12考点 余弦函数的图象题点 余弦函数图象的综合应用解 函数 ycos x， x0,2的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为Error!.四、探究与拓展14已知函数 y2sin x 的图象与直线 y2 围成一个封闭的平面图形，( 2 x 52)那么此封闭图形的面积为( )A4 B8 C4 D2考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 C解析 数形结合，如图所示y2sin x， x 的图象与直线 y2 围成的封闭平面图形的面积相当于由 2， 5214x ， x ， y0， y2 围成的矩形面积，即 S 24. 2 52 (52 2)15函数 f(x)sin x2|sin x|， x0,2的图象与直线 y k 有且仅有两个不同的交点，求 k 的取值范围考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用解 f(x)sin x2|sin x|Error!图象如图所示，若使 f(x)的图象与直线 y k 有且仅有两个不同的交点，根据图象可得 k 的取值范围是(1,3)
