1、114.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握 ysin x， ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握 ysin x， ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y Asin(x )及 y Acos(x )的单调区间知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R，值域都是1,1对于正弦函数 ysin x， xR，有：2当且仅当 x 2 k， kZ 时，取得最大值 1；2当且仅当 x 2 k， kZ 时，取得最小值
2、1.2对于余弦函数 ycos x， xR，有：当且仅当 x2 k， kZ 时，取得最大值 1；当且仅当 x(2 k1)， kZ 时，取得最小值1.知识点二 正弦、余弦函数的单调性思考 1 观察正弦函数 ysin x， x 的图象正弦函数在 上函数值2， 32 2， 32的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当 x 时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由1 增大到 1；2， 2当 x 时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由 1减小到1.2， 32推广到整个定义域可得当 x (kZ)时，正弦函数 ysin x是增函数，函数值由1 增大2 2k ， 2 2k 到 1；
3、当 x (kZ)时，正弦函数 ysin x是减函数，函数值由 1减小到2 2k ， 32 2k 1.思考 2 观察余弦函数 ycos x， x，的图象余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当 x，0时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x的值由1 增大到 1；当 x0，时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x的值由 1减小到1.3推广到整个定义域可得当 x2 k，2 k， kZ 时，余弦函数 ycos x是增函数，函数值由1 增大到 1；当 x2 k，(2 k1)， kZ 时，余弦函数 ycos x是减函数，函数值由 1减小到1.思考 3 正弦函数、
4、余弦函数的单调区间是什么？答案 ysin x的增区间为 ， kZ，减区间为2 2k ， 2 2k ， kZ.2 2k ， 32 2k ycos x的增区间为2 k，2 k， kZ，减区间为2 k，2 k， kZ.梳理 解析式 ysin x ycos x图象值域 1,1 1,1单调性在Error! Error!， kZ 上递增，在Error!Error!， kZ 上递减在2 k，2 k， kZ 上递增，在2 k，2 k， kZ 上递减最值 当 x 2 k， kZ 时， ymax1；当2x 2 k， kZ 时， ymin12 当 x2 k， kZ 时， ymax1；当x2 k， kZ 时， ymi
5、n11正弦函数在定义域上是单调函数( )提示 正弦函数不是定义域上的单调函数2正弦函数在第一象限是增函数( )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如 sin .(53) 3 32 6 12 ( 53) 63存在实数 x，使得 cos x .( )2提示 余弦函数最大值为 1.4余弦函数 ycos x在0，上是减函数( )4提示 由余弦函数的单调性可知正确类型一 求正弦、余弦函数的单调区间例 1 求函数 y2sin 的单调递增区间(4 x)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 y2sin 2sin ，(4 x) (x 4)令 z x ，则 y2s
6、in z.4因为 z是 x的一次函数，所以要求 y2sin z的单调递增区间，即求 sin z的单调递减区间，即 2k z2 k (kZ)2 322 k x 2 k (kZ)，2 4 32即 2k x2 k (kZ)，34 74函数 y2sin 的单调递增区间为 (kZ)(4 x) 2k 34， 2k 74反思与感悟 用整体替换法求函数 y Asin(x )或 y Acos(x )的单调区间时，如果式子中 x的系数为负数，先利用诱导公式将 x的系数变为正数再求其单调区间求单调区间时，需将最终结果写成区间形式跟踪训练 1 求函数 f(x)2cos 的单调递增区间(2x6)考点 正弦函数、余弦函数
7、的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 令2 k2 x 2 k， kZ，6解得 k x k， kZ，512 12所以函数 f(x)的单调递增区间是 ， kZ.512 k ， 12 k 类型二 正弦、余弦函数单调性的应用5命题角度 1 利用正、余弦函数的单调性比较大小例 2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin 196与 cos 156；(2)cos 与 cos .(235 ) ( 174 )考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用解 (1)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin
8、66.0sin 66，即 sin 196cos 156.(2)cos cos cos cos ，(235 ) 235 (4 35 ) 35cos cos cos cos .(174 ) 174 (4 4) 40”连接)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 cos 1cos 2cos 3解析 由于 0cos 2cos 3.命题角度 2 已知三角函数的单调性求参数范围例 3 已知 是正数，函数 f(x)2sin x 在区间 上是增函数，求 的取值范3， 4围考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用解 由 2 k x 2 k( kZ)，
9、 0，得2 2 x ， kZ，2 2k 2 2k6 f(x)的单调递增区间是 ， kZ.2 2k ， 2 2k 根据题意，得 (kZ)，3， 4 2 2k ， 2 2k 从而有Error! 解得 00，函数 f(x)sin 在 上单调递减，则 的取值范( x4) (2， )围是( )A. B.12， 54 12， 34C. D(0,2(0，12考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 取 ， f(x)sin ，54 (54x 4)其减区间为 ， kZ，85k 5， 85k 显然 ， kZ，排除 B，C.(2， ) 85k 5， 85k 取 2， f(x)
10、sin ，(2x4)其减区间为 ， kZ，k 8， k 58 显然 ， kZ，排除 D.(2， ) k 8， k 58 类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例 4 求函数 f(x)2sin 2x2sin x ， x 的值域12 6， 56考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值7解 令 tsin x，因为 x ，6， 56所以 t ，则 f(x)可化为12， 1y2 t22 t 2 21， t ，12 (t 12) 12， 1所以当 t 时， ymin1，12当 t1 时， ymax ，72故 f(x)的值域是 .1，72反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配
11、方法、判别式法、反比例函数法等三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如 ysin( x )的三角函数，令 t x ，根据题中 x的取值范围，求出 t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出 ysin t的最值(值域)(2)形如 y asin2x bsin x c(a0)的三角函数，可先设 tsin x，将函数y asin2x bsin x c(a0)化为关于 t的二次函数 y at2 bt c(a0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)(3)对于形如 y asin x(或 y acos x)的函数的最值还要
12、注意对 a的讨论8跟踪训练 4 已知函数 f(x)2 asin x b的定义域为 ，函数的最大值为 1，最3， 23小值为5，求 a和 b的值考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值解 x ， sin x1.3 23 32若 a0，不满足题意若 a0，则Error!解得Error!若 a0，则Error!解得Error!故 a126 ， b2312 或 a126 ， b1912 .3 3 3 31函数 ycos x1 的最小值是( )A0 B1 C2 D1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 余弦函数的最大值与最小值答案 C解析 cos x1,1，所以 y
13、cos x1 的最小值为2.2函数 ysin 2 x的单调递减区间是( )A. (kZ)2 2k ， 32 2k B. (kZ)k 4， k 34C. (kZ) 2k ， 3 2k D. (kZ)k 4， k 4考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 B解析 由 2k 2 x2 k ， kZ，得 k x k ， kZ，2 32 4 34 ysin 2 x的单调递减区间是 (kZ)k 4， k 343下列不等式中成立的是( )9Asin sin Bsin 3sin 2(8) ( 10)Csin sin Dsin 2cos 175 ( 25 )考点 正弦函数、余弦
14、函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 D解析 sin 2cos cos ，(2 2) (2 2)且 0cos 1，2 (2 2)即 sin 2cos 1.故选 D.4函数 ycos x在区间， a上为增函数，则 a的取值范围是_考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 (，0解析 因为 ycos x在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有0， 0)的单调区间的方法把 x 看成一个整体，由2k x 2 k (kZ)解出 x的范围，所得区间即为增区间，由2 2102k x 2 k (kZ)解出 x的范围，所得区间即为减区间若 0且单调递减的区间(x2 3)2 k f(cos ) B f(sin )f(sin )C f(sin )f(cos ) D f(sin ) ， 0，2 2 2sin sin ，即 1sin cos 0，(2 )1f(cos )， f(sin ) f(cos )， f(sin )0， f(x)max a b ，3f(x)min a b2.32由Error! 得Error!
