1、突破点 15 函数与方程核心知识提炼提炼 1 函数 yf (x)零点个数的判断(1)代数法：求方程 f(x)0 的实数根(2)几何法：对于不能求解的方程，可以将它与函数 yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf( x)在区间(a，b)内有零点 .提炼 2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的
2、函数，常转化为定曲线与动直线问题高考真题回访回访 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围1(2017全国卷 )已知函数 f(x)x 22xa(e x1 e x1 )有唯一零点，则 a( )A B12 13C. D112C 法一 ：f(x)x 22xa(e x1 e x 1 )( x1) 2ae x1 e (x1) 1，令 tx1， 则 g(t)f(t1)t 2a(e te t )1.g(t) ( t)2a(e t e t)1g(t)，函数 g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)0，2a1 0，解得 a .12故选 C.法二：f(
3、 x)0a(e x1 e x1 )x 22x.ex 1e x 1 2 2，ex 1e x 1当且仅当 x 1 时取“” x 22x(x1) 211，当且仅当 x1 时取“” 若 a0，则 a(ex1 e x1 )2a，要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a1，即 a .12若 a0，则 f(x)的零点不唯一故选 C.2(2014全国卷 )已知函数 f(x)ax 33x 21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且x00，则 a 的取值范围是( )A( ，2) B(1，)C(2，) D(，1)A f (x) 3ax26x，当 a3 时，f(x)9x 2 6x3x(3x2)，则当 x( ，0)时，f
4、(x)0 ；x 时，f(x )0，注意 f(0)1， f 0，则 f(x)的大致图象如图(1)所(23， ) (23) 59示图(1)不符合题意，排除 B、C.当 a 时，f(x)4x 26x 2x(2x3)，则当 x 时，f(x)43 ( ， 32)0，x(0，)时，f(x)0，注意 f(0)1，f ，( 32，0) ( 32) 54则 f(x)的大致图象如图(2)所示图(2)不符合题意，排除 D.热点题型 1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难【例 1】(1)(2017贵阳二模 )已知函数 f(x)Error!当 1a2
5、时，关于 x 的方程 ff(x)a 实数解的个数为( ) 【导学号：04024128】A2 B3C4 D5(2)已知函数 f(x)cos x，g(x)2 |x2| ，x 2,6，则函数 h(x)f (x)g(x )的2 34所有零点之和为( )A6 B8 C.10 D12(1)C (2) D (1)因为函数 f(x)Error!1a2，作出函数 f(x)的图象，令 f(x)t(t0) ，则 f(t)a，a(1,2)，所以 t (e，e2)，当 t 时，因为 1，(1e2，1e) (1e2，1e) 1e由 f(x)t 可得此时有两个解；当 t(e，e2)时，因为 e2，由 f(x)t 可得此时有
6、两个解，故关于 x 的方程 ff(x)a 实数解的个数为 4，故选 C.(2)函数 h(x)f(x) g(x)的零点之和可转化为 f(x)g(x)的根之和，即转化为y1f(x )和 y2g(x )两个函数 图象的交点的横坐标之和又由函数 g(x)2 |x2| 与 f(x)的图象均关于 x2 对称，可知函数 h(x)的零点之和为 12.34方法指津求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决函数 F(x)f(x )g(x)的零点就是方程 f(x)g( x)的实数根，也就是函数 yg(x) 的图象与函数 yf(x) 的图象交点的横坐标其解题的关键步骤为：分解为两个
7、 简单函数； 在同一坐标系内作出这 两个函数的图象；数交点的个数，即原函数的零点的个数提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草” ，画 图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、 对称性等) 的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化变式训练 1 (1)(2017武汉一模)已知函数 f(x)Error! 则函数 g(x)f (1x )1 的零点个数为( )A1 B2C3 D4(2)(2017南昌一模)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时，f(x)ln xx1，则函数 g(x)f(x) e x(e 为自然对数的底数 )的零点个数是( )A0 B1
8、C2 D3(1)C (2) C (1)g(x)f(1x)1Error!Error!当 x1 时，函数 g(x)有 1 个零点；当 x1 时，函数有 2 个零点，所以函数的零点个数为 3，故选 C.(2)当 x0 时，f( x)ln xx 1， 则 f(x ) 1 ，由 f(x )0 得 x1，1x 1 xx且 x(0,1)，f(x)0，f( x)单调递增，x(1 ， )，f(x)0，f(x)单调递减，当x1 时，f (x)有极大值 f(1)0，又奇函数的图象关于原点对称，作出函数图象如图，由图可知函数 f(x)与 ye x的交点个数是 2，则函数 g(x)f(x)e x的零点个数是 2，故选
9、C.热点题型 2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求【例 2】(1)(2017焦作二模 )已知函数 f(x)Error!F(x)f( x)x1，且函数 F(x)有 2个零点，则实数 a 的取值范围为( )A( ，0 B1，)C(，1) D(0，)(2)(2017石家庄一模)已知函数 f(x) kx(e 为自然对数的底数)有且只有一个exx零点，则实数 k 的取值范围是 ( ) 【导学号：04024129】A(0,2) B.(0，e24)C(0，) D(0，e)(1)C (2) B
10、(1)当 x0 时，F(x)e xx 1，此 时 有一个零点 0，当 x0 时，F(x )xx( a1) ，函数 F(x)有 2 个零点，1a 0，a1.故选 C.(2)由题意，知 x0，函数 f(x)有且只有一个零点等价于方程 kx0 只有一个exx根，即方程 k 只有一个根，则函数 g(x) 与直线 yk 只有一个交点因 为exx2 exx2g(x) ，当 x0 时，g(x)0，当 0x2 时，g(x)0，当 x2 时，xx 2exx4g(x)0，所以函数 g(x)在 (， 0)上是增函数，在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，g( x)的极小值为 g(2) ，且 x0， g(x)
11、；x，g(x)e240；x ，g(x)，则 g(x)的大致图象如图所示，由图易知 0k ，故e24选 B.方法指津求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线， 这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果变式训练 2 (1)(2016湖北七校联考)已知 f(x)是奇函数并且是 R 上的单调函数，若
12、函数 yf(2 x21) f(x )只有一个零点，则实数 的值是( )【导学号：04024130】A. B.14 18C D78 38(2)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，且对任意的实数 x，恒有 f(x)f(x) 0，当 x1,0时，f(x) x 2，若 g(x)f(x)log ax 在 x(0，)上有且仅有三个零点，则 a 的取值范围为( )A3,5 B4,6C(3,5) D(4,6)(1)C (2) C (1)令 yf(2 x21)f(x )0，且 f(x)是奇函数，则 f(2x21)f(x)f(x )，又因 为 f(x)是 R 上的单调函数，所以 2x21x 只有一个零点，即 2x2x10 只有一个零点， 则 18(1 )0，解得 ，78故选 C.(2)因为 f(x)f(x) 0，所以 f(x)f( x)，所以 f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出 f(x)的图象如图所示：因为 g(x)f(x)log ax 在 x(0，)上有且仅有三个零点，所以 yf(x)和ylog ax 的图象在(0， )上只有三个交点，所以Error!解得 3a5.
