1、天天练 38 推理与证明一、选择题1要证明 1)时，12 13 12n 1第一步应验证不等式( )A1 bc，且 abc 0，求证： 0 Bac0C (ab)(ac )0 D(ab)(ac)0，即证(2 ac )(ac )0，即证(a c)(ab )0.故选 C.二、填空题9(2018河北唐山一中调研) 用数学归纳法证明：( n1)(n 2)(nn) 2 n13(2n1)(nN *)时，从“nk 到nk 1”时，左边应增加的代数式为_答案：2(2 k1)解析：首先写出当 nk 时和 nk 1 时等式左 边的式子当 nk 时，左边等于(k 1)(k2)( kk)( k1)(k2) (2k)，当
2、nk1 时，左边等于(k 2)(k3)( kk)(2k1)(2k2) ，从 nk 到 nk 1 的证明，左 边需增加的代数式是由 得到2(2k 1)2k 12k 2k 110(2018 山东日照一模) 有下列各式：1 1,1 ，1 2，则按此规律12 13 12 1732 12 13 115可猜想此类不等式的一般形式为：_.答案：1 (nN *)12 13 12n 1 1n 12解析：观察各式左边为 的和的形式，项数分别为 3,7,15，1n可猜想第 n 个式子中左边应有 2n1 1 项，不等式右边分别写成 ，22，猜想第 n 个式子中右 边应为 ，按此规律可猜想此类不3242 n 12等式的
3、一般形式为：1 (nN *)12 13 12n 1 1n 1211(2018 长沙二模)在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 .推广到空间可以得S1S2 14到类似结论：已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则 _.V1V2答案：127解析：由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正四面体 P ABC 的棱长为 a，E 为等边三角形 ABC 的中心，O 为内切球与外接球的球心，则 AE a，PE a.设 OAR，OEr， 则 r33 63a R，又在 RtAOE 中，OA 2OE 2AE 2，即 R2 263
4、( 63a R)2，R a，r a，正四面体的外接球和内切球的半径之比(33a) 64 612是 31，故正四面体 PABC 的内切球体积 V1与外接球体积 V2之比等于 127，即 .V1V2 127三、解答题12(2018 安徽合肥测试) 给出四个等式：11；14(12) ；149123；14916(1234)；(1)写出第 5,6 个等式，并猜测第 n(nN *)个等式；(2)用数学归纳法证明你猜测的等式解析：(1) 第 5 个等式：149162512345；第 6 个等式：149162536(123456) ；猜测第 n(nN *)个等式 为 122 23 24 2 ( 1) n1 n2( 1)n1 (1 2 3n) (2)证明： 当 n1 时，左边1 21，右边(1)0 1，11 12左边右边，等式成立；假设当 nk(kN *)时，等式成立，即122 23 24 2(1) k1 k2(1) k1 ，kk 12则当 nk 1 时，122 23 24 2(1) k1 k2(1) k(k1) 2(1)k 1 ( 1) k(k 1)2( 1) k(k1) ( 1) kkk 12 k 1 k2，k 1k 1 12当 nk 1 时，等式也成立根据可知，对于任何 nN *等式均成立
