1、专题限时集训(十五) 函数与方程(对应学生用书第 107 页)(限时：40 分钟)题型 1 函数零点个数的判断 2,5,6,13,14题型 2 已知函数的零点个数求参数的范围 1,3,4,7,8,9,10,11,12一、选择题1(2017湖北四地七校联盟)设 a， b， c 均为正数，且2alog a， log b， log 2c，则( )12 (12)b 12 (12)c A a0，2 a1，log a1，00，00，log 2c0， c1，(12)c 0b， cd.若 f(x)2 017( x a)(x b)的零点为 c， d，则下列不等式正确的是( )A acbd B abcdC cda
2、b D cabdD f(x)2 017( x a)(x b) x2( a b)x ab2 017，又 f(a) f(b)2 017， c， d 为函数 f(x)的零点，且ab， cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数 f(x)的大致图 象，如图所示，由图可知 cabd，故选 D.4(2017武昌区模拟)已知函数 f(x)2 ax a3，若 x0(1,1)，使得 f(x0)0，则实数a 的取值范围是( )A(，3)(1，) B(，3)C(3,1) D(1，)A 依题意可得 f(1) f(1)1，故选 A.5(2017湖南长沙二模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，可得
3、0，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增，从而当 x0 时， f(x)e x xf(0)1，所以要使函数 f(x)在(0，)上的图象与直线 y k 有唯一交点，只需 k1，故所求实数 k 的取值范围是(1，)10(2017上海模拟)设 a， bR，若函数 f(x) x b 在区间(1,2)上有两个不同的零点，ax则 f(1)的取值范围为_(0,1) 函数 f(x) x b 在区间(1,2)上有两个不同的零点，即方程 x2 bx a0 在ax区间(1,2)上两个不相等的实根，即Error!化简，得Error!如图，阴影部分为数对( a， b)所表示的区域，目标函数 z f(1) a b1， z
4、 a b1 过点(1，2)时，z0， z a b1 过点(4，4)时， z1，所以 f(1)的取值范围为(0,1)11(2017青岛一模)已知函数 f(x)1 x ， g(x)1 x ，设函数 F(x)x22 x33 x22 x33 f(x4) g(x3)，且函数 F(x)的零点均在区间 a， b(a0，所以 g(x)在 R 上单调递x22 x33增而 f(0)10， f(1)11 0， g(2)12 13122 4 或 t0 时，方程 t f(x)有 3 个不同的实数根；当 00，故mx x2 mx函数 f(x)在(0，)上单调递增， f(x)无极值；当 m0 时， f( x)，令 f( x
5、)0，得 x m x mx mx ，函数 f(x)单调递增，故函数 f(x)有极小值 f( ) mln (1ln m)综上m mm2 m m2所述，当 m0 时，函数 f(x)无极值；当 m0 时，函数 f(x)有极小值 (1ln m)，无极m2大值(2)令 F(x) f(x) x2( m1) x x2( m1) x mln x(x0)，问题等价于求函数 F(x)的12零点个数易得 F( x) x m1 .若 m1，则 F( x)mx x 1 x mx0，函数 f(x)为减函数，又 F(1) 0， F(4)ln 41，则当 0m 时， F( x)0.所以函数 F(x)在(0,1)和(m，)上单
6、调递减，在(1， m)上单调递增又 F(1) m 0， F(2m2) mln 12(2m2)0，即 F(x)在(1,2)上单调递增，又 F(1) 0， F(2)2ln 2 0，而 F(x)在(1,2)上连续，故根据零点存在性定理1e 2e2得， F(x)在区间(1,2)内有且仅有唯一零点(2)由(1)知， F( x)1ln x ，当 x1 时， F( x)0，且存在 x0(1,2)使得x 1exF(x0) f(x0) g(x0)0，故 1x0时， f(x)g(x)因而 m(x)Error!，显然当 10，此时 m(x)单调递增；当 xx0时，m(x) ， m( x) 2x0，下面用分析法证明 x1 x22x0.要证 x1 x22x0，即证x22x0 x1(其中 2x0 x1x0)，而 m(x)在( x0，)上单调递减，故可证 m(x2)0；当 t(1，)时，tet 1 tet ( t)x01，从而 1ln x 0，1e2x0 x1 2x0 xe2x0 x1 1e2x0 x1 1e即 h(x)单调递增，从而当 12x0得证
