1、第10讲 一次函数及其应用,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一一次函数及其图象性质(高频) 1.定义 如果函数的表达式是自变量的一次式,像这样的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数,k0),特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k0)也叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 2.图象及其性质 一次函数的图象是经过点(0,b)及点 的一条直线.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点二一次函数表达式的确定 1.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设所求函数表达式为y=kx+b; (2)将x,
2、y的对应值代入表达式y=kx+b,得到含有待定系数的方程或方程组; (3)解方程或方程组,确定待定系数k,b的值; (4)将所求待定系数的值代入所设的函数表达式中即可得函数表达式. 注意:若直线l1:y1=k1x+b1与直线l2:y2=k2x+b2平行(b1b2),则k1=k2. 2.一次函数的平移求表达式 一次函数y=kx+b的图象可以看作由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到(当b0时,向上 平移;当b0时,向下平移).,考点一,考点二,考点三,考点四,考点三一次函数与方程、不等式之间的关系 1.一次函数与一次方程的关系 一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点横坐标是一次方程kx+b=
3、0的解,一次方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点横坐标. 2.一次函数与二元一次方程组的关系 两个一次函数图象的交点坐标就是这两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解;两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解就是这两个一次函数图象的交点坐标.,考点一,考点二,考点三,考点四,3.一次函数与一元一次不等式的关系 (1)一次函数y=kx+b的图象位于x轴上方(即函数值y0)的自变量取值范围就是不等式kx+b0的解集;不等式kx+b0的解集就是一次函数y=kx+b的图象位于x轴上方(即函数值y0)的自变量的取值范围. (2)一次函数y=kx+b的图象位于x轴下方(即函数值
4、y0)的自变量取值范围就是不等式kx+b0的解集;不等式kx+b0的解集就是一次函数y=kx+b的图象位于x轴下方(即函数值y0)的自变量的取值范围.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点四一次函数的应用 1.利用一次函数的性质解决实际问题的步骤 (1)设出实际问题中的变量; (2)利用题目中的条件求出一次函数关系式; (3)确定自变量的取值范围; (4)利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题,作答. 2.一次函数应用的常用题型 (1)根据实际问题中给出的数据列出相应的函数表达式,解决实际问题; (2)利用一次函数的性质对实际问题中的方案进行比较; (3)结合函数图象解决实际问题.,命题点
5、1,命题点2,命题点3,命题点1 待定系数法确定一次函数解析式 1.(2016安徽,20,10分)如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y= 的表达式; (2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1,命题点2,命题点3,命题点2 一次函数的图象 2.(2009安徽,8,4分)已知函数y=kx+b的图象如图,则y=2kx+b的图象可能是( C ),解析 因为两个函数的b相同,所以与y轴的交点相同
6、,所以两个函数图象的上升趋势一样,且y=2kx+b比y=kx+b的上升趋势更陡,故选C.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点3 一次函数的应用 3.(2014安徽,20,10分)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付餐厨和建筑垃圾处理费5 200元.从2014年元月起,收费标准上调为:餐厨垃圾处理费100元/吨,建筑垃圾处理费30元/吨.若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化,就要多支付垃圾处理费8 800元. (1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨? (2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少
7、到240吨,且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍,则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元?,命题点1,命题点2,命题点3,解 (1)设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨,建筑垃圾y吨,根据题意, 答:该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨,建筑垃圾200吨. 4分 (2)设该企业2014年处理的餐厨垃圾m吨,建筑垃圾n吨,需要支付这两种垃圾处理费共a元,根据题意,得 解得m60.则a=100m+30n=100m+30(240-m)=70m+7 200, 7分 由于a的值随m的增大而增大,所以当m=60时,a值最小,最小值=7060+7 200=11 400(元).答:201
8、4年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11 400元. 10分,考法1,考法2,考法3,考法1一次函数的解析式 例1(2016江西)如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB= .(1)求点B的坐标; (2)若ABC的面积为4,求直线l2的解析式. 分析(1)由勾股定理求出OB的值,再确定点B的坐标;(2)先确定点C的坐标,再运用待定系数法确定直线l2的解析式.,考法1,考法2,考法3,考法1,考法2,考法3,方法总结本题考查了用待定系数法确定一次函数的解析式;在知道待求一次函数图象经过的两个点的坐标或两对x,y的值,可运用待
9、定系数法确定一次函数的表达式,即 (1)设所求函数的解析式为y=kx+b; (2)将两个点的坐标或两对x,y的值代入解析式中得到关于k,b的方程组; (3)解建立的方程组,得出k,b的值; (4)将所求出的k,b代入y=kx+b,求出解析式.,考法1,考法2,考法3,对应训练,1.(2017陕西)若一个正比例函数的图象经过A(3,-6),B(m,-4)两点,则m的值为( A ) A.2 B.8 C.-2 D.-8,2.(2017湖北荆州)将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度,点A(-1,2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上,则b的值为4 .,解析: 设这个正比例函数的解析式为y=kx,
10、将点A(3,-6)代入可得k=-2,即y=-2x,再将点B(m,-4)代入y=-2x,可得m=2.故选A.,解析: 将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度,得直线y=x+b-3. 点A(-1,2)关于y轴的对称点是(1,2), 把点(1,2)代入y=x+b-3,得1+b-3=2,解得b=4.,考法1,考法2,考法3,3.(2017浙江台州)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b).(1)求b,m的值; (2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,若线段CD长为2,求a的值.,考法1,考法2,考法3,解: (1)把点P(1,b)代入y=2x+
11、1,得b=2+1=3,把P(1,3)代入y=mx+4,得m+4=3,所以m=-1. (2)直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1),与直线l2的交点D为(a,-a+4). 因为CD=2,所以|2a+1-(-a+4)|=2, 即|3a-3|=2, 所以3a-3=2或3a-3=-2.,考法1,考法2,考法3,考法2一次函数的图象及其性质,例2(2017安徽桐城模拟)一次函数y=mx+n与y=mnx(mn0)在同一平面直角坐标系内的图象是( ),考法1,考法2,考法3,答案:C 解析:(1)当m0,n0时,mn0,一次函数y=mx+n的图象过第一、二、三象限,正比例函数y=mnx的图象过第一、
12、三象限,无选项符合; (2)当m0,n0,一次函数y=mx+n的图象过第二、三、四象限,正比例函数y=mnx的图象过第一、三象限,无选项符合; (4)当m0时,mn0,一次函数y=mx+n的图象过第一、二、四象限,正比例函数y=mnx的图象过第二、四象限,无选项符合.故选C.,考法1,考法2,考法3,方法总结本题考查了一次函数y=kx+b的图象及其性质: (1)当k0,b0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限),y随x的增大而增大; (2)当k0,b0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限),y随x的增大而减小; (4)当k0,b0时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过
13、第一象限),y随x的增大而减小.,考法1,考法2,考法3,对应训练,4.(2017黑龙江大庆)对于函数y=2x-1,下列说法正确的是( D ) A.它的图象过点(1,0) B.y值随着x值增大而减小 C.它的图象经过第二象限 D.当x1时,y0,5.(2017山东泰安)已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而减小,则下列结论正确的是( A ) A.k0 B.k2,m0 D.k0,m0,解析: 一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而减小,k-20.,考法1,考法2,考法3,6.(2017安徽合肥瑶海区模拟)一次
14、函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示,则下列结论:k0;当x=3时,y1=y2;当x3时,y1y2. 其中正确的是 .(填序号),考法1,考法2,考法3,考法3一次函数的应用,例3(2017浙江衢州)“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.,考法1,考法2,考法3,考法1,考法2,考法3,解:(1)由题意可设y1=k1x+80,且其图象过点(1,95),则95=k1+80,所以k1=15,所以y1=15x+80(x0),由题意知y2=30x(x0).,方法总结利用一次函数解决实际问题,其关键在于正确理解自变量、函数的意义,找出函数与自变量存在的数
15、量关系,从而得出函数解析式,根据自变量的取值范围结合函数的变化趋势进行求解.,考法1,考法2,考法3,对应训练,7.(2017山东聊城)端午节前夕,在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队在500米的赛道上,所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系式如图所示,下列说法错误的是( D )A.乙队比甲队提前0.25 min到达终点 B.当乙队划行110 m时,此时落后甲队15 m C.0.5 min后,乙队比甲队每分钟快40 m D.自1.5 min开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需提高到255 m/min,考法1,考法2,考法3,8.(2017湖北咸宁)某
16、公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘制成图象,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系,已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.(1)第24天的日销售量是 件,日销售利润是 元. (2)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围. (3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天?试销售期间,日销售最大利润是多少元?,考法1,考法2,考法3,解: (1)330 660 (2)设线段OD所表示的y
17、与x之间的函数解析式为y=kx. y=kx的图象过点(17,340), 17k=340,解得k=20. 线段OD所表示的y与x之间的函数解析式为y=20x. 由题意得,线段DE所表示的y与x之间的函数解析式为y=340-5(x-22)=-5x+450. D是线段OD与线段DE的交点,考法1,考法2,考法3,(3)当0x18时,由题意得(8-6)20x640,解得x16; 当18x30时,由题意得(8-6)(-5x+450)640,解得x26. 16x26. 26-16+1=11, 日销售利润不低于640元的天数共有11天. D的坐标为(18,360), 日销售最大销售量为360件. 日销售最大
18、利润是(8-6)360=720(元).,考法1,考法2,考法3,9.(2017江苏无锡)某地新建的一个企业,每月将产生1 960吨污水,为保护环境,该企业计划购置污水处理器,并在如下两个型号中选择:已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元;售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元. (1)求每台A型、B型污水处理器的价格. (2)为确保将每月产生的污水全部处理完,该企业决定购买上述的污水处理器,那么他们至少要支付多少钱?,考法1,考法2,考法3,解: (1)设每台A型污水处理器的价格为x万元、每台B型污水处理器的价格为y万元.,答:每台A型污水处理器的价格为10万元、每台B型污水处理器的价格为8万元. (2)设购买A型污水处理器a台,B型污水处理器b台,至少要支付w万元.,当b=0时,w最小, 此时w最小=10a=100万元.,考法1,考法2,考法3,综上所述,为确保将每月产生的污水全部处理完,该企业至少要支付90万元.,
