1、172 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体 体积公式柱体圆柱、棱柱V 柱体 ShS柱体底面积， h柱体的高锥体圆锥、棱锥V 锥体 Sh13S锥体底面积， h锥体的高台体圆台、棱台V 台体 (S 上 S 下 )h13 S上 S下S 上 、 S 下 台体的上、下底面面积， h高知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V Sh V (S S)h V Sh.13 S S 1321锥体的体积等于底面面积与高之积( )2台体的体积可转化为两个锥体的
2、体积之差( )类型一 多面体的体积例 1 如图，四边形 ABCD 为正方形， QA平面 ABCD， PD QA， QA AB PD.12(1)证明： PQ平面 DCQ；(2)求棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值(1)证明 由题知四边形 PDAQ 为直角梯形因为 QA平面 ABCD， QA平面 PDAQ，所以平面 PDAQ平面 ABCD，交线为 AD.又四边形 ABCD 为正方形， DC AD，所以 DC平面 PDAQ，可得 PQ DC.在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ PQ PD，22则 PQ QD.又 DC QD D， DC， QD平面 DCQ，所以 PQ平面 DC
3、Q.(2)解 设 AB a.由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD 的高，所以棱锥 Q ABCD 的体积 V1 a3.13由(1)知 PQ 为棱锥 P DCQ 的高而 PQ a， DCQ 的面积为 a2，222所以棱锥 P DCQ 的体积 V2 a3.13故棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值为 1.反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即3可(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几
4、部分，分别求体积跟踪训练 1 如图，在三棱柱 1ABC三中，若 E， F 分别为 AB， AC 的中点，平面EBCF将三棱柱分成体积为 l2V的两部分，那么 12:V_.答案 75解析 设三棱柱的高为 h，底面的面积为 S，体积为 V，则 V V1 V2 Sh.因为 E， F 分别为 AB， AC 的中点，所以 AEF S，141V h Sh，13(S 14S SS4) 7122 Sh 1 Sh，故 12:5V三.512类型二 旋转体的体积例 2 体积为 52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的 9 倍，求截得这个圆台的圆锥的体积解 由底面面积之比为 19 知，体积之比为 127.截
5、得的小圆锥与圆台体积比为 126，小圆锥的体积为 2 cm3，故原来圆锥的体积为 54 cm3.反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键跟踪训练 2 设圆台的高为 3，如图，在轴截面中母线 AA1与底面直径 AB 的夹角为 60，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为_4考点 题点 答案 21解析 设上，下
6、底面半径，母线长分别为 r， R， l.作 A1D AB 于点 D，则 A1D3， A1AB60，又 BA1A90， BA1D60， AD ，A1Dtan 60 3 R r .3BD A1Dtan 603 ，3 R r3 . R2 ， r ，而 h3.3 3 3 V 圆台 h(R2 Rr r2) 3(2 )22 ( )221.13 13 3 3 3 3圆台的体积为 21.类型三 几何体体积的求法命题角度 1 等体积法例 3 如图，已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体， E 为 AA1的中点， F 为 CC1上一点，求三棱锥 A1 D1EF 的体积考点 柱体、锥体、台体的体积题
7、点 锥体的体积解 11ADEFADEV三锥 锥三51 2124ADESa三又三棱锥 F A1D1E 的高为 CD a，12313V三锥三1.ADEFa三三 棱 锥反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理(2)利用等体积法可求点到面的距离跟踪训练 3 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，在三棱锥 A1 ABD 中，求 A 到平面 A1BD 的距离 d.考点 题点 解 在三棱锥 A1 ABD 中， AA1是三棱锥 A1 ABD 的高， AB AD AA11， A1B BD A1D .2 121 d，13 12 13 12 2 32 2 d .33命题角度 2 割补
8、法例 4 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形， EF AB， EF2， EF与平面 AC 的距离为 3，求该多面体的体积考点 题点 解 如图，连接 EB， EC， AC.四棱锥 E ABCD 的体积 VE ABCD 42316.13因为 AB2 EF， EF AB，6所以 S EAB2 S BEF.所以 VF EBC VC EFB VC ABE VE ABC12 12 VE ABCD4.12 12所以该多面体的体积 V VE ABCD VF EBC16420.反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“
9、割” ，什么时候“补” ， “割”时割成几个图形，割成什么图形， “补”时补上什么图形，都需要灵活的选择跟踪训练 4 如图所示，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积考点 题点 解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为2 2520，故所求几何体的体积为 10.1.已知高为 3 的棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为 1 的正三角形(如图)，则三棱锥 B1ABC的体积为( )A. B.14 12C. D.36 34考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 D解析 V Sh 3 .13
10、 13 34 3472圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 ，则圆锥的体积是( )2A. B. C64 D128 1283 643 2考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意知 2r ，即 l r，l2 l2 2 S 侧 rl r216 ，2 2解得 r4. l4 ，圆锥的高 h 4，2 l2 r2圆锥的体积为 V Sh 4 24 .13 13 6433棱台的上、下底面面积分别是 2,4，高为 3，则该棱台的体积是( )A186 B622 2C24 D18考点 题点 答案 B解析 V (24 )362 .13 24 24已知
11、某圆台的上、下底面面积分别是 ，4，侧面积是 6，则这个圆台的体积是_考点 柱体、锥体、台体的体积题点 台体的体积答案 733解析 设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R，母线长为 l，高为 h，则 S 上 r2， S下 R24. r1， R2， S 侧 ( r R)l6. l2， h ，3 V (1 22 212) .13 3 7335如图是一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为 20 cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降_cm.8考点 题点 答案 0.6解析 将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积设水面下降的
12、高度为 x cm，则 2x 220，(202) 13 (62)得 x0.6 cm.1柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体 Sh V 台体 h(S S) V 锥体 Sh. S S 13 SS S 0 132在三棱锥 A BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA BCD， h .这3VS BCD种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中 V 一般用换顶点法求解，即VA BCD VB ACD VC ABD VD ABC，求解的原则是 V 易求，且 BCD 的面积易求3求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解一、选择题
13、1.如图， ABC A B C是体积为 1 的棱柱，则四棱锥 C AA B B 的体积是( )A. B. C. D.13 12 23 34考点 题点 9答案 C解析 VC A B C VABC A B C ，13 VC AA B B VABC A B C .23 232.如图，已知正三棱锥 S ABC， D， E 分别为底面边 AB， AC 的中点，则四棱锥 S BCED 与三棱锥 S ABC 的体积之比为( )A12 B23C34 D43答案 C解析 两锥体高相等，因此 V 四棱锥 S BCED V 三棱锥 S ABC S 四边形 BCED S ABC34.3已知圆锥的母线长为 8，底面圆的
14、周长为 6，则它的体积是( )A9 B955 55C3 D355 55考点 题点 答案 C解析 设圆锥的底面圆的半径为 r，高为 h，则 2 r6， r3. h ，64 32 55 V r2h3 .13 554.如图，在梯形 ABCD 中， ABC ， AD BC， BC2 AD2 AB2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在 2的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D253 43 23考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案 A10解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为 1 22 1
15、21 .13 535若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的母线长为( )3A2 B2 C. D.2 2 3考点 题点 答案 A解析 如图所示，设等边三角形 ABC 为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为 ABC 的边长，且 S ABC AB2， AB2， AB2.34 3 346如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，则三棱锥 D1 ACD 的体积是( )A. B.16 13C. D112答案 A解析 三棱锥 D1 ADC 的体积 V S ADCD1D ADDCD1D .13 13 12 13 12 167将若干毫升水倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形器皿
16、中，量得水面高度为 6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A6 cm B6 cm3C2 cm D3 cm318 312考点 柱体、锥体、台体的体积11题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥中水的底面半径为 r cm，由题意知 r2 r2 26，13 3得 r2 ，3水面的高度是 2 6 cm.3 38正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 ， D 为 BC 的中点，则三棱锥3A B1DC1的体积为( )A1 B. C3 D.32 32考点 题点 答案 A解析 在正 ABC 中， D 为 BC 中点，则有 AD AB ， 1BCSA 2 .3
17、2 3 12 3 3又平面 BB1C1C平面 ABC，平面 BB1C1C平面 ABC BC，AD BC， AD平面 ABC， AD平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 A B1DC1底面上的高 11DCVSA三三锥 AD 1.13 3 3二、填空题9设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2.若它们的侧面积相等，且 ，则 的值是_S1S2 94 V1V2考点 题点 答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1， r2和 h1， h2，由 ，得 ，则 .S1S2 94 r21 r2 94 r1r2 32由圆柱的侧面积相等，得 2 r1h12 r2h2，即 r
18、1h1 r2h2，12所以 .V1V2 r21h1 r2h2 r1r2 3210.如图，在 ABC 中， AB8， BC10， AC6， DB平面 ABC，且AE FC BD， BD3， FC4， AE5.则此几何体的体积为_考点 题点 答案 96解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA BB CC8，所以 V 几何体 V 三棱柱 S ABCAA 24896.12 12 1211.如图，在三棱柱 A1B1C1 ABC 中，已知 D， E， F 分别为 AB， AC， AA1的中点，设三棱锥A FED 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1 ABC 的体积为 V2，则 V1 V2的值
19、为_考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 124解析 设三棱柱的高为 h， F 是 AA1的中点，三棱锥 F ADE 的高为 ，h2 D， E 分别是 AB， AC 的中点， S ADE S ABC，1413 V1 S ADE ， V2 S ABCh，13 h2 .V1V2 16S ADEhS ABCh 124三、解答题12在四边形 ABCD 中， A(0,0)， B(1,0)， C(2,1)， D(0,3)，绕 y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积解 如图为所得旋转体，由一个圆锥和一个圆台组成 C(2,1)， D(0,3)，圆锥的底面半径 r2，高 h2. V
20、圆锥 r2h 2 2213 13 . B(1,0)， C(2,1)，83圆台的两个底面半径 R2， R1，高 h1. V 圆台 h( R2 R 2 RR)13 1(2 21 221) ，13 73 V V 圆锥 V 圆台 5.13.如图所示是一个边长为 5 的正方形，剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图，2求该圆锥的体积考点 题点 解 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h，则依题意有 2 l2 r，14 l4 r.又 AC OC OA r r l( 5) r，且 AC ( 5)，2 2 2 2( 5) r( 5) ，2 2 214 r ， l4 ，2 2 h ，l2 r2 30 V
21、 圆锥 r2h ( )2 .故该圆锥的体积为 .13 13 2 30 2303 2303四、探究与拓展14若正三棱台 A1B1C1 ABC 的两底面边长分别为 2,8，侧棱长等于 6，则此三棱台的体积V_.答案 42 2解析 如图，设 D1， D 分别为 A1B1， AB 的中点， O1， O 为上、下两底面的中心，则 O1O 为棱台的高 h， O1C1 ， OC ，233 833作 C1H OC 于点 H，则 C1H h，且 CH2 ，故 h C1H 2 .3 36 12 6 ABS ， S ABC16 ，3 3 V 42 .3 43 163263 215.在三棱台 ABC A1B1C1中， AB A1B112，则三棱锥 A1 ABC， B A1B1C， C A1B1C1的体积之比是多少？考点 题点 解 设棱台的高为 h，S ABC S，则 14.ABCS三 1AV三 S ABCh Sh，13 13114.CBC三15又 V 台 h(S4 S2 S) Sh，13 73 1BAC三 V 台 11ABCAB三 Sh Sh Sh Sh.73 13 43 23 1ABC三 1AB三 1CAB三124.
