1、数学思想专项练(三) 分类讨论思想(对应学生用书第 125 页)题组 1 由概念、法则、公式引起的分类讨论1已知数列 an的前 n 项和 Sn Pn1( P 是常数)，则数列 an是( )A等差数列 B等比数列C等差数列或等比数列 D以上都不对D Sn Pn1， a1 P1， an Sn Sn1 ( P1) Pn1 (n2)当 P1 且 P0 时， an是等比数列；当 P1 时， an是等差数列；当 P0 时， a11， an0( n2)，此时 an既不是等差数列也不是等比数列2已知实数 m 是 2,8 的等比中项，则曲线 x2 1 的离心率为( )y2mA. B232C. D 或5 532D
2、 由题意可知， m22816， m4.(1)当 m4 时，曲线为双曲线 x2 1.y24此时离心率 e .5(2)当 m4 时，曲线为椭圆 x2 1.y24此时离心率 e .323已知二次函数 f(x) ax22 ax1 在区间3,2上的最大值为 4，则 a 等于( ) 【导学号：07804150】A3 B38C3 D 或338D 当 a0 时， f(x)在3，1上单调递减，在1,2上单调递增，故当 x2 时，f(x)取得最大值，即 8a14，解得 a .当 a0 时，易知 f(x)在 x1 处取得最大，38即 a14， a3.综上可知， a 或3.故选 D.384设等比数列 an的公比为 q
3、，前 n 项和 Sn0(n1,2,3，)，则 q 的取值范围是_(1,0)(0，) 因为 an是等比数列， Sn0，可得 a1 S10， q0.当 q1 时， Sn na10；当 q1 时， Sn 0，a1 1 qn1 q即 0(nN *)，则有Error! 1 qn1 q或Error! 由得11.故 q 的取值范围是(1,0)(0，)5若 x0 且 x1，则函数 ylg xlog x10 的值域为_(，22，) 当 x1 时， ylg x 2 2，当且仅当1lg x lg x1lg xlg x1，即 x10 时等号成立；当 0 x1 时， ylg x 1lg x2 2，当且仅当 lg x ，
4、 lg x (1lg x) lg x 1 lg x 1lg x即 x 时等号成立 y(，22，)1106已知函数 f(x) ax b(a0， a1)的定义域和值域都是1,0，则 a b_. 当 a1 时，函数 f(x) ax b 在1,0上为增函数，由题意得Error!无解当320 a1 时，函数 f(x) ax b 在1,0上为减函数，由题意得Error!解得Error! 所以a b .327.(2017全国卷)设函数 f(x)Error!则满足 f(x) f 1 的 x 的取值范围是_(x12)由题意知，可对不等式分 x0,0 三段讨论(14， ) 12 12当 x0 时，原不等式为 x1
5、 x 11，解得 x ，12 14 x0.14当 01，显然成立12 12当 x 时，原不等式为 2x2 1，显然成立12综上可知， x .14题组 2 由参数变化引起的分类讨论8已知集合 A x|1 x5， C x| a x a3若 C A C，则 a 的取值范围为( )A. B(32， 1 ( ， 32C(，1 D (32， )C 因为 C A C，所以 CA.当 C时，满足 CA，此时 a a3，得 a ；32当 C时，要使 CA，则Error!解得 a1.32由得 a1.9已知函数 f(x)( a1)ln x ax21，试讨论函数 f(x)的单调性. 【导学号：07804151】解 由
6、题意知 f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 ax .a 1x 2ax2 a 1x当 a0 时， f( x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增当 a1 时， f( x)0；(0， a 12a)当 x 时， f( x)0.( a 12a， )故 f(x)在 上单调递增，(0， a 12a)在 上单调递减( a 12a， )综上，当 a0 时， f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时， f(x)在(0，)上单调递减；当1 a0 时， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(0， a 12a) ( a 12a， )题组 3 根据图形位置或形状分类讨论10已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上
7、的双曲线的渐近线方程为 y x，则双曲线的离心34率为( )A. B54 53C. 或 D 或54 53 35 45C 若双曲线的焦点在 x 轴上，则 ， e ；若双曲线的焦点在 y 轴上，ba 34 ca 1 (ba)2 54则 ， e ，故选 C.ba 43 ca 1 (ba)2 5311已知变量 x， y 满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k( )A B12 12C0 D 或 012D 不等式组Error!表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若不等式组Error! 表示的平面区域是直角三角形，只有直线 y kx1 与直线 x0 或 y2 x 垂
8、直时才满足结合图形可知斜率 k 的值为 0 或 .1212正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为_4 或 若侧面矩形的长为 6，宽为 4，则3833V S 底 h 22sin 6044 .12 3若侧面矩形的长为 4，宽为 6，则V S 底 h sin 606 .12 43 43 83313设 F1， F2为椭圆 1 的两个焦点， P 为椭圆上一点已知 P， F1， F2是一个直角三角x29 y24形的三个顶点，且| PF1| PF2|，则 的值为_|PF1|PF2|或 2 若 PF2F190.则| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，72又因为| PF1|
9、PF2|6，| F1F2|2 ，5解得| PF1| ，| PF2| ，所以 .143 43 |PF1|PF2| 72若 F1PF290，则| F1F2|2| PF1|2| PF2|2，所以| PF1|2(6| PF1|)220，所以| PF1|4，| PF2|2，所以 2.|PF1|PF2|综上知， 或 2.|PF1|PF2| 7214已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(1,0)， F2(1,0)，且 F2到直线 x y90 的距离等于3椭圆的短轴长(1)求椭圆 C 的方程；(2)若圆 P 的圆心为 P(0， t)(t0)，且经过 F1， F2两点， Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P外，过
10、 Q 作圆 P 的切线，切点为 M，当| QM|的最大值为 时，求 t 的值. 322【导学号：07804152】解 (1)设椭圆的方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2依题意可得 2b 4，所以 b2，又 c1，所以 a2 b2 c25，|1 9|2所以椭圆 C 的方程为 1.x25 y24(2)设 Q(x， y) ，圆 P 的方程为 x2( y t)2 t21，(其 中x25 y24 1)连接 PM(图略)，因为 QM 为圆 P 的切线，所以 PM QM，所以| QM| .|PQ|2 t2 1 x2 y t 2 t2 1 14 y 4t 2 4 4t2若4 t2，即 t ，12当 y2 时，| QM|取得最大值，且| QM|max ，解得 t (舍去)4t 3322 38 12若4 t2，即 0 t ，当 y4 t 时，| QM|取得最大值，12且| QM|max ，解得 t2 ，又 0 t ，所以 t .4 4t2322 18 12 24综上，当 t 时，| QM| 的最大值为 .24 322
