1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.知识点一 向量数乘的定义思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案 向量.思考 2 向量 3a，3 a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3 a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相同.3 a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反.思考 3 a 的几何意义是什么？答案 a 的几何
2、意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩.当| |1 时，表示 a 的有向线段在原方向( 0)或反方向( 0)上伸长为原来的| |倍.梳理 向量数乘运算实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，其长度与方向规定如下：(1)| a| |a|.(2) a (a0)的方向Error!特别地，当 0 或 a0 时，0 a0 或 00.知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案 结合律，分配律.梳理 向量数乘运算律(1) ( a)( )a；(2)( )a a a；(3) (a b) a b.知识点三 向量共线定理思考 1 若 b2 a，
3、b 与 a 共线吗？答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知， b 与 a 共线.如果有一个实数 ，使 b a(a0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使得 b a.思考 2 若 b 与非零向量 a 共线，是否存在 满足 b a？若 b 与向量 a 共线呢？答案 若 b 与非零向量 a 共线，存在 满足 b a；若 b 与向量 a 共线，当 a0， b0时，不存在 满足 b a.梳理 (1)向量共线定理向量 a (a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a.(2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
4、，对于任意向量 a、 b，以及任意实数 、 1、 2，恒有 ( 1a 2b) 1a 2b.类型一 向量数乘的基本运算例 1 (1)化简： 2(2a4 b)4(5 a2 b).14解 2(2a4 b)4(5 a2 b)14 (4a8 b20 a8 b)14 (16 a16 b)144 a4 b.(2)已知向量为 a， b，未知向量为 x， y，向量 a， b， x， y 满足关系式3x2 y a，4 x3 y b，求向量 x， y.解 Error!由32，得 x3 a2 b，代入得 3(3a2 b)2 y a，所以 x3 a2 b， y4 a3 b.反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项
5、式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项” 、 “公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练 1 (1)计算：( a b)3( a b)8 a.解 ( a b)3( a b)8 a( a3 a)( b3 b)8 a2 a4 b8 a10 a4 b.(2)若 2 (c b3 y) b0，其中 a， b， c 为已知向量，则未知向量(y13a) 13y_.答案 a b c29 29 19解析 因为 2 (c b3 y)
6、b0，(y13a) 133y a b c0，所以 y a b c.23 23 13 29 29 19类型二 向量共线的判定及应用命题角度 1 判定向量共线或三点共线例 2 已知非零向量 e1， e2不共线.(1)若 a e1 e2， b3 e12 e2，判断向量 a， b 是否共线.12 13解 b6 a， a 与 b 共线.(2)若 e1 e2， 2 e18 e2， 3( e1 e2)，求证： A、 B、 D 三点共线.AB BC CD 证明 e1 e2， 2 e18 e23 e13 e25( e1 e2)5 .AB BD BC CD AB ， 共线，且有公共点 B，AB BD A、 B、
7、D 三点共线.反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用 b a(a0)，还要说明向量a， b 有公共点.跟踪训练 2 已知非零向量 e1， e2不共线，如果 e12 e2， 5 e16 e2， 7 e12 e2，则共线的三个点是_.AB BC CD 答案 A， B， D解析 e12 e2， AB BD BC CD 5 e16 e2 7e12 e22( e12 e2)2 .AB ， 共线，且有公共点 B，
8、AB BD A， B， D 三点共线.命题角度 2 利用向量共线求参数值例 3 已知非零向量 e1， e2不共线，欲使 ke1 e2和 e1 ke2共线，试确定 k 的值.解 ke1 e2与 e1 ke2共线，存在实数 ，使 ke1 e2 (e1 ke2)，则( k )e1( k 1) e2，由于 e1与 e2不共线，只能有Error! k1.反思与感悟 利用向量共线定理，即 b 与 a(a0)共线 b a，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.跟踪训练 3 已知 A， B， P 三点共线， O 为直线外任意一点，若 x y ，则OP OA OB x y_.答案 1解析 由于
9、 A， B， P 三点共线，则 ， 在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实AB AP 数 使得 ，即 ( )，AP AB OP OA OB OA (1 ) .OP OA OB x1 ， y ，则 x y1.类型三 用已知向量表示其他向量例 4 在 ABC 中，若点 D 满足 2 ，则 等于( )BD DC AD A. B. 13AC 23AB 53AB 23AC C. D. 23AC 13AB 23AC 13AB 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得 AD AB BD AB 23BC ( ) .AB 23AC AB 13AB 23AC 反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路(1
10、)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练 4 如图，在 ABC 中， D， E 为边 AB 的两个三等分点， 3 a， 2 b，求 ，CA CB CD .CE 解 3 a， 2 b，CA CB 2 b3 a，AB CB CA 又 D， E 为边 AB 的两个三等分点， b a，AD 13AB 23 3 a b a2 a b，CD CA AD 23 23 3 aCE
11、 CA AE 23AB 3 a (2b3 a) a b.23 431.已知 a5 e， b3 e， c4 e，则 2a3 b c 等于( )A.5e B.5 eC.23e D.23 e答案 C解析 2 a3 b c25 e3(3 e)4 e23 e.2.在 ABC 中， M 是 BC 的中点，则 等于( )AB AC A. B. C.2 D.12AM AM AM MA 答案 C解析 如图，作出平行四边形 ABEC， M 是对角线的交点，故 M 是 BC 的中点，且是 AE 的中点，由题意知， 2 ，故选 C.AB AC AE AM 3.设 e1， e2是两个不共线的向量，若向量 m e1 ke
12、2 (kR)与向量 n e22 e1共线，则( )A.k0 B.k1C.k2 D.k12答案 D解析 当 k 时， m e1 e2， n2 e1 e2.12 12所以 n2 m，此时， m， n 共线.4.已知 ABC 的三个顶点 A， B， C 及平面内一点 P，且 ，则( )PA PB PC AB A.P 在 ABC 内部B.P 在 ABC 外部C.P 在 AB 边上或其延长线上D.P 在 AC 边上答案 D解析 ，PA PB PC PB PA 2 ， P 在 AC 边上.PC PA 5.如图所示，已知 ，用 ， 表示 .AP 43AB OA OB OP 解 OP OA AP OA 43A
13、B ( )OA 43OB OA .13OA 43OB 1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 a， a 是没有意义的.2. a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的| |倍.向量表示与向量 a 同向的单位向量.a|a|3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.4.已知 O， A， B 是不共线的三点，且 m n (m， nR)， A， P， B 三点共线OP OA OB m n1.课时作业一、选择题1.下列说法中正确的是( )A. a 与 a 的方向不是相同就是相反B.若 a， b 共线，则 b aC.若|
14、 b|2| a|，则 b2 aD.若 b2 a，则| b|2| a|答案 D解析 显然当 b2 a 时，必有| b|2| a|.2.在 ABC 中，如果 AD， BE 分别为 BC， AC 上的中线，且 a， b，那么 等于( )AD BE BC A. a b B. a b23 43 23 23C. a b D. a b23 43 23 43答案 A解析 由题意，得 b b ( ) b a ，即 b a ，BC BE EC 12AC 12AD DC 12 14BC BC 12 14BC 解得 a b.BC 23 433.如图， AB 是 O 的直径，点 C， D 是半圆弧 AB 上的两个三等分
15、点， a， b，则 等AB AC AD 于( ) A.a b B. a b12 12C.a b D. a b12 12答案 D解析 连接 CD， OD，如图所示. 点 C， D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点， AC CD， CAD DAB 9030.13 OA OD， ADO DAO30.由此可得 CAD ADO30， AC DO.由 AC CD，得 CDA CAD30， CDA DAO， CD AO，四边形 ACDO 为平行四边形， a b.AD AO AC 12AB AC 124.在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若 ，则 等于( )CD 13CA CB A. B.13
16、23C. D.12 34答案 B解析 A， B， D 三点共线， 1， .13 235.设 D 为 ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. AD 13AB 43AC B. AD 13AB 43AC C. AD 43AB 13AC D. AD 43AB 13AC 答案 A解析 3 ， 3( )，BC CD AC AB AD AC 即 4 3 ， .AC AB AD AD 13AB 43AC 6.已知 m， n 是实数， a， b 是向量，则下列命题中正确的是( ) m(a b) ma mb；( m n)a ma na；若 ma mb，则 a b；若 ma na，则 m n.A.
17、 B.C. D.答案 B解析 和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若 m0，则不能推出 a b，错误；中，若 a0，则 m， n 没有关系，错误.二、填空题7.已知 a5 b， 2 a8 b， 3( a b)，则_三点共线.AB BC CD 答案 A， B， D8.设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a2 b 平行，则实数 _.答案 12解析 向量 a， b 不平行， a2 b0，又向量 a b 与 a2 b 平行，则存在唯一的实数 ，使 a b (a2 b)成立，即 a b a2 b，则Error!解得 .129.(a9 b2 c)( b2 c)_.答案 a10 b10.在 A
18、BCD 中， a， b， 3 ， M 为 BC 的中点，则 _.(用 a， b 表示)AB AD AN NC MN 答案 b a14 14解析 如图， b aMN MB BA AN 12 34AC b a (a b) (b a).12 34 14三、解答题11.如图所示，设 M， N 为 ABC 内的两点，且 ， ，求 ABM 的面AM 14AB 13AC AN 25AB 12AC 积与 ABN 的面积之比. 解 如图所示，设 ， ，AP 14AB AQ 13AC 则 .AM AP AQ 由平行四边形法则知， MQ AB， .S ABMS ABC |AQ |AC | 13同理 . .S ABN
19、S ABC 12 S ABMS ABN 2312.若非零向量 a 与 b 不共线， ka2 b 与 3a kb 共线，试求实数 k 的值.解 ka 2b 与 3a kb 共线，存在实数 ，使得 ka2 b (3a kb)，( k3 )a(2 k )b0，( k3 )a( k 2) b. a 与 b 不共线，Error!， k .613.在平行四边形 ABCD 中， M， N 分别是 DC， BC 的中点，已知 c， d，试用 c， d 表AM AN 示 和 .AB AD 解 如图，设 a， b.AB AD M， N 分别是 DC， BC 的中点， b， a.BN 12 DM 12在 ADM 和
20、 ABN 中，Error!即Error!2，得 b (2c d)，232，得 a (2d c).23 d c， c d.AB 43 23 AD 43 23四、探究与拓展14.已知向量 a， b 是两个不共线的向量，且向量 ma3 b 与 a(2 m)b 共线，则实数 m 的值为_.答案 1 或 315.已知在四边形 ABCD 中， a2 b， 4 a b， 5 a3 b，求证：四边形 ABCDAB BC CD 为梯形.证明 如图所示. AD AB BC CD ( a2 b)(4 a b)(5 a3 b)8 a2 b2(4 a b)， 2 .AD BC 与 共线，且| |2| |.AD BC AD BC 又这两个向量所在的直线不重合， AD BC，且 AD2 BC.四边形 ABCD 是以 AD， BC 为两条底边的梯形.
