1、1第一章 三角函数章末复习学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念 .2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式 .3.能画出 ysin x， ycos x， ytan x 的图象.4.理解三角函数 ysin x， ycos x， ytan x 的性质.5.了解函数 y Asin(x )的实际意义，掌握函数y Asin(x )图象的变换1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么：(1)y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y；(2)x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x；(3) 叫做 的正切，记作 tan ，即 tan
2、 (x0)yx yx2同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2 cos 2 1.(2)商数关系：tan .sin cos ( k 2， k Z)3诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“ k (kZ)”的诱导公式当 k 为偶数时，函数名不 2改变；当 k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把 视为锐角时原函数值的符号记2忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限” 4正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数 ysin x ycos x ytan x图象定义域 R Rx|xR 且 xk ， kZ 2值域 1,1 1,1 R对称性对称轴： x k (kZ)； 2对称中心：( k，0)( kZ)对称轴：
3、 x k( kZ)；对称中心：(kZ)(k 2， 0)对称中心：(kZ)，(k2， 0)无对称轴奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数周期性 最小正周期：2 最小正周期：2 最小正周期：单调性在Error! Error!(kZ) 上单调递增；在Error!Error!(kZ)上单调递减在2 k，2 k(kZ)上单调递增；在2k，2 k( kZ)上单调递减在开区间Error!Error!(kZ) 上递增最值在 x 2 k( kZ)时， 2ymax1；在x 2 k( kZ)时， 2ymin1在 x2 k( kZ)时，ymax1；在x2 k( kZ)时，ymin1无最值类型一 三角函数的化简与求值例 1 (
4、2018牌头中学月考)已知 f( ) .sin( 2)cos(32 )tan 5 tan sin 3 (1)化简 f( )；3(2)若 是第三象限角，且 cos ，求 f( )的值；( 32) 15(3)若 ，求 f( )的值313考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值解 (1) f( ) cos .cos sin tan tan sin (2)cos sin ，( 32) 15sin .15又 是第三象限角，cos .1 sin21 ( 15)2 256 f( ) .256(3) 62 ，313 53 f cos(313 ) ( 313 )cos ( 62 53)cos cos
5、.53 3 12反思与感悟 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值在应用中，要注意掌握解题的技巧比如：已知 sin cos 的值，可求 cos sin ，注意应用(cos sin )212sin cos .跟踪训练 1 已知 是三角形的内角，且 sin cos .15(1)求 tan 的值；(2)把 用 tan 表示出来，并求其值1cos2 sin2考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值解 (1)由 sin cos ，154得 12sin cos ，125所以 sin cos ，1225因为 是三角形的内角，所以 sin 0，cos 0， A0， | |0， 0， xR)在区
6、间 上的图 6， 56象为了得到这个函数的图象，只要将 ysin x(xR)的图象上所有的点( )A向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 3 12B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 3C向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 6 12D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 6考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 A6解析 由题图知， A1， T ，所以 2，所以 f(x)sin(2 x )，56 ( 6) 2T又图象过点 ，由
7、五点法知 ，所以 ，所以 ysin .故将函( 3， 0) 23 3 (2x 3)数 ysin x 的图象先向左平移 个单位长度后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来 3的 (纵坐标不变)，可得函数 ysin 的图象12 (2x 3)类型三 三角函数的最值或值域命题角度 1 可化为 y Asinx k 型例 3 求函数 y2sin 3， x0，的最大值和最小值(x 6)考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值解 x0， x ， 6 6， 76 sin 1.12 (x 6)当 sin 1，即 x 时， y 取得最小值 1.(x 6) 3当 sin ，即 x 时，
8、y 取得最大值 4.(x 6) 12函数 y2sin 3， x0，的最大值为 4，最小值为 1.(x 6)反思与感悟 利用 y Asin(x ) k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响跟踪训练 3 函数 f(x)3sin ， x 的值域为( )(2x 6) 0， 2A. B.32， 32 32， 3C. D.332， 332 332， 3考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点 正弦函数、余弦函数的值域答案 B解析 当 x 时，2 x ，0， 2 6 6， 56sin ，(2x 6) 12， 17故 3sin ，(2x 6) 32， 3即此时函数 f(x)的值域是 .32， 3命题
9、角度 2 可化为 sin x 或 cos x 的二次函数型例 4 已知| x| ，求函数 f(x)cos 2xsin x 的最小值 4考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题解 y f(x)cos 2xsin xsin 2xsin x1.令 tsin x，| x| ， sin x . 4 22 22则 y t2 t1 2 ，(t12) 54( 22 t 22)当 t ，即 x 时， f(x)有最小值，且最小值为 2 .22 4 ( 22 12) 54 1 22反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错跟踪训练 4 (2017全国)函数 f(x)
10、sin 2x cos x 的最大值是 334(x 0， 2)考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题答案 1解析 f(x)1cos 2x cos x334 21.(cos x32) x ，cos x0,1，0， 2当 cos x 时， f(x)取得最大值，最大值为 1.32类型四 数形结合思想在三角函数中的应用例 5 如果关于 x 的方程 sin2x(2 a)sin x2 a0 在 x 上有两个实数根， 6， 56求实数 a 的取值范围考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用8解 sin 2x(2 a)sin x2 a0
11、，即(sin x2)(sin x a)0.sin x20，sin x a，因此此题转化为求在 x 上，sin x a 有两个实数根时 a 的取值范围 6， 56由 ysin x， x 与 y a 的图象(图略)知 a0， 00， 2， y1sin(2 x )，当 x 时，01sin ，720 (2720 )2 2 k (kZ)，720 2 2 k 2 k (kZ) 2 710 65 y1sin 1sin(2x65) (2x 5)1sin ，故选 D.(2x 5)6(2018金华东阳中学检测)已知 ，则 等于( ) 2， 1 2sin sin( 2 )Asin cos Bcos sin C(si
12、n cos ) Dsin cos 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值14答案 A7(2017宁波期末)下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x 对称的是( ) 6A ysin B ysin(12x 12) (2x 6)C ycos D ycos(12x 6) (2x 6)考点 求三角函数的解析式题点 根据三角函数的图象求解析式答案 B解析 函数的最小正周期为 ，则 ， 2，2据此可得选项 AC 错误；考查选项 BD：当 x 时，sin sin 1，满足题意； 6 (2x 6) (2 6 6)当 x 时，cos cos 0，不满足题意，故选 B. 6 (2x
13、6) (2 6 6)二、填空题8函数 y2sin 的最小正周期在 内，则正整数 m 的值是 (m3x 3) (23， 34)考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用答案 26,27,28解析 T ，又 0， 0， | |0)的图象向左平移 个单位长度得到函数 y g(x)的( x 3) 3图象若 y g(x)在 上为增函数，则 的最大值为 6， 4考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 215已知函数 y asin b 在 x 上的值域为5,1，求 a， b 的值(2x 6) 0， 2考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点 正弦函数、余弦函数的值域解 x ，0， 22 x ，sin . 6 6， 76 (2x 6) 12， 1当 a0 时，Error!解得Error!当 a0 时，Error!解得Error! a， b 的取值分别是 4，3 或4，1.
