1、数学思想专练(三) 分类讨论思想题组 1 由概念、法则、公式引起的分类讨论1已知数列a n的前 n 项和 SnP n1( P 是常数)，则数列a n是( )A等差数列 B等比数列C等差数列或等比数列 D以上都不对D S nP n1，a1P1，a nS nS n1 (P1)P n1 (n2)当 P1 且 P0 时， an是等比数列；当 P1 时， an是等差数列；当 P0 时， a11， an0(n2) ，此 时a n既不是等差数列也不是等比数列2(2017蚌埠模拟 )已知函数 f(x)log 2(ax22x 3) ，若对于任意实数 k，总存在实数 x0，使得 f(x0)k 成立，则实数 a 的
2、取值范围是 ( ) 【导学号：04024013】A. B. 1，13) 0，13C3，) D(1，)B 对 于任意实数 k，总 存在实数 x0，使得 f(x0)k 成立， f(x)值域为 R，因此要求 yax 22x3 的函数值能取到一切正数 a0 时，y2x 3 符合题意a0 时，需Error!即 0a .综上， 实数 a 的取值范围是 .13 0，133已知函数 f(x)的定义域为 (，)，f(x)为 f(x)的导函数，函数 yf(x)的图象如图 1 所示，且 f(2)1，f(3) 1，则不等式 f(x26) 1 的解集为( )图 1A( 3，2) (2,3)B( ， )2 2C(2,3)
3、D( ， )( ， )2 2A 由 导函数图象知，当 x0 时，f(x)0，即 f(x)在( ，0)上为增函数，当 x0 时，f(x )0，即 f(x)在(0， )上为减函数，又不等式 f(x26)1 等价于 f(x26)f(2)或 f(x26)f (3)，故2x 260或 0x 26 3，解得 x(3， 2)(2,3)4已知实数 m 是 2,8 的等比中项，则曲线 x2 1 的离心率为( ) y2m【导学号：04024014】A. B 232C. D 或5 532D 由 题意可知，m 22816， m4.(1)当 m4 时 ，曲线为双曲线 x2 1.y24此时离心率 e .5(2)当 m4
4、时，曲线为椭圆 x2 1.y24此时离心率 e .325在ABC 中，已知 sin A ，cos B ，则 cos C_.12 513 0cos B ，且 B 为ABC 的一个内角，12 5326 513 2245B 90，sin B ，1213若 A 为锐角，由 sin A ，得 A30，此时 cos A ，12 32若 A 为钝角，由 sin A ，得 A150，此时 AB180，12这与三角形的内角和为 180相矛盾，A150，cos Ccos(A B) cos(A B)(cos Acos Bsin Asin B) .(32 513 121213) 12 53266若 x0 且 x1，则
5、函数 ylg xlog x10 的值域为_. 【导学号：04024015】(， 2 2，) 当 x1 时，ylg x 2 2，当且仅当1lg x lg x 1lg xlg x 1，即 x10 时等号成立；当 0x 1 时，ylg x 1lg x2 2，当且仅当 lg x ，即 x 时 lg x ( 1lg x) lg x 1 lg x 1lg x 110等号成立y(，2 2， )题组 2 由参数变化引起的分类讨论7已知集合 A x|1x5 ，Cx|axa3若 CA C，则 a 的取值范围为( )A. B.( 32， 1 ( ， 32C(，1 D.( 32， )C 因 为 CAC，所以 CA .
6、当 C时， 满足 CA，此 时aa3，得 a ；32当 C时，要使 CA， 则Error!解得 a1.由得 a1.328(2016保定模拟 )已知不等式组Error!，所表示的平面区域为 D，若直线 ykx 3与平面区域 D 有公共点，则 k 的取值范围为( ) 【导学号：04024016】A 3,3B. ( ， 13 13， )C(，33 ，)D. 13，13C 满 足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示ykx3 过定点(0，3)，当 ykx 3 过点 C(1,0)时， k3；当 ykx3 过点 B(1,0)时，k 3.k3 或 k3 时，直线 ykx3 与平面区域 D 有公共点，故选 C.
7、9已知函数 f(x)(a1)ln xax 21，试讨论函数 f(x)的单调性解 由题意知 f(x)的定义域为(0，)， 1 分f(x) 2ax 2 分a 1x 2ax2 a 1x当 a0 时 ，f(x )0，故 f(x)在(0，)上单调递增 4 分当 a1 时，f(x )0 ；(0， a 12a)当 x 时，f(x)0.( a 12a， )故 f(x)在 上单调递增，(0， a 12a)在 上单调递减 10 分( a 12a， )综上，当 a0 时，f( x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，f(x)在(0 ，)上单调递减；当1 a0 时 ，f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(0， a
8、12a) ( a 12a， )12 分题组 3 根据图形位置或形状分类讨论10已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 y x，则双34曲线的离心率为( )A. B 54 53C. 或 D 或54 53 35 45C 若双曲 线的焦点在 x 轴上，则 ，e ；若双曲线的焦点在ba 34 ca 1 (ba)2 54y 轴上，则 ，e ，故选 C.ba 43 ca 1 (ba)2 5311正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为_. 【导学号：04024017】4 或 若侧面矩形的长为 6，宽为 4，则3833VS 底 h 22sin 6044 .12 3
9、若侧面矩形的长为 4，宽为 6，则VS 底 h sin 606 .12 43 43 83312已知中心在原点 O，左焦点为 F1(1,0)的椭圆 C 的左顶点为 A，上顶点为B，F 1 到直线 AB 的距离为 |OB|.77图 2(1)求椭圆 C 的方程；(2)若椭圆 C1 的方程为： 1(mn0)，椭圆 C2 的方程为：x2m2 y2n2 ( 0，且 1)，则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 倍相似椭圆如图 2，x2m2 y2n2已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆，若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M， N，试求弦长|MN|的取值范围解 (1)设椭圆 C 的方程为
10、1( ab0)，x2a2 y2b2直线 AB 的方程为 1，x a ybF1(1,0) 到直 线 AB 的距离 d b， 2 分|b ab|a2 b2 77a2b 27( a1) 2，又 b2a 21，解得 a2，b ， 3 分3故椭圆 C 的方程为 1 4 分x24 y23(2)椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为 1， 5 分x212 y29若切线 l 垂直于 x 轴，则其方程为 x2，易求得|MN|2 6 分6若切线 l 不垂直于 x 轴，可 设其方程 ykx b，将 ykxb 代入椭圆 C 的方程，得(3 4k2)x28kbx4b 2 120，7 分(8kb) 2 4(34k
11、2)(4b212)48(4k 23b 2) 0，即 b24k 23，(*)8 分记 M，N 两点的坐标分别为(x 1，y1)，(x2，y2)将 ykxb 代入椭圆 C2 的方程，得 (34k 2)x28kbx4b 2360，9 分此时 x1x 2 ，x1x2 ，|x1x 2| ，8kb3 4k2 4b2 363 4k2 4312k2 9 b23 4k210 分|MN| 1 k24312k2 9 b23 4k24 2 .61 k23 4k2 61 13 4k234k 23，11 ，13 4k2 43即 2 2 4 .6 61 13 4k2 2综合得：弦长|MN|的取值范围为2 ，4 12 分6 2
