1、天天练 33 抛物线的定义、方程及性质一、选择题1抛物线 x4y 2 的准线方程为 ( )Ay By112C x Dx116 18答案：C解析：将 x4y 2化为标 准形式为 y2 x，所以 2p ，p ，开14 14 18口向右，所以抛物线的准线方程为 x .1162若抛物线 y22px (p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6，则抛物线的方程为( )Ay 24x By 236xC y24x 或 y236x Dy 28x 或 y232 x答案：C解析：因为抛物线 y2 2px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为 6，所以若 设该点为 P，则 P(x0，6)因 为 P
2、到抛物线的焦点 F的距离 为 10，所以由抛物线的定义得 x0 10 .因为 P 在(p2，0) p2抛物线上，所以 362px 0 .由解得 p2，x 09 或p18，x 01， 则抛物线的方程为 y24x 或 y236x.3(2018广东广州天河区实验中学月考) 抛物线 x24y 上一点P 到焦点的距离为 3，则点 P 到 y 轴的距离为( )A2 B12C 2 D3答案：A解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1.根据抛物 线定 义，得 yP13，解得 yP2，代入抛物线方程求得 xP2 ，点 P 到 y 轴的距离为 2 .故选 A.2 24(2018天水一模 )过
3、抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，点 O 是坐标原点，若 |AF|3，则AOB 的面积为( )A. B.22 2C. D2322 2答案：C解析：由题意得 xAxB0.设AFx(00)上的一点，F为抛物线的焦点，O 为坐标原点当|AF| 4 时，OFA120，则抛物线的准线方程是( )Ax 1 By1C x 2 Dy2答案：A解析：过点 A 作准线的垂线 AC，过点 F 作 AC 的垂线 FB，垂足分别为 C，B，如 图由题意知BFAOFA 9030，又因为|AF|4，所以 |AB|2. 点 A 到准线的距离 d |AB|BC|p24，解得 p2，则 抛物线 y2
4、4x 的准线方程是 x1.故选 A.8(2018福建厦门杏南中学期中) 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y 0)若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM| ( )A2 B22 3C 4 D2 5答案：B解析：由题意，抛物线关于 x 轴对称，开口向右，设其方程为y22px( p0)点 M(2，y0)到该抛物 线焦点的距离为 3，2 3，p2.p2抛物线方程为 y24 x.M(2，y 0)，y 8，|OM| 220 4 8.故 选 B.3二、填空题9(2017新课标全国卷，16) 已知 F 是抛物线 C：y 28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的
5、延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN |_.答案：6解析：如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物 线 C 的准线交x 轴于点 A，过点 M 作准 线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P， PMOF.由题意知，F(2,0)， |FO|AO|2. 点 M 为 FN 的中点，PMOF， |MP| |FO|1.12又|BP |AO| 2， |MB|MP |BP|3.由抛物线的定义知|MF| |MB|3，故| FN| 2|MF|6.10(2018 厦门一模)已知焦点为 F 的抛物线 y22px(p0)上一点 A(m，2 )，若以 A 为圆心，|AF| 为半径的圆 A 被 y
6、 轴截得的弦长2为 2 ，则 m_.5答案：2解析：因为圆 A 被 y 轴 截得的弦长为 2 ，所以5|AF |m ，m2 5p2又 A(m,2 )在抛物线上，故 82pm 2由与可得 p2，m2.11(2018 浙江五校联考( 二)抛物线 y24x 的焦点为 F，点P(x， y)为该抛物线上的动点，又点 A(1,0) ，则 的最小值是|PF|PA|_答案：22解析：根据抛物线的定义，可求得| PF|x 1，又|PA |，x 12 y2所以 .|PF|PA| x 1x 12 y2因为 y24x，令 t， 则式可化简为 ，其中2x 1 1 t2 2t 1t(0,2 ，即可求得 的最小值为 ，所以
7、 的最小值为1 t2 2t 1 22 |PF|PA|.22三、解答题12(2017 北京卷，18)已知抛物线 C：y 22px 过点 P(1,1)过点 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴(0，12)的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证： A 为线段 BM 的中点解析：(1) 解： 由抛物线 C：y22px 过点 P(1,1)，得 p .12所以抛物线 C 的方程为 y2x.抛物线 C 的焦点坐标为 ，准线方程为 x .(14，0) 14(2)证明： 由 题意，设直线 l
8、 的方程为 ykx (k0) ，l 与抛物12线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)由Error!得 4k2x2(4 k4)x 10，则 x1x 2 ，x1x2 .1 kk2 14k2因为点 P 的坐标为(1,1)，所以直线 OP 的方程 为 yx，点 A 的坐标为( x1，x1)直线 ON 的方程为 y x，点 B 的坐标为 .y2x2 (x1，y2x1x2)因为 y1 2x 1y2x1x2 y1x2 y2x1 2x1x2x2(kx1 12)x2 (kx2 12)x1 2x1x2x22k 2x1x2 12x2 x1x2 0，2k 214k 1 k2k2x2所以 y1 2x 1.y2x1x2故 A 为线 段 BM 的中点
