1、天天练 19 平面向量的数量积及其应用一、选择题1(2018遂宁一模 )给出下列命题： 0；0 0；若 a 与 b 共线，则AB BA AB ab |a|b|；( ab)ca( bc)其中正确命题的个数是( )A1 B2C 3 D4答案：A解析： ， 0，该命题正AB BA AB BA BA BA 确；数量积是一个实数，不是向量，该命题错误；a 与 b 共线，当方向相反时， ab| a|b|，该命题错误；当 c 与 a 不共线，且 ab0，b c0 时， (ab)ca( bc)，该 命题错误故正确命题的个数为 1.故选 A.2已知向量 a(1,3)，b(2 ，5)若向量 c 满足 c( ab)
2、，且 b( a c)，则 c( )A. B.(118，3316) ( 118，3316)C. D.(118， 3316) ( 118， 3316)答案：A解析：设出 c 的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可设 c(x，y)，由 c( ab)，得 c(ab)(x ，y)(3， 2)3x 2y0， 又 b(2，5)，ac (1x, 3y)，且 b(a c )，所以 2(3y)( 5)(1x )0. 联立，解得 x ，y ，所以 c .故选 A.118 3316 (118，3316)3(2018安徽蚌埠一模) 已知非零向量 m，n 满足3|m| 2|n|， m，
3、n 60.若 n( tmn)，则实数 t 的值为( )A3 B3C 2 D2答案：B解析：非零向量 m，n 满足 3|m|2| n|，m，n60，cos m，n .又n( tmn)，n(tmn)12t mnn 2t|m|n | | n|2 |n|2| n|20 ，解得 t3.故选 B.12 t34(2018广东五校协作体一模) 已知向量 a( ，1)，b( 2,1)若|ab| | ab|，则实数 的值为( )A1 B2C 1 D2答案：A解析：根据题意，对于向量 a，b，若 |ab| ab|，则|a b|2| a b|2，变形可得 a22abb 2a 22a bb 2，即 ab0.又由向量 a
4、( ，1)，b( 2,1)，得 (2) 10，解得 1.故选 A.5(2018上饶二模 )已知向量 ， 的夹角为 60，OA OB | | | | 2，若 2 ，则ABC 为( )OA OB OC OA OB A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案：C解析：根据题意，由 2 ，可得 2 ，OC OA OB OC OB BC OA 则| |2| |4，由 ，可得| |2| |2 22BC OA AB OB OA AB OB OA OB OA 24，故 | |2，由 (2 ) OA OB AB AC OC OA OA OB OA ，得| |2| |2 22 212，可得OA
5、OB AC OA OB OA OA OB OB | | 2 .在ABC 中，由| |4，| |2， | |2 ，可得| |2|AC 3 BC AB AC 3 BC |2 | |2，则ABC 为直角三角形故选 C.AB AC 6(2018泰安质检 )已知非零向量 a，b 满足|a| b|ab| ，则a 与 2ab 夹角的余弦值为( )A. B.77 78C. D.714 5714答案：D解析：不妨设|a| b|ab|1， 则|a b|2a 2 b22a b22a b1，所以 ab ，所以 a(2ab)122a 2a b ，又|a|1，|2ab| ，52 2a b2 4a2 4ab b2 7所以
6、a 与 2ab 夹角的余弦值为 .a2a b|a|2a b| 5217 57147如图所示，AB 是圆 O 的直径，P 是 上的点，M ，N 是直AB径 AB 上关于 O 对称的两点，且 AB6，MN4，则 ( )PM PN A13 B7C 5 D3答案：C解析：连接 AP，BP，则 ， ，所以 ( )(PM PA AM PN PB BN PB AM PM PN PA AM ) | |2 |PB AM PA PB PA AM AM PB AM PA AM AM PB |2 | |21615.AM AM AB AM 8(2018洛阳二模 )已知直线 xyk0( k0)与圆 x2y 24 交于不同
7、的两点 A，B ， O 是坐标原点，且有 | | | |，则 kOA OB 33AB 的取值范围是( )A( ，) B ，)3 2C ，2 ) D ，2 )2 2 3 2答案：C解析：设 AB 的中点为 D，则 ODAB，因为| | | |，OA OB 33AB 所以|2 | | |，所以| |2 | |，所以 | |212| |2.因为OD 33AB AB 3OD AB OD | |2 | |24，所以| |21，因为直线 xyk 0(k 0)与圆OD 14AB OD x2y 24 交于不同的两点 A，B，所以 | |20，所以 k 2 ，所以 k 的取值范围是(|k|2) 2 2 ，2 )
8、2 2二、填空题9若 a(2,1)，b(3,4)，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为_答案：2解析：因为 a(2,1)，b(3,4)，所以 ab231410，|b|5， 则向量 a 在向量 b 方向上的投影 为 2.9 16ab|b| 10510在ABC 中，若( 2 ) ，( 2 ) ，则AB AC AB AC AB AC ABC 的形状为_ 答案：等边三角形解析：( 2 ) ( 2 ) 0 ，AB AC AB AB AC AB 即 2 0.( 2 ) ，即 ( 2 ) 0，即 AB AB AC AB AC AB AC AC AB AC AC 2 0，所以 2 ，即| | |，而AC A
9、B AC AB AB AC AC AB AC AB AC cosA ，所以A60，所以ABC 为等边三角形AB AC |AB |AC | 1211(河北衡水四调) 在ABC 中，AB3， AC5.若 O 为ABC 的外接圆的圆心，则 _AO BC _.答案：8解析：设 BC 的中点为 D，连接 OD，AD，则 ，所以 OD BC AO ( ) ( )( ) ( 2 2)BC AD DO BC AD BC 12AC AB AC AB 12AC AB (523 2)8.12三、解答题12(2018 河南第一次段考) 已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2)(1)若|c|2 ，且 c a，求 c 的坐标；5(2)若|b|1，且 ab 与 a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角 的余弦值解析：(1) 设 c( x，y)，则由 ca 和|c |2 可得Error!5解得Error!或Error!c(2,4)或 c(2，4)(2)a b 与 a2b 垂直，(ab)( a2b)0，即 a2ab2b 20，ab3，cos .ab|a|b| 355
