1、专项训练（四） 解直角三角形一、选择题1.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 的值是（ ） cosA. B. C. D.43534第 1 题图 第 2 题图2.如图所示，RtABCRtDEF，则 tanE 的值等于（ ）A. B. C. D. 2133.如果 sin2a+sin230=1，那么锐角 a 的度数是（ ）A.15 B.30 C.45 D.604.RtABC 中，C=90，a：b=3：4，则A 的度数（精确到 1）是（ ）A30 B37 C38 D395. 如图，某飞机在空中 A 处探测到它的正下方地平面上目标 C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台 B
2、的仰角 =30，则飞机 A 与指挥台 B 的距离为（ ）A1200m B1200 m C1200 m D2400m23第 5 题 第 6 题6.如图，为测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 l 上顺次取 A、C、D 三点，在 A 点测得BAD=30，在 C 点测得BCD=60，又测得 AC=50 米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）米A.25 B. C. D.2531032537.直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将ABC 如图那样折叠，使点 A 与点 B重合，折痕为 DE，则 tanCBE 的值是（ ）A B C D24773724138.当太阳光线与地面成 45角时
3、，某棵大树的影长为 10 米，则树高 h 所在的范围是（ ）A.h=10 B.h5 C.5 h10 D.h10二、填空题9 .如图，角 的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点 P（3，4） ，则 sin第 9 题图 第 11 题图 第 12 题图10.已知锐角 A 满足 2sin（3A-15 0）= ，则A=_ 311.如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度 l 为 10 米，坡角 为 35，则坡屋顶高度 为 米 （结果精确到 0.1 米）h12.如图，在坡度为 1：2 的 山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离
4、是 米.13.如图，A 是 y 轴正半轴上的一点，机器人从点 A 出发沿着南偏西 450 的方向前进了 4个单位，到达 B 点后观察到原点 O 在它的南偏东 60的方向上，则点 A 的坐标为 2（结果保留根号） EDCBA第 13 题图 第 14 题图14.如图，在等边ABC 内有一点 D，AD=5，BD=6，CD=4，将ABD 绕点 A 逆时针旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 旋转到点 E，则CDE 的正切值为 三、解答题15.如图所示，某市在城市建设中，要折除旧烟囱 AB，在烟囱正西方向的楼 CD 的顶端C，测得烟囱的顶端 A 的仰角为 45，底端 B 的俯角为 30，已知 BD=2
5、1m（1）在原图上画出从点 C 望点 A 的仰角和从点 C 望点 B 的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方 远的一棵大树是否被歪倒的35m烟囱砸着？为什么？16.某四边形 ABCD 的形状如图所示，其中A=60，ABBC，AD CD，AB=200，CD =100，求 AD、BC 的长. 17.2015 年 4 月 25 日 14 时 11 分，尼泊尔发生 8.1 级地震，震源深度 20 千米中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象在废墟一侧某面上选两探测点 A、B，AB 相距 2 米，探测线与该面的夹角分别是 30和
6、 45（如图） 试确定生命所在点 C 与探测面的距离 （参考数据 1.41， 1.73）2318.在一次课题设计活动中，小明对修建一座 87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为梯形 ABCD，如图所示，AB=CD ，ADBC ，坝高 10m，迎水坡面 AB 的坡度i= ，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎35水坡面 AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面 AE 的坡度 i= 。65求原方案中此大坝迎水坡 AB 的长（结果保留根号）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿 EC 方向拓宽 2.7m，求坝底将会沿 AD
7、方向加宽多少米？参考答案与解析1.D2.C 解析：由 RtABC RtDEF，得E= B，所以 tanE=tan60= .33.D 解析：由 sin2a+sin230=1，得 sin2a=1-（ ） 2= ，得 sina= ，所以锐角 a=60.143234.B 5.D 解析：因为ABC= =30，所以 AB= =ABCsin=2400，即飞机 A 与指挥台 B 的距离为 2400m2106.B 解析：过点 B 作 BE 垂直于 AC，垂足为 E，因为BAD=30，BCD=60，所以ABC= BAD=30，则 BC=AC=50，所以小岛 B 到公路 l 的距离为BE=BCsinBCD=50 =
8、 （米）.2357.C 解析：设 CE=x，由折叠方法得， BE=8x，由勾股定理得， x2+62=（8-x） 2，解得 x=，所以 tanCBE= = .4747618.B 解析： 设大树的高度为 h，当大树与地面垂直时，大树的影子最短，此时h=10tan450=10；当大树与太阳光线垂直时，大树的影子最长，此时 h=10sin450=5.所以 5 h10.对照各选项，选 B.2易错点拨：本题中容易出现两类错误：误认为大树一定直立在地面上，因而误选 A；虽然知道大树可能与地面垂直也可能不与地面垂直，但颠倒了两种情况下的影长关系.9. (或 0.8) 解析：根据点 P 的坐标利用勾股定理可以求
9、得 OP= =5.所以 sin =45 243.10.25 解析：因为 2sin(3A-15)= ，所以 sin(3A-15)= ，3A15=60，则A=25.3211.3.5 解析：根据三线合一的性质可知，坡屋顶高度 h 把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，由 tan = ，得 h=5tan 3.5 米.5h12. 解析：设相邻两树间的坡面距离是 x 米，由坡度的定义得，2： =6：x，解得35 5x= .13 .（0，4+ ） 解析：作 BCOA 于点 C，则43AC=BC= AB=4，OC=BCtanOBC=4tan30 0= ，所以 OA=OC+AC=4+ .2 344314.3
10、解析：过点 E 作 EM DC 于点 M，根据旋转的性质可得7AD=AE=5，BD=EC=6 ，BAC= DAE=60 ,所以ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 DE=AE=5；设 DM=x，在 RtDEM 和 RtEMC 中，由勾股定理可得DE2-DM2=EC2-CM2，即 52-x2=62-（4-x ） 2，解得 x= ，在 RtDEM 中，再由勾股定85理求得 EM= ,所以 tanCDE= = =3 .871DME857115.解：（1）画出的图形如图所示.（2）棵大树不会被歪倒的烟囱砸着.理由如下：在 中，AC G=450，RtAGCAG=CG=BD=21m.在 RtBC
11、G 中，BG=CGtan30=BDtan30=21 =7 (m).3烟囱高 AB=（21+7 ）m.21+7 21+7 2=35，33这棵大树不会被歪倒的烟 囱砸着16.解析：因为图中没有直角三角形，为求 AD 和 BC，需构造一个直角三角形，使得 AB或 CD 与A 在同一个直角三角形中，为此可以延长 AD、BC 相交于一点；也可以补上两个分别以 AD、CD 为斜边的直角三角形，从而构造一个以 AB 为边的矩形.解：方法一：延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，如图 1 所示.在 RtABE 中，AB=200， E=30， AE=2AB=400，BE=ABtanA=200 .在 RtCDE
12、 中，3CD=100， E=30，CE=2CD=200 ，DE= .AD=AE-DE=400-100 ，BC=BE-CE=200310tanCD-200.3答：AD 的长为（400-100 ）m ，BC 的长为=（200 -200）m.3方法二：过点 D 作 EFAB，交 BC 的延长线于 E，以 AB、BE 为邻边作矩形矩形ABEF，如图 2 所示.设 AD=x，在 RtADF 中，DAF=90- DAB=30 ，DF= AD= x，AF=ADcos3021= .在 Rt CDE 中，CDE=30，CE= =50， DE=CD cos30x23 CD=50 .DE+DF=EF=AB， 50
13、+ .解得 x=400-100 .320x13AD=x=400-100 . BC=AF-CE= -50=200 -200.3图 1 图 2方法点拨：一般情况下，利用锐角三角函数计算时，必须有直角三角形，当图中没有直角三角形时，需要作辅助线构造直角三角形，虽然构造直角三角形没有一个规定的模式，但基本原则是：所构造的直角三角形的某条边与所求线段有关，并且这条边在所构造的直角三角形中已知或能够求出.17 .解：过点 C 作 CDAB，如图所示.ABE=45，CBD=45.设 CD=x 米，则 BD=CD=x 米. CAD=30，AD= = = x 米.CADtan3AB=2，AD-BD=2，即 xx
14、=2，解得 x= = +12.73（米） 31-32答：生命所在点 C 与探测面的距离大约是 2.73 米18.解析：（1）如果过点 B 作 BFAD 于 F，在直角三角形 ABF 中，利用 AB 的坡度可以求得 AF，进而利用勾股定理即可求得 AB；（2）过点 E 作 EGAD 于 G延长 EC 至点 M，AD 至点 N，连接 MN，由 SABE =S 梯形 CMND，可以求得 DN 的值解：过点 B 作 BFAD，垂足为 F.在 RtABF 中，i= = ，且 BF=10m，AFB35AF=6m，AB= = =2 m. 2FA201634过点 E 作 EGAD，垂足为 G.在 RtAEG 中，i= = ，且 BF=10m，AGE65AG=12m，BE=GF=AG-AF=12-6=6m 延长 EC 至点 M，延长 AD 至点 N， 如图所示.连接 MN，方案修 改前后，修建大坝所需土石方总体积不变 .S ABE =S 梯形 CMND，即 BEBF= （CM+DN）BF.21DN=BE-CM=6-2.7=3.3m.答：坝底将会沿 AD 方向加宽 3.3m.
