1、统计 02解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17从甲、乙两个班级各随机抽取 10 名同学的数学成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于 90 分为及格。(I）试完成甲班制取 10 名同学数学成绩频率分布表，并估计甲班的及格率。(II）从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；【答案】 （）估计甲班的及格率为 0.2+0.2=0.4(）甲班有 6 人不及格，编号为 a,b,c,d,e,f; 乙班有 5 人不及格,编号为 1,2,3,4,5.从每班抽取的同学中各抽取一人，共有 1010=100 个基本事件.其中事件“从两班
2、 10 名同学中各抽取一人，两人都不及格”记作 A，则 的基本事件有: a1,a2,a3,a4,a5； b1,b2,b3,b4,b5； c1,c2,c3,c4,c5； d1,d2,d3,d4,d5； e1,e2,e3,e4,e5； f1,f2,f3,f4,f5.共 30 个基本事件，则 30()1P 对立事件“从每班抽取的同学中各抽取一人，至少有一人及格”的概率为 1- 310= 7.18某企业的某种产品产量与单位成本统计数据如下： 121,niiniixybaybx(用最小二乘法求线性回归方程系数公式注： 121ni inxyxyxy ，2 221ni in ）(1)试确定回归方程； (2)
3、指出产量每增加 1 件时，单位成本下降多少？(3)假定产量为 6 件时，单位成本是多少？单位成本为 70 元/件时，产量应为多少件？【答案】 (1)设 x 表示每月产量(单位：千件)，y 表示单位成本(单位：元/件)，作散点图由图知 y 与 x 间呈线性相关关系，设线性回归方程为 ybxa.由公式可求得 b-1.818，a=77.364，回归方程为 y=-1.818x+77.364.(2)由回归方程知，每增加 1 件产量，单位成本下降 1.818 元(3)当 x6 时，y1.818677.36466.455；当 y70 时，701.818x77.364，得x4. 051 千件 产量为 6 件时
4、，单位成本是 66.455 元/件，单位成本是 70 元/件时，产量约为 4 051件19一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：(1） 如果 y 对 x 有线性相关关系，求回归直线方程；(2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 89 个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值： 13805iiyx， 14525ix)【答案】(1） 5x 0y 5ii25i 5.6514038b， 5.17xbya回归直线方程为： 17xy(2） 9.75.6x
5、，解得20某项实验，在 100 次实验中，成功率只有 10%，进行技术改革后，又进行了 100 次试验。若要有 97.5%以上的把握认为“技术改革效果明显” ，实验的成功率最小应为多少？（要求：作出 列 联 表2） （设 )025.)(2xP【答案】设所求为 x 作出 列 联 表 则 5)190()(12xxk得 x21.52 所求为 22%21班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班 25 名女同学，15 名男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析。(1）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少名才符合抽样要求？(2）随机抽出 8 名，他们的数学、物理分数对应如下表：(i)
6、 若规定 85 分以上（包括 85 分）为优秀，在该班随机调查一名同学，他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？(ii)根据上表数据，用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间线性相关关系的强弱。如果有较强的线性相关关系，求 y 与 x 的线性回归方程（系数精确到0.01） ；如果不具有线性相关关系，说明理由。参考公式：相关系数1221niiiniiiixry；回归直线的方程是： ybxa，其中12niiiiixy， abx，iy是与 ix对应的回归估计值。参考数据： 7.5,84.7y， 82105iix， 821457iiy，8168iiixy， 1053
7、2.4， 5721.4， 5023.。【答案】 (1)应选女生 240名，男生 8340名。(2) (i)由表中可以看出，所选的 8 名同学中，数学和物理分数均为优秀的有 3 人，故所求概率是 38。(ii)变量 y 与 x 的相关系数是 60.932.41r。可以看出，物理与数学成绩高度正相关。也可以数学成绩 x 为横坐标，物理成绩 y 为纵坐标做散点图（略） 。从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关。设 y 与 x 的线性回归方程是 ybxa，根据所给数据可以计算出 680.15b，84.750.6.3.7a，所以 y 与 x 的线性回归方
8、程是 063.7。22为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校的高中生中随机地抽取了 300 名学生进行调查，得到如下列联表：由表中数据计算 24.513K，判断高中生的性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系，并说明理由.【答案】可以有 95%的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系” ，作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程为：分别用 a,b,c,d 表示喜欢数学的男生数、不喜欢数学的男生数、喜欢数学的女生数、不喜欢数学的女生数。如果性别与是否喜欢数学有关系，则男生中喜欢数学的比例 ab与女生中喜欢数学的比例 cd应该相差很多，即 | |()acadcbb应很大，将上式等号右边的式子乘以常数因子 ()(cda，然后平方计算得：22()(nadbcK，其中 .nb因此， 2K越大， “性别与是否喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。另一方面，假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系” ，由于事件 A“ 23.841”的概率为 ()0.5PA因此事件 A 是一个小概率事件。而由样本计算得 5K，这表明小概率事件 A 发生了，由此我们可以断定“性别与是否喜欢数学之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性为 5%，约有 95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系” 。
