1、2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.知识点一 向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是 F13 000 N， F22 000 N，牵引绳之间的夹角为 60(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产
2、生跟原来相同的效果.思考 1 从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？答案 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形 OACB 的对角线 表示的力是OC 与 表示的力的合力.体现了向量的加法运算.OA OB 思考 2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？答案 三角形法则和平行四边形法则.梳理 (1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.(2)向量求和的法则向量求和的法则 三角形法则已知非零向量 a， b，在平面上任取一点A，作 a， b，则向量 叫做 aAB BC AC 与 b 的和，记作 a b，即 a b AB .BC AC
3、这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量 a 的和有a00 a a平行四边形法则以同一点 O 为起点的两个已知向量a， b 为邻边作 OACB，则以 O 为起点的对角线 就是 a 与 b 的和.把这种作两OC 个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.知识点二 向量加法的运算律思考 1 实数加法有哪些运算律？答案 交换律和结合律.思考 2 根据图中的平行四边形 ABCD，验证向量加法是否满足交换律.(注： a， b) AB AD 答案 ， a b.AC AB BC AC ， b a.AC AD DC A
4、C a b b a.思考 3 根据图中的四边形 ABCD，验证向量加法是否满足结合律.(注： a， b， c) AB BC CD 答案 AD AC CD ( ) ，AB BC CD ( a b) c，AD 又 ( )，AD AB BD AB BC CD a( b c)，AD ( a b) c a( b c).梳理 向量加法的运算律交换律 a b b a结合律 (a b) c a( b c)类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则例 1 如图(1)(2)，已知向量 a， b， c，求作向量 a b 和 a b c.(1) (2)解 (1)作法：在平面内任意取一点 O，作 a， b，则 a b
5、.OA AB OB (2)在平面内任意取一点 O，作 a， b， c，则 a b c.OA AB BC OC 反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系.区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接” ，平行四边形法则中强调的是“共起点” ；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.跟踪训练 1 如图所示， O 为正六边形 ABCDEF 的中心，化简下列向量.(1) _；(2) _；(3) _.OA
6、 OC BC FE OA FE 答案 (1) (2) (3)0OB AD 类型二 向量加法运算律的应用例 2 化简：(1) ；(2) ；BC AB DB CD BC (3) .AB DF CD BC FA 解 (1) .BC AB AB BC AC (2) DB CD BC BC CD DB ( ) 0.BC CD DB BD DB (3) AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AC CD DF FA AD DF FA 0.AF FA 反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.(2)向量求和的多边形法则： .特別地，当A
7、1A2 A2A3 A3A4 An 1An A1An An和 A1重合时， 0.A1A2 A2A3 A3A4 An 1A1 跟踪训练 2 已知正方形 ABCD 的边长等于 1，则| |_.AB AD BC DC 答案 2 2解析 | | | |2| |2 .AB AD BC DC AB BC AD DC AC AC AC 2类型三 向量加法的实际应用例 3 在静水中船的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.解 作出图形，如图所示.船速 v 船 与岸的方向成 角，由图可知 v 水 v 船 v 实际 ，结合已知条件，四边
8、形 ABCD 为平行四边形，在 Rt ACD 中，| | | v 水 |10 m/min，CD AB | | v 船 |20 m/min，AD cos ，|CD |AD | 1020 12 60，从而船与水流方向成 120的角.船是沿与水流的方向成 120的角的方向行进.引申探究1.若本例中条件不变，则经过 1 h，该船的实际航程是多少？解 由例 3 知 v 船 20 m/min， v 实际 20sin 6010 (m/min)，3故该船 1 h 行驶的航程为 10 60600 (m) (km).3 33352.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹
9、角的正切值.解 如图，作平行四边形 ABDC，则 v 实际 ，设船实际航向与岸方向的夹角为 ，则 tan AD 2. |BD |AB | 2010即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为 2.反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键.跟踪训练 3 如图，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上， ACW150， BCW120，求 A 和 B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 解 如图所示，设 ， 分别表示 A， B 所受的力，10 N 的重力用 表示，则 .CE CF CG CE CF CG 易得 ECG18015030，
10、 FCG18012060.| | |cos 30CE CG 10 5 (N)，32 3| | |cos 60CF CG 10 5(N).12 A 处所受的力为 5 N， B 处所受的力为 5 N.31.如图，在正六边形 ABCDEF 中， 等于( ) BA CD EF A.0 B.BE C. D.AD CF 答案 D解析 .BA CD EF DE CD EF CE EF CF 2.如图， D， E， F 分别是 ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则下列等式中错误的是( ) A. 0FD DA DE B. 0AD BE CF C. FD DE AD AB D. AD EC FD BD
11、答案 D解析 0，FD DA DE FA DE 0，AD BE CF AD DF FA ，FD DE AD FE AD AD DB AB 0 .AD EC FD AD AD DB BD 故选 D.3.( )( ) 等于( )AB MB BO BC OM A. B.BC AB C. D.AC AM 答案 C4.如图所示，在四边形 ABCD 中， ，则四边形为( ) AC AB AD A.矩形B.正方形C.平行四边形D.菱形答案 C解析 ，AC AB AD ，DC DA AC DA AB AD DA AD AB AB 即 .DC AB 四边形 ABCD 为平行四边形.5.小船以 10 km/h 的
12、静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 10 km/h，则3小船的实际航行速度的大小为_km/h.答案 20解析 如图，设船在静水中的速度为| v1|10 km/h，河水的流速为 |v2|10 km/h，小船3的实际航行速度为 v0，则由| v1|2| v2|2| v0|2，得(10 )210 2| v0|2，所以| v0|20 3km/h，即小船实际航行速度的大小为 20 km/h. 1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加
13、法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成 0，而不应写成 0.课时作业一、选择题1.作用在同一物体上的两个力 F160 N， F260 N，当它们的夹角为 120时，则这两个力的合力大小为( )A.30 N B.60 N C.90 N D.120 N答案 B2.如图，在平行四边形 ABCD 中， O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A. ， B. AB CD BC AD AD OD DA C. D. AO OD AC CD
14、AB BC CD DA 答案 C3.下列等式错误的是( )A.a00 a aB. 0AB BC AC C. 0AB BA D. CA AC MN NP PM 答案 B解析 2 0，故 B 错.AB BC AC AC AC AC 4.已知四边形 ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( )A. B. AB BC CA AB AC BC C. D. AC BA AD AC AD DC 答案 C解析 对于 A， ；对于 B， ；对于 C， ，又AB BC AC CA AB AC BC AC BA BA AC BC ，AD BC 所以 ；对于 D， .AC BA AD AC AD DC 5.已知 a，
15、 b 为非零向量，且| a b| a| b|，则( )A.ab ，且 a 与 b 方向相同B.a， b 是共线向量且方向相反C.a bD.a， b 无论什么关系均可答案 A6.若在 ABC 中， AB AC1，| | ，则 ABC 的形状是( )AB AC 2A.正三角形 B.锐角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形答案 D解析 以 AB， AC 为邻边作平行四边形 ABDC， AB AC1， AD ， ABD 为直角，该2四边形为正方形， BAC90， ABC 为等腰直角三角形，故选 D.二、填空题7.如图，在平行四边形 ABCD 中， O 是 AC 和 BD 的交点.(1) _；AB A
16、D (2) _；AC CD DO (3) _；AB AD CD (4) _.AC BA DA 答案 (1) (2) (3) (4)0AC AO AD 8.根据图示填空，其中 a ， b ， c ， d .DC CO OB BA (1)a b c_；(2)b d c_.答案 (1) (2)DB CA 解析 (1) a b c .DC CO OB DB (2)b d c .CO BA OB CA 9.在平行四边形 ABCD 中， _.BC DC BA DA 答案 010.在菱形 ABCD 中， DAB60，| |1，则| |_.AB BC CD 答案 1解析 在菱形 ABCD 中，连接 BD， D
17、AB60， BAD 为等边三角形，又| |1，| |1，AB BD | | |1.BC CD BD 三、解答题11.如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于 O 点， P 为平面内任意一点. 求证： 4 .PA PB PC PD PO 证明 PA PB PC PD PO OA PO OB PO OC PO OD 4 ( )PO OA OB OC OD 4 ( )( )PO OA OC OB OD 4 004 .PO PO 4 .PA PB PC PD PO 12.如图所示，试用几何法分别作出向量 ， .BA BC CA CB 解 以 BA， BC 为邻边作 ABCE，根据平
18、行四边形法则，可知 就是 .以 CB， CA 为邻边BE BA BC 作 ACBF，根据平行四边形法则，可知 就是 .CF CA CB 13.在水流速度为 4 km/h 的河中，要使船以 12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船3的航行速度的大小和方向.解 如图，设 表示水流的速度，则 表示船的实际航行速度，连接 BC，作 AD 綊 BC，则AB AC 为所求船的航行速度，且 .AD AD AB AC | |4 ，| |12，tan ACB .AB 3 AC 4312 33 ACB30 CAD，| | |8 ，AD BC 3 BAD120.船的航行速度的大小为 8 km/h，方向与水流
19、速度成 120角.3四、探究与拓展14.若 a 等于“向东走 8 km”， b 等于“向北走 8 km”，则| a b|_， a b 的方向是_.答案 8 km 北偏东 452解析 如图所示，设 a， b，则 a b，且 ABC 为等腰直角三角形，则| |8AB BC AC AC ， BAC45.215.如图所示， P， Q 是三角形 ABC 的边 BC 上两点，且 BP QC.求证： .AB AC AP AQ 证明 ， ，AB AP PB AC AQ QC .AB AC AP PB AQ QC 与 大小相等，方向相反，PB QC 0，PB QC 故 0 .AB AC AP AQ AP AQ
