1、函 数 与 导 数第 14 讲 函数的图象和性质题型 1 函数的图象判断(对应学生用书第 47 页)核心知识储备函数的图象包括作图、识图、用图，三者在学习中的侧重点为：(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意 y f(x)与 y f( x)， y f(x)， y f( x)， y f(|x|)， y| f(x)|及 y af(x) b 的相互关系(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象
2、数形结合研究典题试解寻法【典题 1】 (考查建模类函数图象的识别)(2017石家庄质量预测一)在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中， AB平面 BCD，且BD CD， AB BD CD，点 P 在棱 AC 上运动，设 CP 的长度为 x，若 PBD 的面积为 f(x)，则f(x)的图象大致是 ( )图 141思路分析 鳖臑的定义找 BPD 的高建立函数 f(x)的表达式识别 f(x)的图象解析 法一：(直接法)如图，作 PQ BC 于 Q，作 QR BD 于 R，连接 PR，则由鳖臑的定义知 PQ AB， QR CD.设 ABBD CD1，则 ，即 PQ
3、，又CPAC x3 PQ1 x3QR1 ，所以 QR ，所以 PR BQBC APAC 3 x3 3 x3 PQ2 QR2 (x3) (3 x3 ) ，所以 f(x)33 2x2 23x 3 36 2x2 23x 3 ，故选 A.66 (x 32) 34法二：(特殊位置法)由题意可知，当 P 位于 AC 的中点时 f(x)取得最小值，又 f(x)是非均匀变化的，故排除选项 B，C，D，故选 A.答案 A【典题 2】 (考查解析式类函数图象的识别)(2016全国卷)函数 y2 x2e |x|在2,2的图象大致为( )解析 f(x)2 x2e |x|， x2,2是偶函数，又 f(2)8e 2(0,
4、1)，故排除 A，B.设 g(x)2 x2e x，则 g( x)4 xe x.又 g(0)0， g(2)0， g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， f(x)2 x2e |x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.答案 D【典题 3】 (考查函数图象的应用)已知函数 f(x)(xR)满足 f( x)2 f(x)，若函数 y与 y f(x)图象的交点为( x1， y1)，( x2， y2)，( xm， ym)，则 (xi yi)( ) x 1x mi 1【导学号：07804099】A0 B m C2 m D4 m解析 因为 f( x)2 f(x)，所以 f( x) f(x)2
5、.因为 0， x x21，所以函数 y f(x)的图象关于点(0,1)对称函数f x f x2y 1 ，故其图象也关于点(0,1)对称所以函数 y 与 y f(x)图象的交点x 1x 1x x 1x(x1， y1)，( x2， y2)，( xm， ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以xi0， yi2 m，所以 (xi yi) m.m i 1 m i 1 m2 m i 1答案 B类题通法 函数图象的判断方法(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置(2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)根据函数的周期
6、性，判断图象的循环往复(5)取特殊值代入，进行检验对点即时训练1已知定义在区间0,4上的函数 y f(x)的图象如图所示，则 y f(2 x)的图象为( )图D 法一：先作出函数 y f(x)的图象关于 y 轴的对称图象，得到 y f( x)的图象；然后将 y f( x)的图象向右平移 2 个单位，得到 y f(2 x)的图象；再作 y f(2 x)的图象关于 x 轴的对称图象，得到 y f(2 x)的图象故选 D.法二：先作出函数 y f(x)的图象关于原点的对称图象，得到 y f( x)的图象；然后将 y f( x)的图象向右平移 2 个单位，得到 y f(2 x)的图象故选 D.2如图
7、142 所示的图形是由一个半径为 2 的圆和两个半径为 1 的半圆组成的，它们的圆心分别是 O， O1， O2，动点 P 从 A 点出发沿着圆弧按 A O B C A D B 的路线运动(其中A， O， O1， O2， B 五点共线)，记点 P 运动的路程为 x，设 y| O1P|2， y 与 x 的函数关系为y f(x)，则 y f(x)的大致图象是( )图 142A 当 x0，时， y1.当 x(，2)时， ，设 与 的夹角为O1P O2P O2O1 O2P O2O1 ，| |1，| |2，由弧长公式得 x，所以 y| |2( )O2P O2O1 O1P O2P O2O1 254cos 5
8、4cos x， x(，2)，所以函数 y f(x)的图象是曲线，且单调递增，排除 C，D.当 x2，4)时，因为 ，设 ， 的夹角为O1P OP OO1 OP OO1 ，| |2，| |1，由弧长公式得 2 x，所以 y| |2( )OP OO1 12 O1P OP OO1 254cos 54cos x， x2，4)，所以函数 y f(x)的图象是曲线，且单调12递减，排除 B.故选 A.题型强化集训(见专题限时集训 T2、T 6、T 8、T 11)题型 2 函数性质的综合应用(对应学生用书第 48 页)核心知识储备1若 f(x)在定义域上单调递增，则 f(x1) f(x2)x1 x2；若 f
9、(x)在定义域上单调递减，则f(x1) f(x2)x1 x2.2周期性的三个常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x a) f(x)，则 T2 a；(2)若 f(x a) ，则 T2 a；1f x(3)若 f(x a) ，则 T2 a.(a0) 1f x3与函数对称性有关的三条结论(1)函数 y f(x)关于 x 对称 f(a x) f(b x)f(x) f(b a x)；a b2特例：函数 y f(x)关于 x a 对称 f(a x) f(a x)f(x) f(2a x)；函数 y f(x)关于 x0 对称 f(x) f( x)(即为偶函数 )；(2)函数 y f(x
10、)关于点( a， b)对称 f(a x) f(a x) 2bf(2a x) f( x)2 b；特例：函数 y f(x)关于点( a,0)对称 f(a x) f(a x)0 f(2a x) f( x)0；函数 y f(x)关于点(0,0)对称 f(x) f( x)0(即为奇函数 )；(3)y f(x a)是偶函数函数 y f(x)关于直线 x a 对称；y f(x a)是奇函数函数 y f(x)关于( a,0)对称典题试解寻法【典题 1】 (考查基本初等函数的性质)(2016全国卷)若 ab1,0f(2x1)成立的 x 的取值范围是( )11 x2【导学号：07804100】A. B. (1，)
11、(13， 1) ( ， 13)C. D. (13， 13) ( ， 13) (13， )思路分析 判断 f(x)的奇偶性判断 f(x)的单调性解关于 x 的不等式解析 f( x)ln(1| x|) f(x)，11 x 2函数 f(x)为偶函数当 x0 时， f(x)ln(1 x) ，11 x2在(0，)上 yln(1 x)递增， y 也递增，11 x2根据单调性的性质知， f(x)在(0，)上单调递增综上可知： f(x)f(2x1) f(|x|)f(|2x1|)| x|2x1| x2(2x1)23x24 x11， f(log212)2log 2121 6.122 f(2) f(log212)3
12、69.故选 C.2.(2017全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1 f(x2)1 的 x 的取值范围是( )【导学号：07804101】A2,2 B1,1C0,4 D1,3D f(x)为奇函数， f( x) f(x) f(1)1， f(1) f(1)1.故由1 f(x2)1，得 f(1) f(x2) f(1)又 f(x)在(，)单调递减，1 x21，1 x3.故选 D.3. (2017全国卷)设 x， y， z 为正数，且 2x3 y5 z，则( )A2 x3y5z B5 z2x3yC3 y5z2x D3 y2x5zD 令 t2 x3 y5 z， x， y
13、， z 为正数， t1.则 xlog 2t ，同理， y ， z .lg tlg 2 lg tlg 3 lg tlg 52 x3 y 2lg tlg 2 3lg tlg 3 lg t 2lg 3 3lg 2lg 2lg 3 0，lg t lg 9 lg 8lg 2lg 32 x3 y.又2 x5 z 2lg tlg 2 5lg tlg 5 lg t 2lg 5 5lg 2lg 2lg 5 0，lg t lg 25 lg 32lg 2lg 52 x5 z，3 y2 x5 z.故选 D.4. (2015全国卷)如图 144，长方形 ABCD 的边 AB2， BC1， O 是 AB 的中点点 P 沿
14、着边BC， CD 与 DA 运动，记 BOP x，将动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则y f(x)的图象大致为 ( )图 144B 当 x 时， f(x)tan x ，图象不会是直线段，从而排除 A，C.0， 4 4 tan2 x当 x 时， f f 1 ， 4， 34 ( 4) (34) 5f 2 .2 1 ，( 2) 2 2 5 f f f ，从而排除 D，故选 B.( 2) ( 4) (34)5(2015全国卷)若函数 f(x) xln(x )为偶函数，则 a_.a x21 f(x)为偶函数， f( x) f(x)0 恒成立， xln( x ) xln(x )0 恒成立， xln( x )ln( xa x2 a x2 a x2)0，a x2 xln( x )(x )0， xln a0 恒成立，ln a0，即 a1.a x2 a x2
