1、突破点 10 空间中的平行与垂直关系核心知识提炼提炼 1 异面直线的性质(1)异面直线不具有传递性注意不能把异面直线误解为分别在两个不同平面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线(2)异面直线所成角的范围是 ，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直(0，2或相交垂直(3)求异面直线所成角的一般步骤为：找出(或作出)适合题设的角 用平移法；求 转化为在三角形中求解；结论 由所求得的角或其补角即为所求.提炼 2 平面与平面平行的常用性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行
2、(4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.提炼 3 证明线面位置关系的方法(1)证明线线平行的方法：三角形的中位线等平面几何中的性质；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理(2)证明线面平行的方法：寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；寻找面面平行，利用面面平行的性质(3)证明线面垂直的方法：线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理(4)证明面面垂直的方法：定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线高考真题回访回访 1 异面直线所成的角
3、1(2017全国卷 )如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )A A 项，作如图 所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QDAB.QD平面 MNQQ，QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交B 项，作如图所示的辅助线， 则 ABCD，CDMQ，ABMQ.又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.C 项，作如图所示的辅助线， 则 ABCD，CDMQ，ABMQ.又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.D 项，作如 图 所示的辅助线，
4、则 ABCD，CDNQ，ABNQ.又 AB平面 MNQ，NQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.故选 A.2(2016全国卷 )平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A， 平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为( )A. B32 22C. D.33 13A 设 平面 CB1D1平面 ABCDm 1.平面 平面 CB1D1，m1m.又平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且平面 CB1D1平面 A1B1C1D1B 1D1，B1D1m1.B1D1m.平面 ABB1A1平面 DCC1D1，且平面 CB1D1平面 DCC1D1CD 1，同理可证
5、CD1n.因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1 与 CD1 所成的角在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，CB 1D1 是正三角形，故直线 B1D1 与 CD1 所成角为 60，其正弦 值为 .32回访 2 线面位置关系的性质与判断3(2013全国卷 )已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足lm，ln，l ，l，则( )A 且 lB 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 lD 根据所 给的已知条件作图，如图所示由图可知 与 相交，且交线平行于 l，故 选 D.4(2016全国卷)， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果
6、 mn，m，n，那么 .如果 m，n ，那么 mn.如果 ，m，那么 m.如果 mn， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 对于， 可以平行，也可以相交但不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线 l，nl ，又 m，所以 ml，所以mn，故正确对于，因为 ，所以 ， 没有公共点又 m，所以 m， 没有公共点，由线面平行的定义可知 m，故正确对于，因为 mn，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等因为 ，所以 n 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，故正确热点题型 1 空
7、间位置关系的判断与证明题型分析：空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考常规的命题形式，此类题目综合体现了相关判定定理和性质定理的应用，同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想【例 1】(1)(2017全国卷 )在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则( )AA 1EDC 1 BA 1EBDCA 1EBC 1 DA 1EACC 法一： 如图， A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC，BD 垂直，B，D 错；A1E 在平面 BCC1B1 上的投影为 B1C，且 B1CBC1，A1EBC1，故 C 正确；(证明： 由条件易知，BC 1B1C
8、，BC1CE，又 CEB 1CC，BC1平面 CEA1B1.又 A1E平面 CEA1B1，A1EBC1)A1E 在平面 DCC1D1 上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1 垂直，故 A 错故选 C.法二：(空间向量法) 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E ， (0，12，0) A1E ， (0,1,1)， (1，1,0)， (1,0,1)， (1,1,0)，( 1，12， 1) DC1 BD BC1 AC 0， 0， 0， 0， A1EBC1.A1E D
9、C1 A1E BD A1E BC1 A1E AC 故选 C.(2)(2017全国卷)如图 101，在四棱锥 PABCD 中， ABCD，且BAP CDP 90.证明：平面 PAB平面 PAD；若 PAPDAB DC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求该四83棱锥的侧面积图 101解 证明：由已知 BAP CDP90，得 ABAP，CDPD 1 分由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD. 3 分又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD 4 分如图，取 AD 的中点 E，连接 PE，则 PEAD.由知，AB 平面 PAD，故 ABPE，ABAD，可得 PE平面
10、 ABCD 6 分设 ABx，则由已知可得AD x，PE x.222故四棱锥 PABCD 的体积VPABCD ABADPE x3.13 13由题设得 x3 ，故 x2 8 分13 83从而结合已知可得 PAPDAB DC2， ADBC2 ，PBPC 2 2 210 分可得四棱锥 PABCD 的侧面积为PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062 12 分12 12 12 12 3方法指津在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时，我们可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例和构建几何模型判断两直线是异面直线是难点，我们可以依据定义来判定，也可以依据定理(过平面外一点与平面内一点
11、的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线)判定而反证法是证明两直线异面的有效方法提醒：判断直线和平面的位置关系中往往易忽视直线在平面内，而面面位置关系中易忽视两个平面平行此类问题可以结合长方体中的线面关系找出假命题中的反例变式训练 1 (1)(2017石家庄二模 )设 m，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m，n ，则 mn；若 ，m，则 m；若 n，mn，则 m，m；若 ， ，则 .其中真命题的个数为( ) 【导学号：04024094】A0 B1 C2 D3B 若 m，n ，则 m，n 可能平行或异面， 错误；若 ，则 ，又m，则 m，正确；若 n，
12、mn，则 m 或 m 或 m 或 m，错误；若 ，则 ， 可能平行或相交， 错误，故选 B.(2)(2017全国卷)如图 102，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB BC AD，BAD ABC90.12图 102证明：直线 BC平面 PAD；若PCD 的面积为 2 ，求四棱锥 PABCD 的体积7解 证明：在平面 ABCD 内，因 为BADABC90，所以 BCAD.又BC平面 PAD，AD平面 PAD，故 BC平面 PAD.如图，取 AD 的中点 M，连接 PM，CM.由 ABBC AD 及12BCAD，ABC90得四边形 ABCM 为正方形， 则
13、 CMAD.因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面ABCDAD ，所以 PMAD，PM底面 ABCD.因为 CM底面 ABCD，所以 PMCM.设 BCx， 则 CMx，CD x，PM x，PCPD2x .2 3如图，取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PNCD，所以 PN x.142因为PCD 的面积为 2 ，所以 x x2 .712 2 142 7解得 x2(舍去)或 x2.于是 ABBC2， AD4，PM2 .3所以四棱锥 PABCD 的体积 V 2 4 .13 22 42 3 3热点题型 2 平面图形的翻折问题题型分析：(1)解决翻折问题的关键是搞清翻
14、折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况(2)找出其中变 化的量和没有变化的量，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化【例 2】 (2016 全国卷)如图 103，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点E，F 分别在 AD，CD 上， AECF ，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置图 103(1)证明：AC HD；(2)若 AB5，AC6，AE ，OD2 ，求五棱锥 DABCFE 的体积54 2解 (1)证明：由已知得 ACBD，ADCD 1 分又由 AECF 得 ，故 ACEF 2 分AEAD CFCD
15、由此得 EFHD，故 EFHD，所以 ACHD. 3 分(2)由 EFAC 得 4 分OHDO AEAD 14由 AB5， AC6 得 DOBO 4.AB2 AO2所以 OH1，DHDH3. 5 分于是 OD 2OH 2(2 )21 29DH 2，2故 ODOH 6 分由(1)知 ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD 8 分又由 ODOH， ACOH O，所以 OD 平面 ABC.又由 得 EF 10 分EFAC DHDO 92五边形 ABCFE 的面积 S 68 3 . 11 分12 12 92 694所以五棱锥 DABCFE 的体积 V 2 12 分1
16、3 694 2 2322方法指津翻折问题的注意事项1画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图2把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础3准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面 图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础变式训练 2 如图 104，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AM CD AB1，M 为13AB 的三等分点，现将AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD平面 MBCD，连接AB，AC.(1)在
17、 AB 边上是否存在点 P，使 AD平面 MPC，请说明理由；(2)当点 P 为 AB 边中点时，求点 B 到平面 MPC 的距离【导学号：04024095】图 104解 (1)当 AP AB 时，有 AD平面 MPC.13理由如下：连接 BD 交 MC 于点 N，连接 NP 2 分在梯形 MBCD 中，DCMB， .DNNB DCMB 12在ADB 中， ，ADPN 4 分APPB 12AD 平面 MPC，PN 平面 MPC，AD 平面 MPC 6 分(2)平面 AMD平面 MBCD，平面 AMD 平面 MBCDDM ，由题易知，在AMD 中，AM DM，AM平面 MBCD，又 P 为 AB 中点，V PMBC SMBC 13 AM2 2113 12 12 . 9 分16在MPC 中，MP AB ，12 52MC ，PC ，2 (12)2 12 52S MPC . 11 分12 2 ( 52)2 ( 22)2 64点 B 到平面 MPC 的距离为 12 分3VPMBCS MPC31664 63
