1、2018 高考高三数学 3 月月考模拟试题 03第一部分 选择题（共 40 分）一 、 选 择 题 ： （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 为虚数单位，则复数 等于 i i2A B C D 251i512i512i52已知集合 ， ， ，则,m3,4,34ABmA. 0 B. 3 C. 4 D. 3 或 43已知向量 ， ，则(1,)a(1,0)b|2|abA B. C. D. 24、函数 f（x）x2 lnx 在定义域内的零点个数为A、0 B、1 C、2 D、35已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值为,y1x2zxy
2、A B C D32566.已知一个几何体的三视图及其大小如图 1，这个几何体的体积 VA B C D 1216847.从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 =“取到的 2 个数之和为A偶数”，事件 =“取到的 2 个数B均为偶数”，则 = （ ）.(|)PA(A) (B) (C) (D)181425128设向量 ， ，定义一运算： ,12(,)a12(,)b 11212(,)(,)(,)abbab已知 ， 。点 Q 在 的图像上运动，且满足 （其中msinx()yfxOQmnPCDABO图 3O 为坐标原点） ，则 的最大值及最小正周期分别是()yfxA B C D1,21,4
3、22,2,4第二部分 非选择题（共 110 分）二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分，每小题 5 分，满分 30 分） 。（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答。9. 已知不等式 的解集与不等式 的解集21x20xab相同,则 的值为 ab10. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为 64，则()x展开式的常数项为 . 11.已知等差数列 的首项 ，前三项之和 ，则na193S的通项 na_12. 计算 = . 13如图，是一程序框图，则输出结果为K， S . 。(说明， MN是赋值语句，也可以写成 MN，或 :(二)选做题（14、15 题，考生
4、只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）如图 3，圆 的割线 交圆OAB于 、 两点，割线 经过圆心。已知 ，OABPCD6， 。则圆 的半径 3172_R（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 （ ）中，直线 被圆),(204截得的弦的长是 sin2三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16 （本小题满分 12 分）已知函数 xxxf cosin2)cos(sin3)2（）求 的最小正周期；.开始 0S1K0?输出 K,S1(2)SK结束是否（）设 ，求 ()fx的值域和单调递增区间,3x17 （本小题满分 12 分）某次运动会在我市举行，为了搞
5、好接待工作，组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动，其余不喜爱。（1）根据以上数据完成以下 22 列联表：喜爱运动 不喜爱运动 总计男 10 16女 6 14总计 30（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）从女志愿者中抽取 2 人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为 ，求 的分布列和均值。参考公式： ，其中22()()(nadbcKd.nabcd参考数据： 20()Pk0.40 0.25 0.10 0.01000.708 1.323 2.706 6.6351
6、8 （本题满分 14 分）如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，ABODAB且 ，点 为圆 上一点，且 13ADC3C点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， PP（1）求证： ；PA BDCO第 18 题图21a31311121 nnn aa（2）求二面角 的余弦值CPBA19(本题满分 14 分)已知数列 满足： ，且 （ ） na21,1a2n12na*N（）求证：数列 为等差数列；1n（）求数列 的通项公式；a（）求下表中前 行所有数的和 nS20 （本题满分 14 分）设椭圆 的左右顶点分别为 ，离心率 21(0)xyab(2,0)(,AB32e过该椭圆上任一点 作 轴，垂足
7、为 ，点 在 的延长线上，且 PQxCQP|QPC（1）求椭圆的方程；（2）求动点 的轨迹 的方程；CE（3）设直线 （ 点不同于 ）与直线 交于点 ， 为线段 的中点，试判断直A,AB2xRDB线 与曲线 的位置关系，并证明你的结论D21 （本题满分 14 分）设 ,函数 .0a21()fxa（）证明:存在唯一实数 ，使 ；0(,)0()fx（）定义数列 : , , .nx101()nnxf*N（i）求证:对任意正整数 n 都有 ；2102nx(ii) 当 时, 若 ，2a0(,34)kx证明:对任意 都有: .*mN1mkkx参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40
8、 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D C C C B B C二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）91 _ 10 160 11 12 1311,51 （212n2e分，3 分）（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） ； 822.解析： 3 或 4m7.提示：“从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数”一共有 种不同选取方式，其中满足事件25C10的有 种选取方式，所以 ，而满足事件 要求的有 种，即AC4()10PAB2C1，再由条件概率计算公式，得251()0PB ()0(|).45PA
9、16 （本小题满分 12 分）解：（） xxxf cosin2)si(co3)(2 x2sinc3的最小正周期为 5 分)(xf（） ， ， ,323x1)32sin(x的值域为 10 分)(xf,当 递减时， 递增 )32siny()fx，即 x31故 的递增区间为 12 分()f ,217解：（1）喜爱运动 不喜爱运动 总计男 10 6 16女 6 8 14总计 16 14 302 分（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得： 230(186)1.572.06)(K因此，在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6 分（3）喜爱运动的人数为 的取值分别为
10、：0，1，2，其概率分别为：8 分2814(0)9CP16824()9CP26145()9CP喜爱运动的人数为 的分布列为：0 1 2P 289148915910 分所以喜爱运动的人数 的值为： 12 分248780.119EPA BDCO18 （本题满分 14 分）解析：（）法 1：连接 ，由 知，点 为 的中点，CO3ADBAO又 为圆 的直径， ，AB由 知， ，360 为等边三角形，从而 -3 分点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，P 平面 ，又 平面 ，DCDABC ，-5 分由 得， 平面 ，AOP又 平面 ， -6 分B（注：证明 平面 时，也可以由平面 平面 得到，酌情给分 ）
11、ABC法 2： 为圆 的直径， ，AC在 中设 ，由 ， 得， ， ， ，RtAC1D333D4AB23C ，则 ，2BB ，即 -3 分AO点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，PO 平面 ，又 平面 ，DACDC ， -5 分由 得， 平面 ，PB又 平面 ， -6 分B法 3： 为圆 的直径， ，AO在 中由 得， ，RtC330AC设 ，由 得， ， ，1DD2B由余弦定理得， ，22cos ，即 -3 分2CBCAO点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，PO 平面 ，又 平面 ，DADB ， -5 分由 得， 平面 ，P又 平面 ， -6 分BC（）法 1：（综合法）过点 作 ，垂足为
12、，连接 -7EBECPA BDCOE分由（1）知 平面 ，又 平面 ，CDPABPAB ，又 ，E 平面 ，又 平面 ，PBCDE ，-9 分 为二面角 的平面角 -10 分由（）可知 ， ，3C3PB（注：在第（）问中使用方法 1 时，此处需要设出线段的长度，酌情给分 ） ，则 ，32PB92DE在 中， ，RtC36tan2C ，即二面角 的余弦值为 -14 分15cosDEPBA15法 2：（坐标法）以 为原点， 、 和 的方向分别为 轴、 轴和 轴的正向，建立如图DCxyz所示的空间直角坐标系 -8 分（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明 ，酌情给分 ）CDAB设 ，
13、由 ， 得， ， ，1AD3B3A3P ， ， ， ，(0,)(,0)C(,0)(,) ， ， ，PP0,CD由 平面 ，知平面 的一个法向量为 -10DAB(3,)分设平面 的一个法向量为 ，则C(,)xyzn，即 ，令 ，则 ， ，0PBn30xyz13x1z ，-12 分(,1)设二面角 的平面角的大小为 ，CAPA BDCO yzx则 ，-13 分315cos|5CDn二面角 的余弦值为 -14 分PBA19解：（）由条件 ， ，得21,1an12na2 分12na1n21nn 数列 为等差数列 3 分1n（）由（）得 4 分1)(21nan 7 分21an3 !31n . 8 分!（
14、） ( ) 10 分1nkaknC1)!(!n,2 第 行各数之和 1121nnnaa（ ）.12 分 211nCC ,2 表中前 行所有数的和 )2()()( 132 nnS1n. .14 分2()n24n20 （本题满分 14 分）解析：（1）由题意可得 ， ， ， -.-2 分2a3cec ，221bac所以椭圆的方程为 -4 分24xy（2）设 ， ，由题意得 ，即 ， -6 分(,)Cx0(,)P02xy012xy又 ，代入得 ，即 2014y221()4x24x即动点 的轨迹 的方程为 -8 分CE24y（3）设 ，点 的坐标为 ，(,)mnR(,)t 三点共线， ，,A/AC而
15、， ，则 ，(2,)C(4,)t(2)ntm ， 4ntm点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， -10 分R(,)2D(,)2直线 的斜率为 ，CD22()4nmnk而 ， ，24mn22 ， -12 分2k直线 的方程为 ，化简得 ，CD()mynx40xny圆心 到直线 的距离 ，O242drn所以直线 与圆 相切 -14 分CDO21 （本题满分 14 分）（）证明: . 1 分3()10fxax令 ,则 , ,3()1hxa0h3()h . 2 分0又 , 是 R 上的增函数. 3 分/2()3x3()1xa故 在区间 上有唯一零点,1ha0即存在唯一实数 使 . 4 分0,x0()fx当
16、 时, , ,由知 ,即 成立； 1n121()ffa01xa102x5 分设当 时, ,注意到 在 上是减函数,且 ,()k2102kkxx2()fx0kx故有: ,即210()kkfxff021kk , 7 分21()kkfffx即 .这就是说, 时,结论也成立.2102kkxn故对任意正整数 都有: . 8 分n2102nnxx(2)当 时,由 得: , 9 分a11()ff21x 10 分232211()xxx 2212144x当 时, ,k0k211221()kkkkxxx114kkxx14kx. 12 分2 21232144kkxx 14k对 ,*mN1121()()()kmkmkkkxx 13 分112kxx 112244kmx 14 分1 114334k kmkkx
