1、专项限时集训(二)立体几何中的探索性与存在性问题(对应学生用书第 115页)(限时：60 分钟)1(本小题满分 14分)(南京市、盐城市 2017届高三第一次模拟)如图 3，在直三棱柱ABC A1B1C1中， BC AC， D， E分别是 AB， AC的中点图 3(1)求证： B1C1平面 A1DE；(2)求证：平面 A1DE平面 ACC1A1.证明 (1)因为 D， E分别是 AB， AC的中点，所以 DE BC， 2分又因为在三棱柱 ABC A1B1C1中， B1C1 BC，所以 B1C1 DE. 4分又 B1C1平面 A1DE， DE平面 A1DE，所以 B1C1平面 A1DE. 6分(
2、2)在直三棱柱 ABC A1B1C1中， CC1底面 ABC，又 DE底面 ABC，所以 CC1 DE.8分又 BC AC， DE BC，所以 DE AC，10 分又 CC1， AC平面 ACC1A1，且 CC1 AC C，所以 DE平面 ACC1A1.12分又 DE平面 A1DE，所以平面 A1DE平面 ACC1A1. 14分2(本小题满分 14分)如图 4所示，已知在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AD DC， AB DC， DC DD12 AD2 AB2.图 4(1)求证： DB平面 B1BCC1；(2)设 E是 DC上一点，试确定 E的位置，使得 D1E平面 A1BD，并说明理
3、由解 (1)因为 AB DC， AD DC，所以 AB AD，在 Rt ABD中， AB AD1，所以 BD ，易求 BC ， 4分2 2因为 CD2，所以 BD BC.又 BD BB1， B1B BC B，所以 BD平面 B1BCC1. 6分(2)DC的中点为 E点如图所示，连接 BE，因为 DE AB， DE AB，所以四边形 ABED是平行四边形. 8分所以 AD BE.又 AD A1D1，所以 BE A1D1， 10分所以四边形 A1D1EB是平行四边形，所以 D1E A1B. 12分因为 D1E平面 A1BD，所以 D1E平面 A1BD.14分3(本小题满分 14分)(苏北四市(淮安
4、、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)如图 5, 在正三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 D， E分别为 BC， B1C1的中点，点 F在棱 CC1上，且 EF C1D.求证：图 5(1)直线 A1E平面 ADC1；(2)直线 EF平面 ADC1. 【导学号：56394093】证明 (1)连接 ED，因为 D， E分别为 BC， B1C1的中点，所以 B1E BD且 B1E BD，所以四边形 B1BDE是平行四边形， 2分所以 BB1 DE且 BB1 DE，又 BB1 AA1且 BB1 AA1，所以 AA1 DE且 AA1 DE，所以四边形 AA1ED是平行四边形， 4分所以 A
5、1E AD，又因为 A1E平面 ADC1， AD平面 ADC1，所以直线 A1E平面 ADC1.7分(2)在正三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1平面 ABC，又 AD平面 ABC，所以 AD BB1，又 ABC是正三角形，且 D为 BC的中点，所以 AD BC， 9分又 BB1， BC平面 B1BCC1， BB1 BC B，所以 AD平面 B1BCC1，又 EF平面 B1BCC1，所以 AD EF， 11分又 EF C1D， C1D， AD平面 ADC1， C1D AD D，所以直线 EF平面 ADC1.14分4(本小题满分 14分)(镇江市 2017届高三上学期期末)在长方体 ABCD
6、 A1B1C1D1中，AB BC EC AA1.12图 6(1)求证： AC1平面 BDE；(2)求证： A1E平面 BDE.证明 (1)连接 AC交 BD于点 O，连接 OE.在长方体 ABCD A1B1C1D1中，四边形 ABCD为正方形，点 O为 AC的中点，2 分AA1 CC1且 AA1 CC1，由 EC AA1，则 EC CC1，12 12即点 E为 CC1的中点，于是在 CAC1中， AC1 OE. 4分又因为 OE平面 BDE， AC1平面 BDE.所以 AC1平面 BDE. 6分(2)连接 OA1，根据垂线定理，可得 OA1 DB， OE DB， OA1 OE O，平面 A1O
7、E DB.可得 A1E DB. 8分 E为 CC1的中点，设 AB BC EC AA1 a，12 BE a， A1E a， A1B a，2 3 5 A1B2 A1E2 BE2， A1E EB. 12分 EB平面 BDE， BD平面 BDE， EB BD B， A1E平面 BDE. 14分5(本小题满分 16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017 届高三上学期期末)如图7，在四棱锥 E ABCD中，平面 EAB平面 ABCD，四边形 ABCD为矩形，EA EB，点 M， N分别是 AE， CD的中点图 7求证：(1)直线 MN平面 EBC；(2)直线 EA平面 EBC.证明 (1)取
8、 BE中点 F，连接 CF， MF，又 M是 AE的中点，所以 MF綊 AB，12又 N是矩形 ABCD边 CD的中点，所以 NC綊 AB，所以 MF綊 NC，12所以四边形 MNCF是平行四边形， 4分所以 MN CF，又 MN平面 EBC， CF平面 EBC，所以 MN平面 EBC. 8分(2)在矩形 ABCD中， BC AB，又平面 EAB平面 ABCD，平面 ABCD平面 EAB AB， BC平面 ABCD，所以 BC平面 EAB， 12分又 EA平面 EAB，所以 BC EA，又 EA EB， BC EB B， EB， BC平面 EBC，所以 EA平面 EBC. 16分6(本小题满分
9、 16分)(无锡市 2017届高三上学期期末)在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， AP平面 PCD， E， F分别为 PC， AB的中点求证：图 8(1)平面 PAD平面 ABCD；(2)EF平面 PAD. 证明 (1) AP平面 PCD， CD平面 PCD， AP CD. ABCD为矩形， AD CD， 2分又 AP AD A， AP平面 PAD， AD平面 PAD， CD平面 PAD，4 分 CD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD. 6分(2)连接 AC、 BD交于 O，连接 OE， OF. ABCD为矩形， O为 AC中点， E为 PC中点， OE PA. OE平面
10、 PAD， PA平面 PAD， OE平面 PAD， 10分同理 OF平面 PAD， 12分 OE OF O，平面 OEF平面 PAD， 14分 EF平面 OEF， EF平面 PAD. 16分7(本小题满分 16分)(扬州市 2017届高三上学期期末)如图 9，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形，点 E、 F分别是棱 PC和 PD的中点图 9(1)求证： EF平面 PAB；(2)若 AP AD，且平面 PAD平面 ABCD，证明： AF平面 PCD. 【导学号：56394094】证明 (1)因为点 E、 F分别是棱 PC和 PD的中点，所以 EF CD，又在矩形 ABCD中，AB CD，所以 EF AB， 3分又 AB平面 PAB， EF平面 PAB，所以 EF平面 PAB. 6分(2)在矩形 ABCD中， AD CD，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， CD平面 ABCD，所以 CD平面 PAD，又 AF面 PAD，所以 CD AF.因为 PA AD且 F是 PD的中点，所以 AF PD，由及 PD平面 PCD， CD平面 PCD， PD CD D，所以 AF平面 PCD. 16分
