1、23 个基础的圆锥曲线专题第 1 页 共 23 页23个基础的圆锥曲线专题 1、设椭圆 ，其焦点在 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离) ，求2:1xyEax34p椭圆的方程.2、设椭圆 的离心率 ，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直:(0)2xyab32e径) ， 为两焦点， 是 上除长轴端点外的任一点， 的角平分线1d,FPE12FP交长轴于 ，求 的取值范围.PM(,0)m3、设椭圆 的离心率 ， 为两焦点，椭圆 与 轴的交点2:1)xyEaba12e, Ey为 ，求三角形的面积(0,)A?SFA4、如图，设椭圆 ， 为长轴顶2:1(0)xyaba,MN点，过左焦点 、斜率为 的直线 交椭
2、圆 于F3klE两点，若 ，求AB、 2AB?SFAN5、设椭圆 ，其离心率 ，其通径 ， 求椭圆 的方:1(0)xyEaba3e43dE程. 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与 CD互相垂直.求 1?ABCD6、设椭圆 ，左焦点为 ，在椭圆上任取三个不同2:1367xyEF点 ，使得 ，求：1P、 、 22313PP?23F7、如图所示，椭圆 ，过原点的两条直线交圆21:69xyE于 ， 与 的延长线相交于 ， 与 的延长ABCDBMACDB线相交于 ，求 所在的直线方程.NMABNMFOABCDMN23 个基础的圆锥曲线专题第 2 页 共 23 页8、设椭圆 ，过右焦点的直线 交 于 两点，
3、2:1(0)xyEaba:30lxyEAB、为 中点.PAB若 的斜率为： ，求椭圆 的方程；O2kE若直线 交 于 两点， 与 相交于 ，求 点的坐标.:30mxyCD、 ABCQ9、设椭圆 的长轴端点为 ，与 轴平行的直线交椭圆 于 两点，:168E、 yEP、的延长线相交于 点，求 点的轨迹.PAQB、 S10、已知抛物线 ， 为 的焦点， 为 上任一点， 为过 点的切线，2:(0)ypxFPMPlM求证： 与 的夹角等于 与 轴的夹角.FMll11、已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ，P(,)c:20lxy32d在 上，过 作抛物线 的两条切线 、 ，其中 、 为切点
4、.l ABA当 的坐标为 时，求 的直线方程；(4,2)B当 在 上移动时，求 的最小值.MlAF12、过抛物线 的焦点 作斜率分别为 两条不同弦 和 ，2:(0)Pxpy12k、 ABCD，以 、 为直径的圆 圆 ( 、 为圆心)的公共弦所在的直线记为 ，1kBCDMNl若圆心 到 距离的最小值为 ，求抛物线 的方程 .Ml75P13、已知动圆 过定点 ，且在 轴上截得的弦 的长为(4,0)Ay8，求动圆圆心 的轨迹方程.C14、如图已知，在抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴2:PxFx的交点为 . 过原点的圆 其圆心在抛物线 上，与抛物线P的准线 交于不同的两点 ，若 ，求圆lMN、 2AM
5、N的半径.C15、如图，抛物线 ，抛物线 ，2:41Pxy:(0)xpy点 在抛物线 上，过 作 的两条切线 和(,)0Mxy1PAAMN C23 个基础的圆锥曲线专题第 3 页 共 23 页，当 时，切线 的斜率为 .MB120xMA12k求： 所在的直线方程；A当点 在抛物线 上运动时，求 中点的轨迹方程.PB16、已知抛物线 ，焦弦 被 分为 、 两段，2:8yxAF求： 1?FAB17、如图，在正方形 中， 为坐标原点，点 的坐标为OC，点 的坐标为 ，分别将线段 和 等0, 0,1OAB分成十等分，分点分别记为 和 ，,29A,129连接 ，过 作轴的垂线与 交于点iBiBi. *,
6、19PN（1）求：点 的轨迹方程；i（2）求：过点 的切线方程。18、已知，双曲线 ，过右焦点 的直线交 于 两点，以 为直径的圆2:145xyHFHAB、 A与 的准线还有另外两个交点 ，与原点 构成的三角形，求： 的最小值.CMN、 OMONS19、如图椭圆： ，=cosep1焦弦 交椭圆 .AB,为左焦点，F为椭圆顶点，,PQ连结 的直线交准线与 ，M连结 的直线交准线与 ，BN是准线： .MNcosp或 ，长轴于准线交点为 . 求证：,2axZMFNABMQPABMNZ DF OAB23 个基础的圆锥曲线专题第 4 页 共 23 页23个基础的圆锥曲线专题解答1、设椭圆 ，其焦点在 轴
7、上，若其准焦距(焦点到准线的距离) ，求椭2:1xyEax 34p圆的方程.解：先求 的范围：2由焦点在 轴上，则： ，即： ；x21a12a另外， ，所以 ；所以 .10b(,)求 的值：2a焦点坐标： ；22(1)1caba椭圆的准线： ；x准焦距：222134acbapc则： ，即：16()9(1)650方程有两个解： （舍） ，和 ，故 .50322a30512(,)82a58a确定椭圆方程：将 ， 代入方程得：528a18153xy2、设椭圆 的离心率 ，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直:(0)xyEab2e径) ， 为两焦点， 是 上除长轴端点外的任一点， 的角平分线1d,2FPE
8、12FP交长轴于 ，求 的取值范围.PM(,0)m解：通径，即 时的 .xcy当 时代入方程得： ，221cabb即： ，故通径： ，即： 42bycadyc2a23 个基础的圆锥曲线专题第 5 页 共 23 页由离心率 ，即： ，即：23cabe234ab214ba则： ab联立解得： ， ，则21c写出椭圆 的方程： E4xy求 的角平分线 的直线方程：12FPPM由得过 点的切线方程为：(,)0xy014xy即： ，其斜率为： 11()40y0xk根据椭圆的切线定理， 是过 点的法线，其斜率为：PM(,)x 410ykx则 的直线方程为： PM40()y将 代入上式得：(,0)m()0y
9、mx即： ，故： 4x34x求出 的范围因为 点是 上除长轴端点外的任一点，故： ，(,)0PxyE(,)0xa即： . 代入式得： .2,3(,)2m3、设椭圆 的离心率 ， 为两焦点，椭圆 与 轴的交点:1(0)xyEaba1e,FEy为 ，求三角形的面积(0,)A?2SFA解：先求 的方程：将 代入 的方程得： ，故：(,3)E031ab3b再由 ，即： ， ，12cea24c21a23 个基础的圆锥曲线专题第 6 页 共 23 页则： ， ， 的方程为： 23a23acE219xy求三角形 的面积 ：1FA1SFA的高，即 ；23Ob的底，即焦距 ；12c故： 132SFA另外， 是椭
10、圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之. tan321cSbbFA4、如图，设椭圆 ， 为长轴顶:1(0)xyE,MN点，过左焦点 、斜率为 的直线 交椭圆 于F3klE两点，若 ，求AB、 2AB?SFAN解：本题由于直线 过左焦点 ，所以采用以左焦点为原点l的极坐标，可使问题大大简化. 椭圆的极坐标方程为： 1cosep直线 的方程为： l3那么： ；21coseepFA()1332Bee代入 得： ，即： ，故：2FA12()42e23于是： ；0cospMee1cospFNe故： ，2FB1532N ABN MF O23 个基础的圆锥曲线专题第 7 页 共 23 页所以：1si
11、n22510FAMSFABNBN5、设椭圆 ，其离心率 ，其通径 ， 求椭圆 的方:1(0)2xyEaba3e43dE程. 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与 CD互相垂直.求 1?ABCD解：先求椭圆 的方程：由离心率 得： ，则： 3cea213cab23ba由通径 得： 243bda联立得： ， ，故椭圆 的方程为：a2E213xy两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为： 1cosep那么，设： ，则： ， ，(,)1A(,)2B(,)32C3(,)42D代入方程式得： 2coscs()1coscs1cosepepepeepB 于是，
12、1Aep 23431sinsi1sincos()1cos()22epepepCD于是， 1inep由式式得：222cos1sineeeABCDp将 ， 代入式得：3ebpc1532ABCD23 个基础的圆锥曲线专题第 8 页 共 23 页6、设椭圆 ，左焦点为 ，在椭圆上任取三个不同点 ，使得2:1367xyEF123P、 、，求：213PFP11?23PF解：椭圆 的参数： ， ， ，E6abc故离心率 ，准焦距 .12ce 793abp采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为：，即： 1cospecosep设 ，则 ，(,)FP2(,)3FP2(,)3FP分别代入式得：， ，1cosep1
13、cos()2ep1cos()3ep由于： 2s()cs()03所以上三式相加得： 12139ep故： 11223FP7、如图所示，椭圆 ，过原点的两条直:69xyE线交圆于 ， 与 的延长线相交于 ，ABCDBM与 的延长线相交于 ，求 所在的直线方程.N解：首先看一下原点 和椭圆的位置关系(0,)O将原点坐标代入 得：2169xy20110696小于 0表明原点在椭圆内部.本题中，原点 和直线 是椭圆 的一对极点和极线.MNE这里先简单介绍一下极点和极线：过椭圆外一点 向椭圆 作的所有割线点的连线，相交于两点 和 ，P AB一个点在椭圆内(假设 )，一个点在椭圆外(假设 ). 这 3个点 、
14、 和 构成特ABP殊的三角形，称为自极三点形. 其中，点 和直线 是一对极点和极线；点 和PAA BC D MN23 个基础的圆锥曲线专题第 9 页 共 23 页直线 是一对极点和极线；点 和直线 是一对极点和极线.如果将极点的坐标，PBBPA做等效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到 所在的直线方程.MN将极点坐标 做等效代入椭圆方程得到极线方程：(,)0xy 100169xy故：代入 ， 后得到：0169xy即： ，即：16x15x所以 所在的直线方程是：MN8、设椭圆 ，过右焦点的直线 交 于 两点，2:(0)yE
15、aba:30lxyEAB、为 中点.PAB若 的斜率为： ，求椭圆 的方程；O12kE若直线 交 于 两点， 与 相交于 ，求 点的坐标.:30mxyCD、 ABCQ解：由于右焦点在直线 上，将右焦点 的坐标代入 ，得：l(,0)Fc:30lxy，故： ，03c3c2联立椭圆 和直线 得到交点 的坐标：ElAB、 2130xyab消元法消去 得：y2(3)1xac即： 22(3)()(3)0aa整理得： 236x由于 为 中点，所以 ，PAB1()xPAB3yxP代进式由韦达定理得：213()23axx32yPa由此得到 的斜率为：O2332yaPkxa23 个基础的圆锥曲线专题第 10 页
16、共 23 页已知 ，故： ，于是 12k6a23ba所以椭圆 的方程为：E13xy直线 经过 点，直线 也经过 点，:30mxy(,0)Fl(3,0)F故 点必在关于椭圆 以 为极点的极线上.Q代入极线方程得： ；即：163xy623xQ由于 与 关于 轴对称，根据对称性，ADBC0y所以 点的坐标为：Q(2,0)9、设椭圆 的长轴端点为 ，与 轴平行的直线交椭圆 于 两点，2:168xyEAB、 yEPQ、的延长线相交于 点，求 点的轨迹.PAB、 S解：设 ， ，(,)0Sxy(,)Pmn(,)Q由 得：/kAS()kAa00()ySx故： 0nma由 得：/BQSkQS，nka0yxa故
17、： 0ymx由 式得： 202ynaxaPQSA B23 个基础的圆锥曲线专题第 11 页 共 23 页又， 两点在椭圆 上，满足：PQ、 E21mnab即： ，即：221nmab 22annm代入式得： 02yanx即： ，故：001yxab21yab即： ，这就是 点的轨迹方程.2168S10、已知抛物线 ， 为 的焦点， 为 上任一点， 为过 点的切线，:2(0)PypxFPMPlM求证： 与 的夹角等于 与 轴的夹角.FMll证明： 为抛物线的焦半径，设其倾角为 ， ，(,)xy(,0)2pF我们看上半轴即 部分，下半轴与上半轴对称。0y，(0,(,2则： tanyyMFpxx抛物线
18、两边对 求导： ，即2yp2ypy故 点的切线为：MtanxM2tatan(2) 21py22tan2pypyMMpxx即： ， 与 的夹角为 ，而 就是 与 轴的夹角.Fllx23 个基础的圆锥曲线专题第 12 页 共 23 页11、已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ，P(0,)Fc:20lxy32d在 上，过 作抛物线 的两条切线 、 ，其中 、 为切点.Ml MABA当 的坐标为 时，求 的直线方程；(4,2)B当 在 上移动时，求 的最小值.lAF解：先求抛物线 的方程P由焦点 到直线 的距离为 得：(0,)Fc:20lxy32d，即：231()d1c抛物线 的方程为
19、： P4xy下面求 的直线方程：AB的直线方程与 点是抛物线 的一对极线和极点，故用极线方程秒之.MP的直线方程： 2()xy将 的坐标值代入得： ，即：(4,2)4(42xy20xy 点到准线的距离， 点到准线的距离.AFBF()(1)BycyA即： 1()1yB由于 ，可将 作为极线，来求其极点 .Ml:20lxyN极点 关于抛物线 的极线为：(,)NxyP，即：2xyN与 对比得： ，:0lxy2当 在 上移动时，其极线 必过 点. MAB设 的直线的斜率为 ，则 的直线方程为：ABk()ykxyN即： 2ykx点为与的交点.将代入式得： 214yxyk23 个基础的圆锥曲线专题第 13
20、 页 共 23 页即： 224(1)4()kyky即： 0方程的两个根就是 和 .yAB由韦达定理得： ，24(1)k24(1)yk代入式得： 24(1)()22( 4(39AFBkk33)98)8()84242kk故 的最小值是 .AFB912、过抛物线 的焦点 作斜率分别为 两条不同弦 和 ，2:(0)PxpyF12k、 ABCD，以 、 为直径的圆 圆 ( 、 为圆心)的公共弦所在的直线记为1kCDMN，若圆心 到 距离的最小值为 ，求抛物线 的方程.lMl75P解：抛物线 的焦点 .2xpy(0,)2pF设 直线的方程为： ， 直线的方程为：AB1kxCD2pykx则： 点的坐标满足抛
21、物线方程和 直线的方程AB即：21xpyk于是： 22()12pxykxkxp故： 01p是圆 的直径，圆心是 ，ABM(,)xyM则由韦达定理得：， ()12xxpk2pAB23 个基础的圆锥曲线专题第 14 页 共 23 页()()()112pykxkxkxABBAB圆 的直径平方为：M2222()()()(1)4y kxxAAB将式代入上式得: 2(1)4)4(1)ABkppk故圆 的直径为：M2AB圆 的半径为： ()1rk圆 的方程为： 2(1)xyrpkM同理，圆 的方程为： N2()()N由-得： 22()2()()()()()1xxyypkkMN 将 ，1pk21xpkM，()
22、2yN()yN代入上式化简得： 这就是两圆的公共弦 的直线方程.0x l由圆心 到 距离为：Ml2251()yxy将 ， ， 1xpk2pyxk代入上式，并由圆心 到 距离的最小值为 得：l75112112()(21)24557468ppkpkk故： ，则抛物线方程为： .8p216xy13、已知动圆 过定点 ，且在 轴上截得的弦 的长为 8，求动圆圆心 的轨迹方C(4,0)AMNC程.23 个基础的圆锥曲线专题第 15 页 共 23 页解：解题思路：弦 和 的垂直平分线相交于圆心.MNA设： ，则： ，(0,)y(0,8)y的垂直平分线方程为： 1()402yMN的斜率为：AyAkx则 的垂
23、直平分线的斜率为：M140ky的中点 为：AK，0422x22yMAK则 的垂直平分线方程为：40()()0yyxyxK联立，消去 得：044(2)y即： ，即： ，即：4(2)2yx8()16x28yx这就是求动圆圆心 的轨迹方程，是条抛物线.C14、如图已知，在抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 . 过原点的圆:4PyxFxA其圆心在抛物线 上，与抛物线的准线 交于不同的两点 ，若ClMN、，求圆 的半径.2AFMN解：抛物线的准线方程： 12px设圆 其圆心坐标为： ，(,)0y因圆心在抛物线 上，则：P4x又圆 过原点，则： C22016yrC故圆 得方程为： 404yxyy A
24、MN C23 个基础的圆锥曲线专题第 16 页 共 23 页即：2442001616yyxy即： 02对于在准线 上的 两点，其 ，lMN、 12px代入上式得： 2010yy即： 2y方程的两个解就是 的纵坐标. MN、由韦达定理得： ， 20yy201yN；214pAFc， ；MyNy代入 得：2A 4yMN将结果代入式得： ，即： .201y260将结果代入式得：439364ryC故：圆 的半径为： 215、如图，抛物线 ，抛物线 ，点 在抛物线 上，:41Pxy2:(0)Pxpy(,)0Mxy2P过 作 的两条切线 和 ，当 时，切线MAMB10的斜率为 .A2k求： 所在的直线方程；
25、B当点 在抛物线 上运动时，求 中点的轨迹方程.PAB解： 先求 点的坐标 ：A A BM23 个基础的圆锥曲线专题第 17 页 共 23 页抛物线 的导函数为： ，即：2:41Pxy42yx2xy抛物线在 点的斜率 就是切线 的斜率为 ，AxAM1k故： ， ，即：1x214y1(,)4再求 所在的直线方程 ：AB点与 所在的直线是关于 的一对极点和极线，(,)0Mxy1P故： 所在的直线方程为： 2()0xy即： 02xy求 的坐标 ：(,)M因为方程过 点，故： ；A1042xy当 时，120x132044y确定 所在的直线方程 ：AB将 代入式得：(,)0Mxy1232132()44y
26、xx这就是 所在的直线方程.设 的中点为 ，则：AB(,)Nx，1()2xN20024xyyN将代入抛物线 方程得：P，即：04()240xxyyxy240xy由韦达定理得： 11()2xNAB23 个基础的圆锥曲线专题第 18 页 共 23 页2320024xxyyxNN或者： . 这就是 中点的轨迹方程.3AB16、已知抛物线 ，焦弦 被 分为 、 两段，:8PyxFB求： 1?FAB解：抛物线的焦点 ，即： ， ，(,0)2p(2,0)4p1e以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为： 4cos1sep设： ，则：(,)1A(,)B于是： cos4F1()1cos42B故： cos4
27、2FA17、如图，在正方形 中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，分别OCA10,C0,1将线段 和 等分成十等分，分点分别记为 和 ，连接 ，B29A,29BOiB过 作轴的垂线与 交于点 . Aii*,PiNi求：点 的轨迹方程；P求：过点 的切线方程。i解：因为 ，所以 的直线方程为： ，即：(10,)BOBi 10yix10iyx所在的的垂线方程为：Ai x那么过 作轴的垂线与 交于点 ，故： ， ，ii2(,)10iPxip210iy则： ，这就是点 的轨迹方程.210xyi23 个基础的圆锥曲线专题第 19 页 共 23 页 点的坐标为：Pi 2(,)10iP则该点的切
28、线方程为： ，即：2yxi5xiy18、已知，双曲线 ，过右焦点 的直线交 于 两点，以 为直径的圆:145xHFHAB、 A与 的准线还有另外两个交点 ，与原点 构成的三角形，求： 的最小值.CMN、 OSMON解： 该双曲线的基本参数 ： ， ， ，2a5b29cab故： ，焦点3c(,0)F设过右焦点 的直线方程为： ，则： . (3)ykx3yxk代入双曲线方程 得：245yx245()20化简得： （ 时）(3)0kk即： 22(45)5y当 时，直线方程为 ，与 的准线的交点，不构成三角形.0kH圆 的方程 ：C设圆 的圆心坐标为： ， 两点为圆直径上的点，(,)CxyAB、故由式
29、得韦达定理得： 115()224kyyCAB(5)k则： 21332445ykxC圆直径的平方为： 12 22()()()()ABxyyyABABk故： 12()()k23 个基础的圆锥曲线专题第 20 页 共 23 页即： 22211305()44()kkkAByyAB90109()222(45)()(45)()k kk k214()(5)k故： ，圆的半径为： .2045AB210()45krC圆的方程为： ()2()()2xyCk求 点坐标 ：MN、双曲线的准线方程为：243axc对于圆，当 时，圆此时的坐标就是 点的坐标.xzMN、故由得：2410()2()()345kyC10()()
30、3(45)kyx 2222410(1)4(5)31()()()5453(4)kkkkCk 210)32()02 2(453(4)()(5)kkkkk 9)0150122(9()9(4)k，故： 3(45)yABCk、205(1)34kyAB求 的最小值 ：MONS23 个基础的圆锥曲线专题第 21 页 共 23 页221405(1)4051239kkSxyMONz 只要求出 的最小值，就可以得到 的最小值 .45kSMON对 进行分类讨论：21()fk，前面已说明；0，与准线只有一个交点；52， ，此时， .k1()4fk40519SMON19、如图椭圆： ，=cosep焦弦 交椭圆 .AB,
31、为左焦点，F为椭圆顶点，,PQ连结 的直线交准线与 ，M连结 的直线交准线与 ，BN是准线： .MNcosp或 ，长轴于准线交点为 . 求证：,2axZMFN证明： 过 作 交 于 ，过 作 交 于APQABPQB设直线 的倾角为 ，则由 椭圆的极坐标方程 可得：B cosepA1于是： sinsicoepF1同理： ，csBesinsicoepBF1QPABMNZ DF OAB23 个基础的圆锥曲线专题第 22 页 共 23 页 由相似 三角形对应边成比例 得：()cos2aZMQOAFAF故：()cosain()scosZMeep1a()()sinscoisapcepce1 由 得：22bapcc()2ae即： ()e代入上式得： ()sinsicoappZM1 同理可得： ()cos2aNQOBFBF故：()scos()inscoaZepae1 inicos()s()()sacepe1 p 将 代入上式得： ()epaincoZN1 由式得： sinisicoc22pp1ZMNQPABMNZ DF OAB23 个基础的圆锥曲线专题第 23 页 共 23 页因为 是准焦距，故：ppZF因为向量： ，FM0N0故： ()()2NZMN0所以： ，即： . 证毕.F
