1、2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一 向量的概念思考 1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考 2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小.梳理 向量与数量(1)
2、向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.知识点二 向量的表示方法思考 1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案 可以用一条有向线段表示.思考 2 0 的模长是多少？0 有方向吗？答案 0 的模长为 0，方向任意.思考 3 单位向量的模长是多少？答案 单位向量的模长为 1 个单位长度.梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作 .AB (2)向量的字母表示：向量可以用字母 a， b， c，表示(印刷用黑体
3、a， b， c，书写时用， ， ).a b c (3)向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)，即有向线段 的长度，记作| |.长度为AB AB AB AB 0 的向量叫做零向量，记作 0；长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量.知识点三 相等向量与共线向量思考 1 已知 A， B 为平面上不同两点，那么向量 和向量 相等吗？它们共线吗？AB BA 答案 因为向量 和向量 方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线AB BA 上，所以两向量共线.思考 2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平
4、行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.思考 3 若 a b， b c，那么一定有 a c 吗？答案 不一定.因为当 b0 时， a， c 可以是任意向量.梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法：向量 a 平行于 b，记作 ab .规定：零向量与任一向量平行.(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.类
5、型一 向量的概念例 1 下列说法正确的是( )A.向量 与向量 的长度相等AB BA B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等答案 A解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故 B，C，D 都错误，A 正确.故选 A.反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟踪训练 1 下列说法正确的有 .(1)若| a| b|，则 a b 或 a b；(2)向量 与 是共线向量，则 A、 B
6、、 C、 D 四点必在同一条直线上；AB CD (3)向量 与 是平行向量.AB BA 答案 (3)解析 (1)错误.| a| b|仅说明 a 与 b 的模相等，不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 、 必须在同一AB CD 直线上，因此点 A、 B、 C、 D 不一定在同一条直线上.(3)正确.向量 和 是长度相等，方向相反的两个向量.AB BA 类型二 共线向量与相等向量例 2 如图所示， ABC 的三边均不相等， E、 F、 D 分别是 AC、 AB、 BC 的中点. (1)写出与 共线的向量；EF (2)写出与 的模大小相等的向量
7、；EF (3)写出与 相等的向量.EF 解 (1)因为 E、 F 分别是 AC、 AB 的中点，所以 EF 綊 BC.又因为 D 是 BC 的中点，12所以与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， .EF FE BD DB DC CD BC CB (2)与 模相等的向量有 ， ， ， ， .EF FE BD DB DC CD (3)与 相等的向量有 与 .EF DB CD 反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练 2 如图所示， O 是正六边形 ABCDEF 的中心. (1)与 的模相等的向量有多少个？OA (2)是否存
8、在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？OA (3)与 共线的向量有哪些？OA 解 (1)与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)，而每一条线段可以有两个向量，OA 所以这样的向量共有 23 个.(2)存在.由正六边形的性质可知， BC AO EF，所以与 的长度相等、方向相反的向量有 ，OA AO ， ， ，共 4 个.OD FE BC (3)由(2)知， BC OA EF，线段 OD， AD 与 OA 在同一条直线上，所以与 共线的向量有 ，OA BC ， ， ， ， ， ， ， ，共 9 个.CB EF FE AO OD DO AD DA 类型三 向量的表示及应用例 3
9、一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向，向西偏北 50的方向走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点.(1)作出向量 、 、 ；AB BC CD (2)求| |.AD 解 (1)向量 、 、 如图所示.AB BC CD (2)由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，AB CD AB CD | | |，AB CD 在四边形 ABCD 中， AB 綊 CD，四边形 ABCD 为平行四边形， ，| | |200 km.AD BC AD BC 反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后
10、根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练 3 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 b a；(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使| c| ，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？5解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 的圆(作5图略).1.下列结论正确的个数是( )温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；若| a|b|，则 ab.
11、A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为 0，故错；向量不可以比较大小，故错；若 a， b 中有一个为零向量，则 a 与 b 必共线，故 a 与 b 不共线，则应均为非零向量，故对.2.下列说法错误的是( )A.若 a0，则| a|0B.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的答案 B解析 零向量的长度为 0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以 B 是错误的.3.如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量 与 的关系是( )AB DC A. B.| | |AB DC AB DC C. D. AB DC
12、 AB DC 答案 B解析 | |与| |表示等腰梯形两腰的长度，故相等.AB DC 4.如图所示，以 12 方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. (1)写出与 、 相等的向量；AF AE (2)写出与 模相等的向量.AD 解 (1) ， .(2) ， ， .AF BE CD AE BD DA CF FC 1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一
13、直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.课时作业一、选择题1.下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程.其中是向量的有( )A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个答案 C解析 是向量.2.下列说法中正确的个数是( )任一向量与它的相反向量不相等；一个向量方向不确定当且仅当模为 0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；单位向量的模都相等.A.0 B.1 C.2 D.3答案 C3.下列说法正确的是( )A.若 a b，则 a 与 b 的方向相同或相反B.若 a
14、b， b c，则 a cC.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D.若 a b， b c，则 a c答案 D4.如图，在四边形 ABCD 中，若 ，则图中相等的向量是( ) AB DC A. 与 B. 与AD CB OB OD C. 与 D. 与AC BD AO OC 答案 D解析 ，四边形 ABCD 是平行四边形， AC、 BD 互相平分， .AB DC AO OC 5.如图，在菱形 ABCD 中， BAD120，则以下说法错误的是( ) A.与 相等的向量只有一个(不含 )AB AB B.与 的模相等的向量有 9 个(不含 )AB AB C. 的模恰为 的模的 倍BD DA 3D. 与
15、 不共线CB DA 答案 D解析 由于 ，因此与 相等的向量只有 ，而与 的模相等的向量有 ，AB DC AB DC AB DA ， ， ， ， ， ， ， ，因此选项 B 正确.而 Rt AOD 中， ADO30，DC AC CB AD CD CA BC BA | | | |，故| | | |，因此选项 C 正确.由于 ，因此 与 是共线的，DO 32 DA DB 3DA CB DA CB DA 故选 D.6.如图所示，四边形 ABCD， CEFG， CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( ) A.| | |AB EF B. 与 共线AB FH C. 与 共线BD EH D.
16、CD FG 答案 C7.以下命题：| a|与| b|是否相等与 a， b 的方向无关；两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 错误.二、填空题8.在四边形 ABCD 中，若 且| | |，则四边形的形状为 .AB DC AB AD 答案 菱形解析 ， AB 綊 DC，AB DC 四边形 ABCD 是平行四边形，| | |，四边形 ABCD 是菱形.AB AD 9.给出以下 5 个条件： a b；| a| b|； a 与 b 的方向相反；| a|0 或| b|
17、0； a 与 b 都是单位向量.其中能使 a b 成立的是 .(填序号)答案 解析 相等向量一定是共线向量，故能使 a b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故能使 a b；零向量与任一向量平行，故成立.10.如图，若四边形 ABCD 为正方形， BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与 共线的向量有 ；AB (2)图中与 相等的向量有 ；AB (3)图中与 的模相等的向量有 ；AB (4)图中与 相等的向量有 .EC 答案 (1) ， ， ， ， ， ，DC BE BA CD EB AE EA (2) ，DC BE (3) ， ， ， ， ， ， ， ，BA BE EB DC CD AD
18、 DA BC CB (4)BD 三、解答题11.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30方向行驶 2 千米才到达 B 地. (1)画出 ， ， ， ；AD DC CB AB (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量.解 (1)向量 ， ， ， 如图所示. AD DC CB AB (2)由题意知 ，AD BC AD 綊 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形， ，则 B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60，长度为 6 千米”.AB DC 12.如图
19、，已知 .求证：AA BB CC (1) ABC A B C；(2) ， .AB A B AC A C 证明 (1) ，AA BB | | |，且 .AA BB AA BB 又点 A 不在 上， AA BB，BB 四边形 AA B B 是平行四边形，| | |.AB A B 同理| | |，| | |.AC A C BC B C ABC A B C.(2)四边形 AA B B 是平行四边形， ，且| | |，AB A B AB A B .同理可证 .AB A B AC A C 13.如图的方格纸由若干个边长为 1 的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点 A， B.点 C 为小正方形的顶点，
20、且| | .AC 5(1)画出所有的向量 ；AC (2)求| |的最大值与最小值.BC 解 (1)画出所有的向量 ，如图所示.AC (2)由(1)所画的图知，当点 C 位于点 C1或 C2时，| |取得最小值 ；BC 12 22 5当点 C 位于点 C5或 C6时，| |取得最大值 .BC 42 52 41所以| |的最大值为 ，最小值为 .BC 41 5四、探究与拓展14.设 a0， b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是 .(填序号) a0 b0； a0 b0；| a0| b0|2； a0 b0.答案 15.如图， D， E， F 分别是正三角形 ABC 各边的中点. (1)写出图中所示向量与向量 长度相等的向量；DE (2)写出图中所示向量与向量 相等的向量；FD (3)分别写出图中所示向量与向量 ， 共线的向量.DE FD 解 (1)与 长度相等的向量是 ，DE EF ， ， ， ， ， ， .FD AF FC BD DA CE EB (2)与 相等的向量是 ， .FD CE EB (3)与 共线的向量是 ， ， ；DE AC AF FC 与 共线的向量是 ， ， .FD CE EB CB
