1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一 两角和的余弦公式思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案 用 代换 cos( )cos cos sin sin 中的 便可得到.梳理公式cos( )cos cos sin sin 简记符号 C( )使用条件 ， 都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反”.知识点二 两角和与差的正弦
2、公式思考 1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案 sin( )cos 2 cos ( 2 ) cos cos sin sin ( 2 ) ( 2 )sin cos cos sin .思考 2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案 用 代换 ，即可得 sin( )sin cos cos sin .梳理内容 两角和的正弦 两角差的正弦简记符号 S( ) S( )公式形式sin( )sin cos cos sin sin ( )sin cos cos sin 记忆口诀：“正余余正，符号相同”.类型一 给角求值例 1 (1)化简求值：sin( x27)cos(18
3、 x)sin(63 x)sin(x18).解 (1)原式sin( x27)cos(18 x)cos( x27)sin(x18)sin( x27)cos(18 x)cos( x27)sin(18 x)sin( x27)(18 x)sin 45 .22(2) .sin 50 sin 20cos 30cos 20答案 12解析 原式sin20 30 sin 20cos 30 cos 20sin 20cos 30 cos 20sin 30 sin 20cos 30cos 20 sin 30 .cos 20sin 30cos 20 12反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为
4、弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练 1 计算：(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sin(54 x)cos(36 x)cos(54 x)sin(36 x).解 (1)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30 .12(2)原式sin(54 x)(36 x)sin 901.类型二 给值求值例 2 已知 sin ，cos ，且 0120，
5、 A B180，矛盾， B 为锐角，且 A 为锐角，sin A ，cos B .1213 45cos Ccos( A B)cos( A B)，cos Ccos( A B)(cos Acos Bsin Asin B) .(51345 121335) 16653.sin 20cos 10cos 160sin 10等于( )A. B. C. D.32 32 12 12答案 D解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30 .124.已知锐角 、 满足 sin ，cos ，则 .255 1010答案 34解析 ， 为锐角，sin ，
6、cos ，255 1010cos ，sin .55 31010cos( )cos cos sin sin .55 1010 255 31010 22又00，1010所以 0 . 2所以 sin ，1 cos2255cos( ) ，1 sin2 31010cos(2 )cos ( )cos cos( )sin sin( ) .55 31010 255 1010 210(2)cos cos ( )cos cos( )sin sin( ) .55 31010 255 1010 22又因为 (0， )，所以 . 2 4四、探究与拓展14.定义运算 ad bc.若 cos ， ，0 ，则|a bc d|
7、 17 |sin sin cos cos | 3314 2 .答案 3解析 由题意，得 sin cos cos sin ，3314sin( ) .33140 ， 2cos( ) .1 27196 1314又由 cos ，得 sin .17 437cos cos ( )cos cos( )sin sin( ) 17 1314 437 ，3314 12 . 315.已知函数 f(x) Asin ， xR，且 f .(x 3) (512) 322(1)求 A 的值；(2)若 f( ) f( ) ， ，求 f( ).3 (0， 2) 6解 (1)由 f Asin(512) (512 3) Asin ，可得 A3.34 A22 322(2)f( ) f( ) ，3则 3sin 3sin ，( 3) ( 3 ) 3即 3 3 ，(12sin 32cos ) (32cos 12sin ) 3故 sin .33因为 ，所以 cos ，(0， 2) 63所以 f( )3sin 6 ( 6 3)3sin 3cos .( 2 ) 6
