1、天天练 17 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若 a0 ( 为实数)，则 必为零；已知 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为( )A1 B2C 3 D4答案：C解析：错误. 两向量共 线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它 们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当 a 0 时，不论 为何值，a0；错误 当 0 时，a b，此时，a 与 b 可以是任意向量2(2018海淀模拟 )下列说法正确的是( )A长度相等的向量叫做相等向
2、量B共线向量是在同一条直线上的向量C零向量的长度等于 0D. 就是 所在的直线平行于 所在的直线AB CD AB CD 答案：C解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故 B 不正确； 显然 C 正确；当 时， 所在的直线与AB CD AB 所在的直线可能重合，故 D 不正确CD 3(2018四川成都七中一诊)已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2 2 ，则 ( )OP OA BA A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 AB 的反向延长线上C点 P 在线段 AB 的延长
3、线上D点 P 不在直线 AB 上答案：B解析：2 2 ，2 2 ，即 2 ，OP OA BA OP OA BA AP BA 点 P 在线段 AB 的反向延长线上故选 B.4(2018河南中原名校质检三)如图，已知在 ABC 中，D 为边BC 上靠近 B 点的三等分点，连接 AD，E 为线段 AD 的中点若m n ，则 mn( )CE AB AC A B13 12C D.14 12答案：B解析：依题意得 ( )AD AB BD AB 13BC AB 13AC AB 23 ， AB 13AC CE CA AE CA 12AD AC 12(23AB 13AC ) . m n ，m ，n ，AC 13
4、AB 16AC 13AB 56AC CE AB AC 13 56m n .故选 B.13 56 125(2018资阳二模 )设 e1 与 e2 是两个不共线的向量，3e 12e 2， k e1e 2， 3e 12ke 2，若 A，B，D 三点共AB CB CD 线，则 k 的值为 ( )A B94 49C D38 83答案：A解析：由题意，A， B，D 三点共线，故必存在一个 实数 ，使得 .又 3e 12e 2， k e1e 2， 3e 12k e2，所以 AB BD AB CB CD BD 3e12ke 2 (ke1e 2)(3k) e1(2 k1)e 2，所以CD CB 3e12e 2
5、(3k)e 1(2k1) e2，所以Error! 解得 k .946(2018太原二模 )设 D，E，F 分别为ABC 三边BC，CA，AB 的中点，则 ( )DA EB FC A. B.12DA 13DA C. D014DA 答案：D解析：因为 D，E，F 分别为ABC 三边 BC，CA，AB 的中点，所以 ( ) ( ) ( ) ( )DA EB FC 12BA CA 12AB CB 12AC BC 12BA AB ( ) ( )0，故 选 D.12CB BC 12CA AC 7(2018辽宁联考 )已知 A，B，C 是平面上不共线的三点， O是ABC 的重心，动点 P 满足 ，则 P 一
6、定OP 13(12OA 12OB 2OC )为ABC 的( )AAB 边中线的三等分点(非重心)B AB 边的中点C AB 边中线的中点D重心答案：A解析：如图所示，设 AB 的中点是 E，则 OP 13 ( (12OA 12OB 2OC ) 13OE 2 )O 是ABC 的重心，2 ，OC EO OC ( 4 ) ，点 P 在 AB 边的中线上，是中线的OP 13OE EO EO 三等分点，不是重心故选 A.8(2018河南豫北名校联盟精英对抗赛) 已知ABC 的外接圆的半径为 1，圆心为点 O，且 3 4 5 0，则ABC 的面积OA OB OC 为( )A. B.85 75C. D.65
7、 45答案：C解析：由题意，得| | | |1.由 3 4 5 0OA OB OC OA OB OC 得 3 4 5 ，两边平方得 0.同理，由OA OB OC OA OB 3 4 5 0 得 3 5 4 和OA OB OC OA OC OB 4 5 3 ，OB OC OA 两个式子分别平方可得 和 .OA OC 35 OB OC 45所以cos AOC ，cosBOC ，sinAOC ，sinBOC ，所35 45 45 35以 S 11 11 11 .12 12 35 12 45 65二、填空题9已知 a 与b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b 3a)共线，则实数 的值为_答案：1
8、3解析：因为 ab 与(b3a) 共线，所以存在实数 ，使a b(3ab)，即Error!所以Error!10(2018 盐城一模)在ABC 中，A60，A 的平分线交BC 于点 D，若 AB4 ，且 AD (R) ，则 AD 的长为14AC AB _答案：3 3解析：因为 B，D，C 三点共线，所以 1，解得 ，如图，14 34过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB，AC 于点 M，N，则 ，AN 14AC ，经计算得 ANAM 3， AD3 .AM 34AB 311如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1,1，OA OB OC ， 与 的夹角为 ，且 tan 7， 与 的
9、夹角为 45.若2 OA OC OB OC m n (m， nR) ，则 mn_.OC OA OB 答案：3解析：本题考查平面向量基本定理及其应用，平面向量的夹角及其应用等知识解法一：tan 7，0，cos ，sin ，210 7210 与 的夹角为 ， ，OA OC 210OA OC |OA |OC | m n ，| | |1，| | ， OC OA OB OA OB OC 2 210，m nOA OB 2又 与 的夹角为 45，OB OC ，22 OB OC |OB |OC | mOA OB n2又 cosAOBcos(45)coscos45sinsin45 210 22 ，7210 22
10、 35 | | |cosAOB ，OA OB OA OB 35将其代入得 m n ， mn1，35 15 35两式相加得 m n ，所以 mn3.25 25 65解法二：过 C 作 CMOB，CN OA ，分 别交线段 OA，OB 的延长线于点 M，N，则 m ， n ，OM OA ON OB 由正弦定理得 ，|OM |sin45|OC |sin135 |ON |sin| | ，OC 2由解法一知，sin ，cos ，7210 210| | ，OM 2sin45sin135 1sin45 54| | ，ON 2sinsin135 27210sin45 74又 m n ，| | |1，OC OA
11、 OB OM ON OA OB m ，n ，mn3.54 74三、解答题12如图所示，在ABO 中， ， ，AD 与OC 14OA OD 12OB BC 相交于点 M，设 a， b.试用 a 和 b 表示向量 .OA OB OM 解：设 manb，OM 则 manba(m1)a nb，AM OM OA a b.AD OD OA 12OB OA 12又A ，M，D 三点共线， 与 共线AM AD 存在实数 t，使得 t ，AM AD 即(m1)anbt .( a 12b)(m1)anbta tb.12Error!消去 t 得 m12n，即 m2n1.又 manb a anb，CM OM OC 14 (m 14) b a ab.CB OB OC 14 14又C， M，B 三点共线， 与 共线CM CB 存在实数 t1，使得 t 1 ，CM CB anbt 1 ，(m 14) ( 14a b)Error!消去 t1 得 4mn1.由得 m ，n ， a b.17 37 OM 17 37
