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第1部分 重点强化专题 专题5 突破点11 直线与圆 Word版含答案.doc

上传人:梦中客 文档编号:1660359 上传时间:2018-08-16 格式:DOC 页数:9 大小:665KB
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1、专题五 平面解析几何建知识网络 明内在联系高考点拨 平面解析几何是高考的重点内容,常以“两小一大”呈现,两小题主要考查直线与圆的位置关系圆锥曲线的图象和性质,大题常考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系;以及定点,定值,范 围探索性问题, 难度较大基于上述分析,本专题将从“直线与圆” “圆锥曲线的定义、方程、几何性 质” “圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升突破点 11 直线与圆核心知识提炼提炼 1 圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a,b) ,半径为 r 时,其标准方程为(x a) 2(yb) 2r 2,特别地,当圆心在原点时,方程为 x2y 2r 2.(2)圆的一般方程x2y

2、2DxEy F 0,其中 D2E 24F 0,表示以 为圆心,( D2, E2)为半径的圆.D2 E2 4F2提炼 2 求解直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理(2)两个公式:点到直线的距离公式 d ,弦长公式|AB |2|Ax0 By0 C|A2 B2(弦心距 d).r2 d2提炼 3 求距离最值问题的本质(1)圆外一点 P 到圆 C 上的点距离的最大值为 |PC|r,最小值为|PC|r ,其中r 为圆的半径(2)圆上的点到直线的最大距离是 dr,最小距离是 dr,其中 d 为圆心到直线的距离,r 为圆的半径(3)过圆内一点,直径是最长的弦,与此直

3、径垂直的弦是最短的弦高考真题回访回访 1 圆的方程1(2017全国卷 )已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A 2,x2a2 y2b2且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切,则 C 的离心率为( )A. B63 33C. D.23 13A 由 题意知以 A1A2为直径的 圆的圆心坐标为(0,0),半径为 a.又直线 bxay2ab0 与 圆相切,圆心到直 线的距离 d a,解得 a b,2aba2 b2 3 ,e .ba 13 ca a2 b2a 1 (ba)2 1 (13)2 63故选 A.2(2015全国卷 )一个圆经过椭圆 1 的三个顶点,且圆心在

4、 x 轴的正半轴x216 y24上,则该圆的标准方程为_2y 2 由题意知 a4,b2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,2),(x 32) 254右顶点的坐标为(4,0) 由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0, 2),(4,0)三点设圆的标准方程为( xm) 2y 2r 2(00),则Error!解得Error!所以圆的标准方程为 2y 2 .(x 32) 254回访 2 直线与圆的相关问题3(2016全国卷 )圆 x2y 22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为1,则 a( )A B43 34C. D23A 由 圆 x2y 22x8y130,得圆心坐标为(1

5、,4),所以圆心到直线axy10 的距离 d 1,解得 a .|a 4 1|a2 1 434(2016全国卷 )设直线 yx2a 与圆 C:x 2y 22ay 20 相交于 A,B 两点,若|AB|2 ,则圆 C 的面积为_34 圆 C:x2y 22ay20 化为标准方程是 C:x2(ya) 2a 22,所以圆心 C(0,a),半径 r ,|AB|2 ,点 C到直线 yx 2a 即a2 2 3xy2a0 的距离 d ,由勾股定理得|0 a 2a|22 2a 22,解得 a22,(232) (|0 a 2a|2 )所以 r2,所以圆 C的面积为 224.热点题型 1 圆的方程题型分析:求圆的方程

6、是高考考查的重点内容,常用的方法是待定系数法或几何法【例 1】(1)(2017厦门质检 )圆 C 与 x 轴相切于 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点A,B,且|AB|2,则圆 C 的标准方程为( )A(x1) 2(y )222B(x1) 2(y2) 22C(x1) 2(y )242D(x1) 2(y )242(2)(2016黄山一模)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点 A(1,0),且被 x 轴分成的两段弧长之比为 12,则圆 C 的方程为_. 【导学号:04024101】(1)A (2) x2 2 (1)由题意得,圆 C的半径为(y 33) 43 ,圆心坐标为(1, ),圆 C的标准

7、方程 为(x1) 2(y )22,故选1 1 2 2 2A.(2)因为圆 C关于 y 轴对称,所以圆 C的圆心 C在 y 轴上,可设 C(0,b),设圆 C的半径为 r,则圆 C的方程为 x2( yb) 2 r2.依题意,得Error!解得Error!所以圆 C的方程为 x2 2 .(y 33) 43方法指津求圆的方程的两种方法1几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、 圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程2代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数变式训练 1 (1)已知圆 M 的圆心在 x 轴上,且圆心在直线 l1:x 2 的右侧,若圆M 截直线 l1 所得的弦长为 2 ,

8、且与直线 l2:2x y40 相切,则圆 M 的方3 5程为( )A(x1) 2y 24 B(x1) 2y 24Cx 2(y1) 24 Dx 2( y1) 24(2)(2016长春一模)抛物线 y24x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A,B两点,其准线与 x 轴的交点为 M,则过 M,A,B 三点的圆的标准方程为_(1)B (2)(x1) 2y 24 (1) 由已知,可 设圆 M的 圆心坐标为(a,0),a2,半径为 r,得Error!解得满足条件的一组解为Error!所以圆 M的方程为( x1) 2y 24.故选 B.(2)由题意知,A(1,2) ,B(1,2),M(1,0),AM

9、B是以点 M 为直角顶点的直角三角形,则线段 AB是所求圆的直径,故所求圆的标准方程为(x 1) 2y 24.热点题型 2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析:直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容,解决的方法主要有几何法和代数法【例 2】(1)(2017合肥一模 )设圆 x2y 22x 2y20 的圆心为 C,直线 l 过(0,3)与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB| 2 ,则直线 l 的方程为( )3A3x4y120 或 4x3y90B3x4y 120 或 x0C4x3y 90 或 x0D3x4y120 或 4x3y90(1)B 圆的标 准方程为(x1) 2(y1) 24,设圆

10、心到直线 l的距离为 d,则|AB|2 2 2 ,得 d1, 则直线 l的斜率不存在时,即 x0 适r2 d2 4 d2 3合题意;若直线 l的斜率存在, 设为 k,则 l:ykx3, 1,解得 k ,|k 2|k2 1 34此时 l:y x3,即 3x4y 120,故 选 B.34(2)(2016开封一模)如图 111,已知圆 G:(x2) 2 y2r 2 是椭圆 y 21 的内x216接ABC 的内切圆,其中 A 为椭圆的左顶点求圆 G 的半径 r;过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G相切. 【导学号:04024102】图 111解 设

11、B(2r ,y0),过圆心 G作 GDAB于 D,BC交长轴于 H.由 得 ,GDAD HBAH r36 r2 y06 r即 y0 , () 2 分r6 r6 r而 B(2r ,y0)在椭圆上,y 1 , () 3 分202 r216 12 4r r216 r 2r 616由()() 式得 15r28r120,解得 r 或 r (舍去). 5 分23 65证明:设过 点 M(0,1)与圆(x2) 2y 2 相切的直 线方程为 ykx1,()49则 ,23 |2k 1|1 k2即 32k236k50,( )解得 k1 ,k2 . 9 4116 9 4116将()代入 y 21 得(16k 21)

12、x 232kx 0,则异于零的解为 x x216 32k16k2 18 分设 F(x1,k1x1 1),E(x2,k2x21),则x1 ,x2 , 9 分32k116k21 1 32k216k2 1则直线 FE的斜率为 kEF ,k2x2 k1x1x2 x1 k1 k21 16k1k2 34于是直线 FE的方程为y 1 .32k2116k21 1 34(x 32k116k21 1)即 y x ,则圆心(2,0)到直线 FE的距离 d ,故结论成立 12 分34 73|32 73|1 916 23方法指津1直线(圆) 与 圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与 圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形

13、结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现,两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切 时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式,过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离,利用勾股定理计算2弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形,把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示,l2 (其中 l 为弦长,r 为圆的半径, d 为圆心到直线的距离)r2 d2(2)根据公式:l |x1x 2|求解(其中 l 为弦长,x

14、 1,x2为直线与圆相交所得交1 k2点的横坐标,k 为直线的斜率)(3)求出交点坐标,用两点间距离公式求解变式训练 2 (1)(2016哈尔滨一模)设直线 l:y kx1 被圆 C:x 2y 22x 30 截得的弦最短,则直线 l 的方程为_yx1 直 线 l恒过定点 M(0,1),圆 C的标准方程为(x 1) 2y 24,易知点M(0,1)在圆 C的内部,依题意当 lCM 时直线 l被圆 C截得的弦最短,于是 k1,解得 k1,所以直线 l的方程为 yx1.1 00 1(2)已知点 M(1,0),N(1,0),曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的 倍3求曲线 E 的方

15、程;已知 m0,设直线 l1:xmy 10 交曲线 E 于 A,C 两点,直线l2:mxym0 交曲线 E 于 B,D 两点当 CD 的斜率为1 时,求直线 CD的方程解 设曲线 E上任意一点坐 标为(x,y),由题意, , 2 分x 12 y2 3x 12 y2整理得 x2y 24x10,即(x2) 2y 23 为所求 4 分由题知 l1l2,且两条直线均恒过点 N(1,0),设曲线 E的圆心为 E,则 E(2,0),线段 CD的中点为 P,则直线 EP:yx2, 设直线 CD:yx t,由Error!解得点 P . 7 分(t 22,t 22 )由圆的几何性质,|NP| |CD| ,12 |ED|2 |EP|2而|NP| 2 2 2,|ED|23,(t 22 1) (t 22 )|EP|2 2, 2 23 2,解得 t0,或 t3,11 分(|2 t|2) (t 22 1) (t 22 ) (|2 t|2)所以直线 CD的方程为 yx 或 yx3 12 分

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