1、6.直线、圆、圆锥曲线要点重温1直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为0，)(2)经过两点 P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)的直线的倾斜角为 ( 90)，则斜率为 ktan (x1 x2)；y1 y2x1 x2(3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助 ktan 的图象(如图 22)图 22应用 1 已知直线 l 过 P(1,2)，且与以 A(2，3)， B(3,0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 【导学号：07804189】答案 5，) ( ， 122直线方程的几种形式：点斜式： y y0 k(x x0)；斜截式： y kx b；两点式： y y1y2 y1；截
2、距式： 1( a0， b0)；一般式： Ax By C0( A2 B20)要注意由于x x1x2 x1 xa yb“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解应用 2 若直线在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍，且过点(1,2)，则此直线方程为_答案 x2 y50 或 y2 x3两直线的平行与垂直(1)l1： y k1x b1， l2： y k2x b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1 l2k1 k2； l1 l2k1k21.(2)l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20，则有 l1 l2A1B2 A2B10 且B1C2 B2C10； l1 l2A1A
3、2 B1B20.特别提醒： ， ， 仅是两直线平行、相交、重合的充分不必A1A2 B1B2 C1C2 A1A2 B1B2 A1A2 B1B2 C1C2要条件应用 3 设直线 l1： x my60 和 l2：( m2) x3 y2 m0，当 m_时，l1 l2；当 m_时， l1 l2；当_时 l1与 l2相交；当 m_时， l1与 l2重合答案 1 m3 且 m1 3124点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点 P(x0， y0)到直线 Ax By C0 的距离为 d ；|Ax0 By0 C|A2 B2(2)两平行线 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20 间的距离为 d
4、 .|C1 C2|A2 B2应用 4 两平行直线 3x2 y50 与 6x4 y50 间的距离为_答案 1513265圆的方程：(1)标准方程：( x a)2( y b)2 r2；(2)一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)；(3)以线段 P1P2为直径的圆方程：( x x1)(x x2) ( y y1)(y y2)0.(4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于 a， b， r 或 D， E， F 的方程组，求得 a， b， r 或 D， E， F 的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可解题时注意圆的几何性质的应用应用 5 (1) 若方程 a2x2( a
5、2) y22 ax a0 表示圆，则 a_.(2)求与 x 轴相切，圆心在直线 3x y0 上，且被直线 x y0 截得的弦长为 2 的圆7的方程答案 (1)1(2)x2 y22 x6 y10 或 x2 y22 x6 y106直线与圆的位置关系(1)若直线与圆相交，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则 l2 .r2 d2(2)圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦(3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用 0， 0， r，分别确定相交、相切、相离的位置关系应用 6 过点(3,1)作圆( x1) 2 y21 的两条切线，切点分别为 A， B，则直线 AB
6、 的方程为( )A2 x y30 B2 x y30C4 x y30 D4 x y30解析 点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为 ，所以直线 AB 的斜率为2，显然(1,1)12为其中一个切点，所以直线 AB 的方程为 y12( x1)，化简得 2x y30.故选 A.答案 A7(1) 圆锥曲线的定义和性质名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)|PF1| PF2|2 a (2ab0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)x2a2 y2b2y22 px(p0)图形范围 |x| a，| y| b |x| a x0顶点 (a,0)，(0， b) (a,0)
7、 (0,0)对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 关于 x 轴对称焦点 (c,0) ( ，0)p2轴 长轴长 2a，短轴长 2b 实轴长 2a，虚轴长 2b离心率e (01)ca 1 b2a2 e1准线 x p2通径 |AB| 2b2a |AB|2 p渐近线 y xba(2) 求圆锥曲线的标准方程时，一定要先定位，再定量应用 7 (1)已知抛物线 y22 px(p0)上一点 M(1， m)(m0)到其焦点的距离为 5，双曲线 y21 的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值是( )x2aA. B19 125C. D15 13(2)若 1 表示椭圆，则 m，
8、n 应满足的关系是_. x2m y2n【导学号：07804190】(3)已知椭圆的离心率为 ，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程12解析 (1)由抛物线定义可得 M 点到准线的距离为 5， p8，抛物线方程为y216 x， M(1,4)，点 A( ，0)，由 AM 的斜率等于渐近线的斜率得 ，解得a41 a 1aa ，故选 A.19答案 (1)A (2) m0， n0， m n(3) 1 和 1x216 y212 x2434 y24338(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相
9、切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2| 或| P1P2| . 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 (1 1k2) y1 y2 2 4y1y2(3)过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则焦半径| CF| x1 ；p2弦长| CD| x1 x2 p； x1x2 ， y1y2 p2.p24应用 8 已知抛物线的方程为 y22 px(p
10、0)，过抛物线上一点 M(p， p)和抛物线的焦2点 F 作直线 l 交抛物线于另一点 N，则| NF| FM|等于( )A1 B12 3C12 D13解析 由题意可知直线 l 的方程为 y2 ，2(xp2)联立方程Error!得 N ，(p4， 22p)所以| NF| p，| FM| p p，p4 p2 34 p2 32所以| NF| FM|12.答案 C应用 9 已知双曲线 x2 1，过点 A(1,1)能否作直线 l，使 l 与双曲线交于 P、 Q 两y22点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解 设被 A(1,1)所平分的弦所在直线方程为 y
11、 k(x1)1.代入双曲线方程 x2 1，整理得，y22(2 k2)x22 k(k1) x32 k k20，由 4 k2(k1) 24(2 k2)(2k3 k2)0，解得 k ，32故不存在被点 A(1,1)平分的弦查缺补漏1已知圆 C：( x a)2( y b)2 r2的圆心为抛物线 y24 x 的焦点，直线 3x4 y20 与圆 C相切，则该圆的方程为( )A( x1) 2 y26425B x2( y1) 26425C( x1) 2 y21D x2( y1) 21C 因为抛物线 y24 x 的焦点为(1,0)，所以 a1， b0，又直线 3x4 y20 与圆 C相切，得 r 1，所以该圆的
12、方程为( x1) 2 y21.|3 2|52已知双曲线 C： 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，且其右焦点为(5,0)，则双x2a2 y2b2 34曲线 C 的方程为( ) 【导学号：07804191】A. 1 B 1x29 y216 x216 y29C. 1 D 1x23 y24 x24 y23B 由题意得 ， c2 a2 b225，所以 a4， b3，所求双曲线方程为 1.ba 34 x216 y293已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，四个顶点构成的四边形的面积为 12，直线 lx2a2 y2b2 32与椭圆 C 交于 A， B 两点，且线段 AB 的中点为 M(2,1
13、)，则直线 l 的斜率为( )A B13 32C D112C 由题意得 ，2 ab12 a212， b23，利用点差法得直线 l 的斜率为ca 32 ，选 C.b2x中a2y中 3 2121 124若抛物线 x24 y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为( )A B34 32C1 D2D 设抛物线的焦点为 F(0,1)， AB 的中点为 M，准线方程为 y1，则点 M 到准线的距离 d (|AF| BF|) |AB|3，即点 M 到准线的距离的最小值为 dmin3，所以点 M 到12 12x 轴的最短距离 d min dmin12，选 D.5已知 P 为椭圆
14、 1 上的点，点 M 为圆 C1：( x3) 2 y21 上的动点，点 N 为圆x225 y216C2：( x3) 2 y21 上 的动点，则| PM| PN|的最大值为( )A8 B12C16 D 20B 由题可知，(| PM| PN|)max| PC1| PC2|212，故选 B.6过曲线 C1： 1( a0， b0)的左焦点 F1作曲线 C2： x2 y2 a2的切线，设切点为 M，延x2a2 y2b2长 F1M 交曲线 C3： y22 px(p0)于点 N，其中 C1、 C3有一个共同的焦点，若| MF1| MN|，则曲线 C1的离心率为( )A. B 15 5C. 1 D55 12D
15、 如图所示，OM F1N，且 M 为线段 F1N 的中点，所以 AN F2N2 a， F2N F1N，所以在 Rt F1F2N 中，cos NF1F2 ，在 Rt F1AN 中，cos F1NA ，又因为 NF1F2 F1NA，所以2b2c bc 2a2b ab ，即 c2 a2 b2 ac，解之得 e ，故选 D.bc ab 1 527已知双曲线 C1： y21，双曲线 C2： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， M 是x24 x2a2 y2b2双曲线 C2的一条渐近线上的点，且 OM MF2， O 为坐标原点，若 S OMF216，且双曲线C1， C2的离心率相同，则双曲线
16、C2的实轴长是( )A32 B16C8 D4B 因为双曲线 C2： 1 与双曲线 C1： y21 的离心率相同，所以 e ，x2a2 y2b2 x24 ca 52解得 ，即双曲线 C2的一条渐近线方程为 y x，即 x2 y0，又因为 OM MF2，ba 12 12OMF2的面积为 16，所以 |OM|MF2| MF2|216，解得| MF2|4，即右焦点 F2(c,0)到12渐近线 x2 y0 的距离为 4，所以 4，解得 c4 ， a 8,2 a16，即双曲线c5 5 4552C2的实轴长为 16.故选 B.8抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， O 为坐标原点， M 为抛物线上一点
17、，且| MF|4| OF|， MFO的面积为 4 ，则抛物线方程为( )3A y26 x B y28 xC y216 x D y2 x152B 依题意，设 M(x， y)，| OF| ，所以| MF|2 p， x 2 p， x ， y p，又p2 p2 3p2 3MFO 的面积为 4 ，所以 p4 ， p4，所以抛物线方程为 y28 x，选 B.312 p2 3 39在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： y2 x4，圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l 上，若圆 C上存在点 M，且 M 在圆 D： x2( y1) 24 上，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围是( )A.35， 2B.0，
18、125C. 225 5， 2 25 5D. 0， 225 5 2 25 5， 4B 点 M 既在圆 C 上，又在圆 D 上，所以圆 C 和圆 D 有公共点，圆 C 的圆心为( a,2a4) ，半径为 1，圆 D 的圆心为(0，1) ，半径为 2，则圆心距 a2 2a 4 1 2，满足Error! ，解得：0 a ，故选 B.5a2 12a 912510已知圆 C： x2 y24，点 P 为直线 x2 y90 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线PA、 PB, A、 B 为切点，则直线 AB 经过定点A. B(49， 89) (29， 49)C(2,0) D(9,0)A 设 A(x1， y1
19、)， B(x2， y2)， P(x0， y0), 则 PA： x1x y1y4； PB： x2x y2y4; 即x1x0 y1y04； x2x0 y2y04；因此 A、 B 在直线 x0x y0y4 上，直线 AB 方程为x0x y0y4，又 x02 y090，所以(92 y0)x y0y4 y0(y2 x)9 x40 即y2 x0,9 x40 y ， x ，直线 AB 经过定点 ，选 A.89 49 (49， 89)11已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，上、下顶点分别是 B1， B2，点 Cx2a2 y2b2是 B1F2的中点，若 2，且 CF1 B1F2，则椭圆的方
20、程为_B1F1 B1F2 1 由题意可得 F1( c,0)， F2(c,0)， B1(0， b)， B2(0， b)， C ， x24 y23 (c2， b2) B1F1 ( c， b)(c， b) c2 b22， ，可得 0，即有B1F2 CF1 B1F2 CF1 B1F2 (c， b) c2 0，解得 c1， b ， a 2，可得椭(3c2， b2) 32 b22 3 b2 c2圆的方程为 1.x24 y2312在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y28 x150，若直线 y kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_
21、圆 C 的标准方程为( x4) 2 y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到 kx y20 的43距离应不大于 2，即 2.整理，得 3k24 k0，解得 0 k .故 k 的最大值是 .|4k 2|k2 1 43 4313已知双曲线 C： 1( ba0)的右焦点为 F， O 为坐标原点，若存在直线 l 过点 F 交双x2a2 y2b2曲线 C 的右支于 A， B 两点，使 0，则双曲线离心率的取值范围是_. OA OB 【导学号：07804192】设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 的方程为 x my c(0 mb0)的右焦点 F，抛物线 x24 y 的焦点为x2a2
22、 y2b2 3椭圆 C 的上顶点，且直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且 1 ， 2 ，当 m 变化时， 1 2的值是否MA AF MB BF 为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由解 (1)易知椭圆右焦点 F(1,0)， c1，抛物线 x24 y 的焦点坐标(0， )，3 3 b ， a2 b2 c24.3椭圆 C 的方程为 1 .x24 y23(2)易知 m0， M ，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，(0， 1m)由Error! (3 m24) y26 my90， (6 m)236(3 m24)144(
23、 m21)0. y1 y2 ， y1y2 .6m3m2 4 93m2 4又由 1 ， 2 得： 11 ，MA AF MB BF 1my1 21 .1my2 1 22 .1m y1 y2y1y2 8315已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物线12x24 y 的焦点3(1)若 A， B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点，设点 P(4,0)，连接 PA 交椭圆 C 于另一点 E，求证：直线 BE 与 x 轴相交于定点 M；(2)设 O 为坐标原点，在(2)的条件下，过点 M 的直线交椭圆 C 于 S， T 两点，求 的OS OT 取值范围解 (
24、1)证明：设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)，抛物线 x24 y 的焦点为x2a2 y2b2 3(0， )由题意，可得Error!Error!3椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23由题意可知直线 PA 存在斜率，设直线 PA 的方程为 y k(x4)，代入椭圆方程可得(4k23) x232 k2x64 k2120.由 32 2k44(4 k23)(64 k212)0，有 k .12 12设 A(x1， y1)， E(x2， y2)，则 B(x1， y1)，由根与系数的关系得 x1 x2 ， x1x2 32k24k2 3 64k2 124k2 3直线 BE 的方程为 y y1 (x
25、x1)，y2 y1x2 x1令 y0，可得 xM x1 ，x2y1 x1y1y1 y2 x1y2 x2y1y1 y2将 y1 k(x14)， y2 k(x24)代入上式，整理可得xM 2x1x2 4 x1 x2x1 x2 8将，代入整理可得xM 12 64k2 12 128k2 32k2 8 4k2 3直线 BE 与 x 轴相交于定点 M(1,0)(2)当过点 M 的直线 ST 的斜率为 0 时， S(2,0)， T(2,0)，此时 4.OS OT 当过点 M 的直线 ST 的斜率不为 0 时，设直线 ST 的方程为 x my1，且设点 S(x1， y1)，T(x2， y2). 联立Error!，消去 x 整理，得(3 m24) y26 my90，由根与系数的关系得： y1 y2 ， y1y2 .6m3m2 4 93m2 4从而 x1x2 y1y2OS OT ( my11)( my21) y1y2( m21) y1y2 m(y1 y2)1 1 9 m2 13m2 4 6m23m2 4 12m2 53m2 44 综上所述， 的取值范围为 .113m2 4 ( 4， 54 OS OT 4， 54
