1、第 16 讲 导数的应用题型 1 利用导数研究函数的单调性(对应学生用书第 53 页)核心知识储备1 f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x) x3在(，)上单调递增，但 f( x)0.2 f( x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f( x)0 时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性3利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数 f( x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f( x)0或 f( x)n0， 1 恒成立，求实数 a 的取值范围 . f m f nm
2、 n【导学号：07804112】思路分析 (1)求 f( x) 结合 a 的取值讨论 f(x)的单调区间；(2) 1 f(m) mf(n) n 由 g( x)0f m f nm n 等 价 变 形 构 造 函 数 g x f x x求 a 的取值范围 分 离 参 数 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x)2 ax1 .1x 2ax2 x 1x当 a0 时， f( x) . x 1x显然，当 x(0,1)时， f( x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(1，)时， f( x)0，所以 2ax2 x10 恒成立，即 f( x)0 恒成立，所以18函数 f(x)在(0，)上单调递
3、增若 0，即 00， x20， f( x)0，函数 f(x)单调递增；(0，1 1 8a4a )当 x 时， 2ax2 x1x10.18当 x 时，2 ax2 x10， f( x)0，函数 f(x)单调递增；(0，1 1 8a4a )当 x 时，2 ax2 x10， f( x)0，函数 f(x)单调递增(1 1 8a4a ， )综上，当 a0 时， f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)；当 a 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；18当 01，且 mn，故 f(m) mf(n) n.f m f nm n记 g(x) f(x) x，则函数 g(x)
4、f(x) x 在(0，)上单调递增由 g(x) f(x) x ax22 xln x，可得 g( x)2 ax2 0.1x因为 x0，所以 a .2 1x2x 1x 12x2记 h(x) (x0)，则 h( x) (2) .1x 12x2 1x2 12 1x3 1 xx3显然，当 x(0,1)时， h( x)0，函数 h(x)单调递增；当 x(1，)时， h( x)0 或 f x0，当 x0 时， f( x)0；当2 0 时， f( x)0；当 x2 或 x0，所以 f(x)的12 1a 1a单调递增区间为 ；单调递减区间为(，0)， .(0， 21a) ( 2 1a， )若 a ， f( x)
5、 x2ex0，故 f(x)的单调递减区间为(，)12 12若 a0 时， f( x)0，所以 f(x)12 1a 1a的单调递增区间为 ；单调递减区间为 和(0，)综上所述，( 21a， 0) ( ， 2 1a)当 a0 时， f(x)的单调递增区间为 和( ， 21a)(0，)；单调递减区间为 .当 a0 时， f(x)的单调递增区间为(0，)；( 21a， 0)单调递减区间为(，0)当 0，所以在(0，)上， u(x)是单调递增函数又因为e 12 1xu(1) 0， u ln a ， a0，右侧 f( x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值2设函数 y f(x)在 a， b上连续，
6、在( a， b)内可导，则 f(x)在 a， b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得典题试解寻法【典题】 已知函数 f(x) x2( a1) x2 aln x(aR)12(1)求函数 f(x)的极值点；(2)若 a2，求函数 f(x)在1， t(t1)上的最小值. 【导学号：07804113】解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x) x( a1) .ax x2 a 1 x ax x a x 1x由 f( x)0，可得 x1 a， x21.若 a0，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，)f( x) 0 f(x) 极小值 故 f
7、(x)的极小值点为 1，无极大值点若 01，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1， a) a (a，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(x)的极小值点为 a，极大值点为 1.综上，若 a0， f(x)的极小值点为 1，无极大值点；若 01， f(x)极小值点为 a，极大值点为 1.(2)当 a2 时， f(x) x23 x22ln x.12由(1)可知，函数 f(x)在1,2上单调递减，在2，)上单调递增若 12，则函数 f(x)在1,2上单调递减，在2， t上单调递增，所以 f(x)的最小值为 f(2) 223222ln 22
8、2ln 2.12综上，当 12 时， f(x)的最小值为22ln 2.类题通法1.求函数 f x 的极值，则先求方程 f x 0 的根，再检查 f x 在方程根的左右函数值的符号.2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f x 0 根的大小或存在情况来求解.3.求函数 f x 在闭区间 a， b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f a ， f b 与 f x 的各极值进行比较得到函数的最值.对点即时训练已知函数 f(x) a(xln x)，e 为自然对数的底数exx(1)当 a0 时，试求 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间 上有三个不同的极值点，求实数
9、 a 的取值范围(12， 2)解 (1)函数的定义域为 x(0，)， f( x) a ex x 1x2 (1 1x) .当 a0 时，对于任意 x(0，)，ex x 1 ax x 1x2 ex ax x 1x2ex ax0 恒成立，所以若 x1， f( x)0，若 00，所以2 1.【导学号：07804114】审题指导题眼 挖掘关键信息看到曲线的切线方程，想到求出 f(1)， f(1)，用 a， b 表示切线方程. 看到求 a， b，想到用两条切线方程系数对应相等. 看到证明不等式，想到求函数 f(x)的最小值.规范解答 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f x aexln xaxex
10、bx2ex 1 bxex 1.由题意可得 f(1)2， f(1)e.故 a1， b2. 4 分(2)证明：由(1)知， f(x)e xln x ex1 ，2x从而 f(x)1 等价于 6 分xln xxe x2e.设函数 g(x) xln x，则 g( x)1ln x.所以当 x 时， g( x)0.(1e， )故 g(x)在 上单调递减，在 上单调递增，从而 g(x)在(0，)上的最小值(0，1e) (1e， )为 g . 8 分(1e) 1e设函数 h(x) xe x ，则 h( x)e x(1 x)2e所以当 x(0,1)时， h( x)0；当 x(1，)时， h( x)0 时， g(x
11、)h(x)，即 f(x)1. 12 分阅卷者说易错点 防范措施处导数的运算法则，复合函数求导法则不熟练，运算失分.对于复杂解析式求导要分清层次，包括运算层次，复合层次.处未对不等式进行变形、分化函数致解题受阻.对于复杂不等式，变形转化为等价的不等式证明，是证明不等式的重要方法.处未转化为函数最值的不等关系致解题受阻.将不等式转化为不等式两边函数的最值关系是常用的方法，但要注意任意、存在等逻辑关系区别.类题通法1.利用导数证明不等式的基本步骤1 作差或变形.2 构造新的函数 h x.3 利用导数研究 h x 的单调性或最值.4 根据单调性及最值，得到所证不等式.,特别地：当作差或变形构造的新函数
12、不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.2.构造辅助函数的四种方法1 移项法：证明不等式 f x g x f x0 f x g x0，所以函数 p( x)在0，)上单调递增，所以 p( x) p(0)0，所以函数 p(x)在0，)上单调递增，所以 p(x) p(0)0.所以 f(x) (x)(2)设 h(x)( x1) 2ln(x1) x mx2(x0)，所以 h( x)2( x1)ln( x1) x2 mx.由(1)知当 x0 时，( x1) 2ln(x1) x2 x x(x1)，所以( x1)ln( x1) x，所以 h( x)3 x2 mx.当 32 m0，即
13、m 时， h( x)0，32所以 h(x)在0，)上单调递增，所以 h(x) h(0)0，满足题意当 32 m 时，设 H(x) h( x)2( x1)ln( x1)(12 m)x，32H( x)2ln( x1)32 m，令 H( x)0，得 x0e 10，故 h( x)在0， x02m 32上单调递减，在 x0，)上单调递增当 x0， x0)时， h( x)0 时，xf( x) f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )【导学号：07804115】A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)A 设 y g(x) (x0)，则 g( x) ，当 x0 时
14、， xf( x)f xx xf x f xx2 f(x)0， g(x)0 时， f(x)0,00， x0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A.3.(2016全国卷)(1)讨论函数 f(x) ex的单调性，并证明当 x0 时，x 2x 2 (x2)ex x20.(2)证明：当 a0,1)时，函数 g(x) (x0)有最小值设 g(x)的最小值为ex ax ax2h(a)，求函数 h(a)的值域解 (1) f(x)的定义域为(，2)(2，)f( x) 0， x 1 x 2 ex x 2 ex x 2 2 x2ex x 2 2当且仅当 x0 时， f( x)0，所以 f(x)在(，
15、2)，(2，)上单调递增因此当 x(0，)时， f(x)f(0)1.所以( x2)e x( x2)，即( x2)e x x20.(2)g( x) (f(x) a) x 2 ex a x 2x3 x 2x3由(1)知， f(x) a 单调递增对任意 a0,1)， f(0) a a10， f(2) a a0.因此，存在唯一 xa(0,2，使得 f(xa) a0，即 g( xa)0.当 0xa时， f(x) a0， g( x)0， g(x)单调递增因此 g(x)在 x xa处取得最小值，最小值为g(xa) .exa a xa 1x2aexa f xa xa 1x2aexa xa 2于是 h(a) .
16、exa xa 2由 0，得 y 单调递增，(exx 2) x 1 ex x 2 2 exx 2所以，由 xa(0,2，得 h(a) .12 e00 2 exa xa 2 e22 2 e24因为 y 单调递增，对任意 ，存在唯一的 xa(0,2， a f(xa)0,1)，exx 2 (12， e24使得 h(a) .所以 h(a)的值域是 .(12， e24综上，当 a0,1)时， g(x)有最小值 h(a)， h(a)的值域是 .(12， e244.(2017全国卷)已知函数 f(x) ax2 ax xln x，且 f(x)0.(1)求 a；(2)证明： f(x)存在唯一的极大值点 x0，且
17、e2 f(x0)2 2 .解 (1) f(x)的定义域为(0，)设 g(x) ax aln x，则 f(x) xg(x)， f(x)0 等价于 g(x)0.因为 g(1)0， g(x)0，故 g(1)0，而 g( x) a ， g(1) a1，得 a1.1x若 a1，则 g( x)1 .1x当 01 时， g( x)0， g(x)单调递增所以 x1 是 g(x)的极小值点，故 g(x) g(1)0.综上， a1.(2)证明：由(1)知 f(x) x2 x xln x， f( x)2 x2ln x.设 h(x)2 x2ln x，则 h( x)2 .1x当 x 时， h( x)0；(0，12)当
18、x 时， h( x)0.(12， )所以 h(x)在 上单调递减，在 上单调递增(0，12) (12， )又 h(e2 )0， h 0， h(1)0，(12)所以 h(x)在 上有唯一零点 x0，在 上有唯一零点 1，且当 x(0， x0)时，(0，12) 12， )h(x)0；当 x( x0,1)时， h(x)0.因为 f( x) h(x)，所以 x x0是 f(x)的唯一极大值点由 f( x0)0 得 ln x02( x01)，故 f(x0) x0(1 x0)由 x0 得 f(x0) .(0，12) 14因为 x x0是 f(x)在(0,1)上的最大值点，由 e1 (0,1)， f(e 1 )0 得 f(x0)f(e1 )e 2 .所以 e2 f(x0)22 .
