1、第 23 讲 选修 44 选修 45(对应学生用书第 118 页)一、选择题1.(2017全国卷)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a. 17【导学号：07804137】解 (1)曲线 C 的普通方程为 y21.x29当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4 y30.由Error!解得Error!或Error!从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)， .(2125， 2425)(2
2、)直线 l 的普通方程为 x4 y a40，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离为d .|3cos 4sin a 4|17当 a4 时， d 的最大值为 .a 917由题设得 ，所以 a8; a 917 17当 a4 时， d 的最大值为 . a 117由题设得 ， a 117 17所以 a16.综上， a8 或 a16.选修 45：不等式选讲已知函数 f(x) x2 ax4， g(x)| x1| x1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，不等式 f(x) g(x
3、)等价于x2 x| x1| x1|40. 当 x1 时，式化为 x2 x40，从而 1 x . 1 172所以 f(x) g(x)的解集为Error!.(2)当 x1,1时， g(x)2，所以 f(x) g(x)的解集包含1,1等价于当 x1,1时， f(x)2.又 f(x)在1,1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f(1)2，得1 a1.所以 a 的取值范围为1,12(2017山西五月模拟)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数， )，以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立0， 3极
4、坐标系，已知圆 C 的圆心 C 的极坐标为 ，半径为 2，直线 l 与圆 C 交于 M， N 两(2， 3)点(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)当 变化时，求弦长| MN|的取值范围解 由已知，得圆心 C 的直角坐标为(1， )，半径为 2，3圆 C 的直角坐标方程为( x1) 2( y )24，3即 x2 y22 x2 y0，3 x cos ， y sin ， 22 cos 2 sin 0，3故圆 C 的极坐标方程为 4cos .( 3 )(2)由(1)知，圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y0，3将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2 tcos )2( tsin )2
5、2(2 tcos )2 ( tsin )0，3 3 3整理得， t22 tcos 30，设 M， N 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t22cos ， t1t23，| MN| t1 t2| ， t1 t2 2 4t1t2 4cos2 12 ，cos ，| MN| ，40， 3 12， 1 13(2017郑州第一次质量预测)选修 45：不等式选讲已知 a0， b0，函数 f(x)| x a| x b|的最小值为 4.(1)求 a b 的值；(2)求 a2 b2的最小值14 19解 (1)因为| x a| x b| a b|，所以 f(x)| a b|，当且仅当( x a)(x b)
6、0， b0，所以| a b| a b，所以 f(x)的最小值为 a b，所以 a b4.(2)由(1)知 a b4， b4 a，a2 b2 a2 (4 a)2 a2 a14 19 14 19 1336 89 169 2 ，1336(a 1613) 1613当且仅当 a ， b 时， a2 b2取到最小值为 .1613 3613 14 19 16133.(2016全国卷)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!(t 为参数， a0)在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1
7、的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a. 【导学号：07804138】解 (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2( y1) 2 a2，则 C1是以(0,1)为圆心， a为半径的圆将 x cos ， y sin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22 sin 1 a20.(2)曲线 C1， C2的公共点的极坐标满足方程组Error!若 0，由方程组得 16cos2 8sin cos 1 a20，由已知 tan 2，可得 16cos2 8sin cos 0，从而 1 a20，解
8、得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1， C2的公共点，且在 C3上所以 a1.(2016全国卷)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x1|2 x3|.(1)画出 y f(x)的图象；(2)求不等式| f(x)|1 的解集图 231解 (1)由题意得 f(x)Error!故 y f(x)的图象如图所示(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x 或 x5.13故 f(x)1 的解集为 x|1 x3，f(x)1 的解集为Error!.所以| f(x)|1 的解集为Error!.4(2017石家庄一模)选修
9、 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线 C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 ，12得到曲线 C2.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为 2.(1)求曲线 C2的参数方程；(2)过坐标原点 O 且关于 y 轴对称的两条直线 l1与 l2分别交曲线 C2于 A， C 和 B， D，且点 A 在第一象限，当四边形 ABCD 的周长最大时，求直线 l1的普通方程解(1)由 2，得 24，因为 2 x2 y2， x cos ， y sin ，所以曲线C1的直角坐标方程为 x2 y24.由题可得曲线 C2的方程为 y21.
10、x24所以曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数)(2)设四边形 ABCD 的周长为 l，点 A(2cos ，sin )，则 l8cos 4sin 4 5(25cos 15sin )4 sin ( )，5其中 cos ，sin .15 25所以当 2 k (kZ)时， l 取得最大值，最大值为 4 . 2 5此时 2 k (kZ)， 2所以 2cos 2sin ，sin cos ，45 15此时 A .(45， 15)所以直线 l1的普通方程为 y x.14(2017全国卷)选修 45：不等式选讲已知 a0， b0， a3 b32.证明：(1)(a b)(a5 b5)4，(2)a b2.证明 (1)( a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(a2 b2)24.(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)2 ，3 a b 24 3 a b 34所以( a b)38，因此 a b2.
