1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一 两角和与差的正切公式思考 1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案 tan( ) ，sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin 分子分母同除以 cos cos ，便可得到.思考 2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案 用 替换 tan( )中的 即可得到.梳理名称 简记符号 公式 使用条件
2、两角和的正切 T( )tan( )tan tan 1 tan tan ， ， 均不等于k (kZ) 2两角差的正切 T( )tan( )tan tan 1 tan tan ， ， 均不等于k (kZ) 2知识点二 两角和与差的正切公式的变形(1)T( )的变形：tan tan tan( )(1tan tan ).tan tan tan tan tan( )tan( ).tan tan 1 .tan tan tan (2)T( )的变形：tan tan tan( )(1tan tan ).tan tan tan tan tan( )tan( ).tan tan 1.tan tan tan 类型一
3、 正切公式的正用例 1 (1)已知 tan 2，tan( ) ，则 tan 的值为 .17答案 3解析 tan tan( ) tan tan 1 tan tan 3.17 21 17 2(2)已知 ， 均为锐角，tan ，tan ，则 .12 13答案 4解析 因为 tan ，tan ，12 13所以 tan( ) 1.tan tan 1 tan tan 12 131 1213因为 ， 均为锐角，所以 (0，)，所以 . 4反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角.(2)利用公式 T( )求角的步骤：计算待求角的正切值.缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息.根据角的范围及三角函数值确定角.跟
4、踪训练 1 已知 是第四象限角，且 sin ，则 tan .( 4) 35 ( 4)答案 43解析 由题意，得cos ，tan .tan tan ( 4) 45 ( 4) 34 ( 4) ( 4 2) 1tan( 4) .43类型二 正切公式的逆用例 2 (1) ；1 tan 151 tan 15(2) .1 3tan 753 tan 75答案 (1) (2)13解析 (1)原式 tan(4515)tan 45 tan 151 tan 45tan 15tan 60 .3(2)原式 33 tan 751 33tan 75tan 30 tan 751 tan 30tan 75tan(3075)ta
5、n 451.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现 ，1， 这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.12 3跟踪训练 2 求下列各式的值：(1) ； (2) .cos 75 sin 75cos 75 sin 75 1 tan 27tan 33tan 27 tan 33解 (1)原式 1 tan 751 tan 75tan 45 tan 751 tan 45tan 75tan(4575)tan(30)tan 30 .33(2)原式 .1tan27 33 1tan 60 33类型三 正切公式的变形使用例 3 (1)化简：tan 23
6、tan 37 tan 23tan 37；3(2)若锐角 ， 满足(1 tan )(1 tan )4，求 的值.3 3解 (1)方法一 tan 23tan 37 tan 23tan 373tan(2337)(1tan 23tan 37) tan 23tan 373tan 60(1tan 23tan 37) tan 23tan 37 .3 3方法二 tan(2337) ，tan 23 tan 371 tan 23tan 37 ，3tan 23 tan 371 tan 23tan 37 tan 23tan 37tan 23tan 37，3 3tan 23tan 37 tan 23tan 37 .3
7、3(2)(1 tan )(1 tan )3 31 (tan tan )3tan tan 4，3tan tan (1tan tan )，3tan( ) .tan tan 1 tan tan 3又 ， 均为锐角，0 180， 60.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：tan tan tan( )(1tan tan )或1tan tan .当 为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到 1 与正切的乘积的tan tan tan 和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练 3 在 ABC 中， A B ，且 tan Atan B tan Atan B，则角 C 的
8、值为 2 3 3( )A. B. C. D. 3 23 6 4答案 A解析 tan Atan B tan Atan Btan(A B)(1tan Atan B) (tan Atan 3 3 3B1).若 1tan Atan B0，则 cos Acos Bsin Asin B0，即 cos(A B)0.0 A B， A B 与题设矛盾. 2由得 tan(A B) ，即 tan C .3 3又0 C， C . 31.若 tan 3，tan ，则 tan( )等于( )43A. B. C.3 D.313 13答案 A解析 tan( ) .tan tan 1 tan tan 3 431 343 132
9、.已知 cos ，且 ，则 tan 等于( )45 ( 2， ) ( 4 )A. B.7 C. D.717 17答案 D解析 由 cos ，且 ，得 sin ，45 ( 2， ) 35所以 tan ，sin cos 34所以 tan 7.( 4 )tan 4 tan 1 tan 4tan 1 ( 34)1 34故选 D.3.已知 A B45，则(1tan A)(1tan B)的值为( )A.1 B.2 C.2 D.不确定答案 B解析 (1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan Atan B1tan( A B)(1tan Atan B)tan Atan B11tan Ata
10、n Btan Atan B2.4.已知 A， B 都是锐角，且 tan A ，sin B ，则 A B .13 55答案 4解析 B 为锐角，sin B ，cos B ，55 255tan B ，12tan( A B) 1.tan A tan B1 tan Atan B13 121 1312又0 A B， A B . 45.已知 3，tan( )2，则 tan( 2 ) .sin cos sin cos 答案 43解析 由条件知 3，则 tan 2.sin cos sin cos tan 1tan 1tan( )2，tan( )2，故 tan( 2 )tan( ) .tan tan 1 tan
11、 tan 2 21 22 431.公式 T( )的结构特征和符号规律(1)公式 T( )的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与tan tan 的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.应用公式 T( )时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知， 、 、 (或 )的终边不能落在 y 轴上，即不为 k(kZ). 2(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan 1，tan ，tan 4 6 33 3等 .3特别要注意 tan( ) ，tan( ) . 4 1 tan 1 tan 4 1 tan 1 tan
12、 (3)公式的变形应用只要用到 tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式 T( )的意识，就不难想到解题思路.特别提醒：tan tan ，tan tan ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.课时作业一、选择题1.若 tan ，tan( ) ，则 tan 等于( )13 12A. B.17 16C. D.57 56答案 A解析 tan tan( ) tan tan 1 tan tan .12 131 1213 172. tan 23tan 97tan 23tan 97的值为( )3A.2 B.2 3C. D.03答案 C解析 tan(2397)tan 23 tan 971 t
13、an 23tan 97tan 120 ，3tan 23tan 97 tan 23tan 97，3 3原式 tan 23tan 97( tan 23tan 97)3 3 3 .33.已知 tan( ) ，tan ，则 tan 的值为( )25 ( 4) 14 ( 4)A. B.322 2213C. D.1318 16答案 A解析 因为 ( )( )， 4 4所以 tan ( 4)tan tan( 4)1 tan tan( 4) .25 141 2514 3224.A， B， C 是 ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x25 x10 的两个实数根，则 ABC 是( )A.钝
14、角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定答案 A解析 tan Atan B ，tan Atan B ，53 13tan( A B) ，tan Ctan( A B) ，52 52 C 为钝角，即 ABC 为钝角三角形.5.若 tan 28tan 32 a，则 tan 28tan 32等于( )A. a B. (1 a)3 3C. (a1) D. (a1)3 3答案 B解析 tan(2832) ，tan 28 tan 321 tan 28tan 32 3tan 28tan 32 (1 a).36.设向量 a(cos ，1)， b(2，sin )，若 a b，则 tan 等于( )( 4
15、)A. B.13 13C.3 D.3答案 B解析 由 ab2cos sin 0，得 tan 2.tan .( 4)tan tan 41 tan tan 4 2 11 2 137.在 ABC 中，tan Atan Btan C3 ，tan 2Btan Atan C，则 B 等于( )3A.30 B.45C.120 D.60答案 D解析 由公式变形得tan Atan Btan( A B)(1tan Atan B)tan(180 C)(1tan Atan B)tan C(1tan Atan B)tan Ctan Atan Btan C.tan Atan Btan Ctan Ctan Atan Bta
16、n Ctan Ctan Atan Btan C3 .3又tan 2Btan Atan C，tan 3B3 ，3tan B ， B60.3二、填空题8.已知 tan ，则 的值是 .12tan 4 11 tan 4 答案 129. .tan 75 tan 151 tan 75tan 15答案 3解析 原式tan(7515)tan 60 .310.已知 ， 均为锐角，且 tan ，则 tan( ) .cos sin cos sin 答案 1解析 tan ，cos sin cos sin 1 tan 1 tan tan tan tan 1tan ，tan tan tan tan 1，tan tan
17、1tan tan ， 1，tan tan 1 tan tan tan( )1.11.如图，在 ABC 中， AD BC， D 为垂足， AD 在 ABC 的外部，且 BD CD AD236，则 tan BAC . 答案 17解析 AD BC 且 BD CD AD236，tan BAD ，BDAD 13tan CAD ，CDAD 36 12tan BACtan( CAD BAD) tan CAD tan BAD1 tan CADtan BAD12 131 1213 .1712.若(tan 1)(tan 1)2，则 的最小正值为 .答案 34三、解答题13.已知 tan ，tan 2 ，求：(12
18、 ) 2 ( 3) 2(1)tan 的值；( 4)(2)tan( )的值.解 (1)tan tan( 4) ( 12) ( 3)tan( 12) tan( 3)1 tan( 12)tan( 3) .2 221 222 2(2)tan( )tan ( 4) 4tan( 4) tan 41 tan( 4)tan 4 2 3. 2 11 21 2四、探究与拓展14.如果 tan ，tan 是方程 x23 x30 两根，则 .sin cos 答案 32解析 sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin .tan tan 1 tan tan 31 3 3215.如图，在
19、平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 A， B 两点，已知 A， B 的横坐标分别为 ， .210 255(1)求 tan( )的值；(2)求 2 的值.解 由条件得 cos ，cos .210 255 ， 为锐角，sin ，1 cos27210sin .1 cos255因此 tan 7，tan .sin cos sin cos 12(1)tan( ) 3.tan tan 1 tan tan 7 121 712(2)tan 2 tan( ) ，2tan 1 tan22121 (12)2 43tan( 2 ) 1.tan tan 21 tan tan 27 431 743又 ， 为锐角，0 2 ， 2 .32 34
