1、阶段方法技巧训练（一）,专训1 圆中常见的计算题型,与圆有关的计算主要体现在：利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直 角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半 径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利 用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积，利用 圆的知识解决实际问题等；其中涉面积的计算，常 采用作差法、等积法、平移法、割补法等，涉实际 应用计算常采用建模思想进行计算,1,题型,有关角度的计算,1【中考娄底】如图，在O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：ABDCDB；(2)若DBE37，求ADC的度数,(1)AB，CD是直径，ADBCBD90
2、.在RtABD和RtCDB中，RtABDRtCDB(HL),证明：,(2)BE是O的切线，ABBE.ABE90.DBE37，ABD53.ODOA，ODABAD905337.即ADC的度数为37.,2,题型,半径、弦长的计算,2【中考南京】如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB cm， BCD2230，则O的半径为_cm.,2,如图，连接OB，BCD2230，BOD2BCD45. ABCD， BEAE AB (cm)， BOE为等腰直角三角形， OB BE2 cm，故答案为2.,3如图，已知O中直径AB与弦AC的夹角为30， 过点C作O的切线交AB的延长线于点D，OD3
3、0 cm. 求直径AB的长,3,题型,面积的计算,4【2015丽水】如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作O的切线DF，交AC于点F.,技巧1,利用“作差法”求面积,(1)求证：DFAC；,(1)如图，连接OD，OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB.ODBACB.ODAC.DF是O的切线，DFOD. DFAC.,证明：,(2)若O的半径为4，CDF22.5，求阴影部分的面积,(2) 如图，连接OE，DFAC，CDF22.5，ABCACB67.5.BAC45.OAOE，OEABAC45.AOE90.O的半径为4，S扇形AOE4，SAOE8.S
4、阴影S扇形AOESAOE48.,解：,5如图所示，E是半径为2 cm的O的直径CD延长线上的一点，ABCD且AB CD，求阴影部分的面积,技巧2,利用“等积法”求面积,如图，连接OA，OB. ABCD，SABESAOB， S阴影S扇形OAB. AB CDAOOB2 cm， OAB是等边三角形， AOB60. S扇形OAB (cm2)即阴影部分的面积为 cm2.,解：,本题利用AEB的面积等于AOB的面积，将阴影部分面积转化为扇形面积，体现了“等积变形法”的运用,6如图所示，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？,技巧3,利用
5、“平移法”求面积,将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合， 如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积 作OEAB于E(易知E为切点)，连接OA， AE AB9. 阴影部分的面积 OA2 OE2 (OA2OE2) AE2 92 .,解：,观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积,7如图所示，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是 90，连接AC，BD.(1)求证：ACBD；,技巧4,利用“割补法”求面积,AOBCOD90， 即AOCAODBODAO
6、D， AOCBOD. 又AOBO，CODO， AOCBOD. ACBD.,证明：,(2)若OA2 cm，OC1 cm，求图中阴影部分的面积,由(1)知AOCBOD， 阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积则S阴影 (cm2),解：,本题通过割补法将不规则图形的面积转化为两个规则图形的面积的差的形式,4,题型,实际应用的计算,8如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动， 已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75的方向上，距离P点320 km处,应用1,利用垂径定理解决台风问题,(1)试说明台风是否会影响B市；,(1)如图，过B作BHP
7、Q于H，在RtBHP中，由条件易知：BP320 km，BPQ30.BH BP160 km200 km.台风会影响B市,解：,(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间,(2)如图，以B为圆心，200 km为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P22P1H.在RtBHP1中，BP1200 km，BH160 km，P1H 120(km)P1P22P1H240 km.台风影响B市的时间为 8(h),本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题,9如图所示，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同
8、伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？,应用2,利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想),选择射门方式二较好，理由如下： 设AQ与圆的交点为C，连接PC，如图所示 PCQ是PAC的外角， PCQA. 又PCQB， BA. 在B点射门比在A点射门好 选择射门方式二较好,解：,本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关结论来解决实际问题,10如图，已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之 间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地
9、的北偏东60方向，B地的北偏西45方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？,应用3,利用直线与圆的位置关系解决范围问题,修建的这条水渠不会穿过公园 理由：如图，过点C作CDAB，垂足为D. 由题易得CBA45， BCD45. CDBD. 设CDx km，则BDx km. 由题易得CAB30， AC2CD2x km，,解：,AD x(km)， xx1.解得x即CD 0.366(km)366 m350 m，也就是说，以点C为圆心，350 m为半径的圆与AB相离 修建的这条水渠不会穿过公园,11如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为2
10、0 cm，高为40 cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？,应用4,利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题,圆锥形漏斗的底面半径为20 cm，高为40 cm， 圆锥的母线长为 60(cm)设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，则有 220，解得n120. 方案一：如图，扇形的半径为60 cm，矩形的宽为60 cm，易求得矩形的长为60 cm. 当AB60 cm，BC60 cm时， S矩形ABCD3 600 cm2.,解：,方案二：如图，扇形与矩形的两边相切，有一边重合， 易求得矩形的宽为60 cm，长为306090(cm)， 此时矩形的面积为90605 400(cm2) 3 600 5 400， 方案二所用材料最省即选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省,
