1、复习课 (一) 空间几何体及点、线、面的位置关系空间几何体的三视图、表面积与体积(1)空间几何体的结构与特征考查方向有两个方面：一是在选择、填空题中直接考查结构特征，二是作为载体在解答题中考查位置关系的判定证明，多与三视图相结合要充分掌握柱、锥、台、球的结构特征，解题时要注意识别几何体的性质(2)空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力，属低档题 考 点 精 要 1三视图的画法规则(1)正、俯视图都反映了物体的长度“长对正”；(2)正、侧视图都反映了物体的高度“高平齐”；(3)侧、俯视图
2、都反映了物体的宽度“宽相等”2表面积(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和(2)旋转体的表面积：S 圆柱 2rl 2r 2；S 圆锥 rl r 2；S 圆台 (R r)lr 2R 2.3体积(1)柱体：V 柱体 Sh(S 为底面面 积， h 为高)(2)锥体：V 锥体 Sh(S 为底面面 积， h 为高)13(3)台体：V 台体 (S S) h.其中 S，S分别表示台体的上、下底面面积13 SS典例 (1)给出下列命题：在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点，它们可能是正四面体的 4 个顶点；球的直径是连接球面上两点的线段；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱
3、柱其中正确命题的序号是_(2)(全国甲卷 )如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A20 B24C28 D32(3)(天津高考 )一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析 (1)正确，正四面体是每个面都是等 边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1 中的四面体 ACB1D1；错误，因 为球的直径必 过球心；错误，必须是相邻的两个侧面(2)由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h.由图得 r2，c 2 r4，h4，由勾股定理得：l 4，S 表22 232 r2
4、 ch cl416 828.12(3)由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1，圆柱的底面半径为 1 且其高为 2，故所求几何体的体积为V 12121 22 .13 83答案 (1) (2)C (3) 83类题通法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的 线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据 题意判定(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过 求和或作差求得几何体的表面积题 组 训 练 1下列说法正确的是(
5、 )A用一平面去截圆台，截面一定是圆面B在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线C圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D圆台的母线可能平行解析：选 C 对于 A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面对于B，等腰梯形 (轴截面)的腰才是圆台的母线 对于 D，圆台的母线不可能平行2某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体的正视图和侧视图的画法正确的是( )解析：选 A 该几何体是由圆柱切割得到的，由俯 视图可知正 视方向和侧视方向，可 进一步画出正视图和侧视图，如图 所示，故 选 A.3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 S 为_解析：根据三视图
6、，可知题中的几何体是由一个 长方体挖去一个 圆柱得到的，所以S2(4 13143)2 238.答案：38与球有关的问题与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考查球的表面积与体积的求法，属于低档题考 点 精 要 球的表面积与体积(1)球的表面积公式 S 球 4R 2.(2)球的体积公式 V 球 R3.43典例 (1)如图所示，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD ，BDCD，将2其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A. B332C. D223(2)(全国乙卷
7、 )如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( )283A17 B18C20 D28解析 (1)如图，取 BD 的中点 E，BC 的中点 O，连接 AE，OD，EO，AO.由题意，知AB AD，所以 AEBD.由于平面 ABD平面 BCD，所以 AE平面 BCD.因为 ABAD CD 1，BD ，所以 AE ，EO ，所以222 12OA .32在 RtBDC 中， OBOCOD BC ，所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径12 32为 .32所以该球的体积 V 3 .43( 32) 32(2)由几何体的三视图可知，
8、该几何体是一个球体去掉上半球的 ，得到的几何体如图设14球的半径为 R，则 R3 R3 ，解得 R2.因此它的表面积为43 18 43 2834R2 R217.故选 A.78 34答案 (1)A (2)A类题通法解决球与其他几何体的切、接问题，关 键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面 (要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的. 题 组 训 练 1.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半 球面上，ABAC ，侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1
9、 的面积为( )A2 B1C. D.222解析：选 C 连接 BC1，B1C，交于点 O，则 O 为面 BCC1B1 的中 心由题意知，球心为侧面 BCC1B1 的中心 O，BC 为截面圆的直径，所以BAC90，则 ABC的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点，同理， A1B1C1 的外接圆圆心 M 位于 B1C1 的中点，设正方形BCC1B1 的边长为 x，在 RtOMC1 中，OM ，MC1 ，OC1R1(R 为球的半径)，所以x2 x22 21，即 x ，即 ABAC1，所以 侧面 ABB1A1 的面积为 1 ，选 C.(x2) (x2) 2 2 22设 A，B ，C，D 是球面上的四点，
10、AB，AC，AD 两两互相垂直，且AB 3，AC4 ，AD ，则球的表面积为 ( )11A36 B64C100 D144解析：选 A 三棱锥 ABCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥 ABCD 的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为 R，则 2R6，故 R 3，外接球的表面积 S4R 236，故 选 A.32 42 112空间点、线、面位置关系的判断与证明空间线、面平行与垂直关系的判断与证明是常考热点，多以空间几何体为载体进行考查常以选择、解答题形式出现，难度中档 考 点 精 要 1判定线线平行的方法(1)利用定义：证明线线共面且无公共点(2)利用
11、平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：a，a， bab .(4)利用面面平行的性质定理：，a， bab.(5)利用线面垂直的性质定理：a，b ab.2判定线面平行的方法(1)利用定义：证明直线 a 与平面 没有公共点，往往借助反证法(2)利用直线和平面平行的判定定理：a，b ，aba .(3)利用面面平行的性质的推广：，a a.3判定面面平行的方法(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点(2)利用面面平行的判定定理：a，b ，abA ，a，b.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即 a，a.(4)平行于同一平面的两个平面平行，即 ， .4证明直线与平面垂
12、直的方法(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面符号表示：a，lal.(其中“”表示“任意的”)(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号表示：lm，ln，m，n，m nPl.(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面符号表示：ab，ab.(4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面符号表示： ， l，m ，ml m .5证明平面与平面垂直的方法(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角
13、，则这两个平面互相垂直符号表示： l，Ol，OA ，OB ，OAl ，OBl，AOB90 .(2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直符号表示：l，l .典例 如图，已知直角梯形 ABCD 中，E 为 CD 边中点，且 AECD，又 G，F 分别为DA，EC 的中点，将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC .(1)求证：AE平面 CDE；(2)求证：FG 平面 BCD；(3)在线段 AE 上找一点 R，使得平面 BDR平面 DCB，并说明理由解 (1)证明：由已知得 DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面 DCE，AE平面 CDE.(2)
14、证明：取 AB 中点 H，连接 GH，FH，GHBD，FHBC，GH平面 BCD，BD平面 BCD，GH平面 BCD.同理：FH平面 BCD，又 GHFH H，平面 FHG平面 BCD，GF平面 FHG，GF平面 BCD.(3)取线段 AE 的中点 R，则平面 BDR平面 DCB.取线段 DC 的中点 M，取线段 DB 中点 S，连接 MS，RS，BR，DR，EM.则 MS 綊 BC，又 RE 綊 BC，12 12MS 綊 RE，四 边形 MERS 是平行四边形，RSME .在DEC 中，EDEC，M 是 CD 的中点，EMDC.由(1)知 AE平面 CDE，AEBC，BC平面 CDE.EM平
15、面 CDE，EMBC.BCCD C ，EM平面 BCD.EMRS ，RS平面 BCD.RS平面 BDR，平面 BDR平面 DCB.类题通法1平行、垂直关系的相互转化2证明空间线面平行或垂直需注意三点(1)由已知想性质，由求 证想判定(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论 题 组 训 练 1已知 m，n 是两条不同直线， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是 ( )A若 m ，n，则 mn B若 ，则 C若 m，m，则 D若 m ，n，则 mn解析：选 D 平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，所以 A 错；垂直于同一平面的两个平面
16、可以平行也可以相交，所以 B 错；平行于同一直 线的两平面可以平行也可以相交，所以 C 错；垂直于同一平面的两条直 线一定平行，所以答案选 D.2.如图，AB 是O 的直径， C 是圆周上不同于 A，B 的点，PA 垂直于O 所在的平面，AEPB 于 E，AFPC 于 F，因此，_平面PBC.(填图中的一条直线)解析：AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的点，BCAC.PA 垂直于O 所在的平面， BCPA，又 PAACA， BC平面 PAC.AF平面 PAC，AFBC.又 AFPC，BCPCC，AF平面 PBC.答案：AF3(江苏高考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D
17、，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA 1F，A 1C1A 1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明：(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1C1AC.在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1.又因为 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1.又因为 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A
18、1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA 1B1A 1，所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D.又因为 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A 1FA 1，所以 B1D平面A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.空间角求法空间角包括异面直线所成角、线面角、二面角，常以选择、填空、解答题形式考查，难度中档以上主要考查转化思想与空间想象能力 考 点 精 要 1异面直线所成角的求法(1)一作：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所成的角，常用直接平移法、中位线平移法和补形平
19、移法；(2)二证：证明作出的角就是所要求的角；(3)三计算：一般通过构造三角形来求角2求直线与平面所成角的方法(1)确定点在平面内的射影的位置是解题的关键只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解(2)求斜线与平面所成角的一般步骤：寻找( 或作出)过直线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得出射影，确定所求角；把该角放在三角形中计算(3)当直线和平面垂直时，直线与平面所成的角是 90；当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角是 0.3二面角的平面角的确定(1)用定义法来确定二面角的平面角：在二面角的棱上找一个特殊点，过这个点在两个半平面
20、内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角(取“特殊”点，是为了方便计算平面角的大小) (2)垂面法：过二面角棱上一点，作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面分别相交得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线，可找到二面角的平面角或其补角此种方法通用于求二面角的所有题目4求二面角的大小一作，作二面角的平面角；二证，证明该角是所求二面角的平面角；三计算，解三角形，确定平面角的大小典例 如图，正方体 ABCDABC D的棱长为1，B CBCO，求：(1)AO 与 AC所成角的大小；(2)AO 与平面
21、ABCD 所成角的正切值；(3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的大小解 (1)A CAC，AO 与 AC所成的角就是OAC.OCOB，AB平面 BCCB，OCAB.又 ABBOB，OC平面 ABO.又 OA平面 ABO，OCOA.在 RtAOC 中， OC ，AC ，22 2sinOAC ，OAC30.OCAC 12即 AO 与 AC所成的角为 30.(2)如图，作 OEBC 于 E，连接 AE.由题知 OE平面 ABCD，OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角在 RtOAE 中，OE ，12AE ，12 (12)2 52tanOAE .OEAE 55(3)由(1)知 OC平面 A
22、OB.又 OC平面 AOC，平面 AOB平面 AOC.即平面 AOB 与平面 AOC 所成的角为 90.类题通法求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空 间角的 计算步骤：一作，二 证，三计算但要注意角的范围题 组 训 练 1(浙江高考)如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面ABC， ACB 90，BEEF FC 1，BC 2，AC3.(1)求证：BF平面 ACFD；(2)求二面角 BADF 的平面角的余弦值解：(1)证明：延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如 图所示因为平面 BCFE平面 ABC，平面 BCFE平面 ABCBC，且ACBC，所以 AC平面 BCFE，
23、又因为 BF平面 BCFE，因此 BFAC.又因为 EFBC，BEEFFC1， BC2，所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BFCK.又 ACCK C，所以 BF平面 ACFD.(2)过点 F 作 FQAK 于 Q，连 接 BQ.因为 BF平面 ACFD，所以 BFAK，则 AK平面 BQF，所以 BQAK.所以BQF 是二面角 BADF 的平面角在 RtACK 中， AC3，CK2，得 AK ，FQ .1331313在 RtBQF 中，FQ ，BF ，得 cosBQF .31313 3 34所以二面角 BADF 的平面角的余弦值为 .342已知几何体 ABCED 的三视图
24、如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形(1)求此几何体的体积 V 的大小；(2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；(3)求二面角 AEDB 的正弦值解：(1)由三视图画出几何体 ABCED 的直观图如图所示AC平面 BCDE，则 V S 四边形 BCEDAC13 (24) 4 416，13 12几何体的体积 V 为 16.(2)取 EC 的中点是 F，连接 BF，则 BFDE ，FBA 或其补 角即为异面直 线 DE 与 AB 所成的角在BAF 中，AB4 ，BFAF2 ，2 5cosABF .105异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 .105(3)A
25、C平面 BCE，过 C 作 CGDE 交 DE 于 G，连接 AG.可得 DE平面 ACG，从而 AGDE，AGC 为二面角 AEDB 的平面角在ACG 中，ACG90，AC 4，CG ，855tanAGC .sinAGC .52 53二面角 AEDB 的正弦值为 .531(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( )A2 B45 5C22 D55解析：选 C 作出三棱锥的示意图如图，在 ABC 中，作 AB 边上 的高 CD，连接 SD.在三棱锥 S ABC 中，SC 底面 ABC，SC 1，底面三角 形ABC 是等腰三角形，ACBC， AB 边上的高 CD2，ADBD
26、1，斜高SD ，ACBC .S 表 SABCS SACS SBCS 5 5SAB 22 1 1 2 22 .12 12 5 12 5 12 5 52下列命题中假命题是( )A垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行解析：选 A 垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，A 错误；选 A.3已知 m，n 是两条不重合的直线， ， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若 m，m ，则 ；若
27、m，n，mn，则 ；若 ，则 ；若 m，n 是异面直线，m，m ，n，n，则 .其中真命题是( )A BC D解析：选 D 对于垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于 不满足平面与平面平行的判断定理，错误；对于平面 ， 可能相交， 错误； 对于满足平面 与平面 平行，正确4已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是( )解析：选 D 该三棱锥是由三条交于一点且两两垂直，长 度分别为 1,2,3 的棱构成的由于不同的放置方式其三视图可为 A，B，C 中的情况D 选项中侧视图错误，故选 D.5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B23C. D24
28、3解析：选 A 由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积 VV 柱 2V 半球 1 222 13 ，选 A.12 43 236.如图，三棱锥 VABC 中，VO平面ABC，O CD，VAVB ，ADBD，则下列结论中不一定成立的是( )AACBCBVCVDCAB VCDS VCD AB SABC VO解析：选 B 因为 VAVB ，ADBD，所以 VDAB.因为 VO平面 ABC，AB平面 ABC，所以 VOAB.又 VOVD V，所以 AB平面 VCD.又 CD平面 VCD，VC平面 VCD，所以 ABVC，ABCD.又 ADBD ，所以 ACBC
29、( 线段垂直平分线的性质)因为 VO平面 ABC，所以 VVABC SABCVO.13因为 AB平面 VCD，所以 VVABCV BVCDV AVCD SVCDBD SVCDAD S13 13 13VCD(BDAD) SVCDAB，13所以 SABCVO SVCDAB，13 13即 SVCDABS ABCVO.综上知，A ，C，D 正确7下面四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出平面 ABC平面 MNP 的图形序号是_(写出所有符合要求的图形序号)解析：由面面平行的判定定理可得答案：8已知四面体 ABCD 的棱都相等， G 为ABC 的重心，则异
30、面直线 AG 与 CD 所成角的余弦值为_解析：设四面体 ABCD 的棱 长为 a，延长 AG 交 BC 于 E，取 BD 的中点 F，连 接 EF，AF.由题意知 E 为 BC 的中点，所以 CDEF，所以AEF 即异面直线 AG 与 CD 所成的角由题意知 AEAF a，EF a，则在AEF 中， cosAEF32 12 .12EFAE 36答案：369.如图，三棱锥 VABC 的底面为正三角形，侧面 VAC 与底面垂直且VA VC，已知其正视图的面积为 ，则其侧视图的面积为_23解析：由题意知，该三棱锥的正 视图为 VAC，作 VOAC 于 O，连接OB，设底面边长为 2a，高 VOh，
31、 则VAC 的面积为 2ahah .又三棱锥的侧视图为12 23RtVOB，在正三角形 ABC 中，高 OB a，所以侧视图的面积为 OBOV ah 312 12 3 32 .23 33答案：3310.如图，已知ABC 是正三角形，EA，CD 都垂直于平面 ABC， 且EA AB2a，DCa，F 是 BE 的中点，求证：(1)FD 平面 ABC；(2)AF平面 EDB.证明：(1)取 AB 的中点 M，连接 FM，MC.F，M 分别是 BE，BA 的中点，FMEA，FM EAa.12EA，CD 都垂直于平面 ABC，CDEA，CDFM .又 DCa，FMDC，四 边形 FMCD 是平行四边形，
32、FDMC.FD平面 ABC，MC平面 ABC，FD平面 ABC.(2)M 是 AB 的中点，ABC 是正三角形，CM AB.又 CMAE，ABAEA ，CM平面 EAB，CMAF.又 CMFD， FDAF.F 是 BE 的中点，EA AB，AF BE.又 FDBE F，AF平面 EDB.11.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2.(1)求证：ACB 1D；(2)求三棱锥 CBDB1 的体积解：(1)证明：如图， ABCDA1B1C1D1为正方体， BB1平面 ABCD.AC平面 ABCD，BB1AC.又 底面 ABCD 为正方形，ACBD.BB1BDB ，AC平面 BB1D.B
33、1D平面 BDB1，ACB1D.(2)VCBDB1VB 1BDC.B1B平面 ABCD，B1B 是三棱锥 B1BDC 的高VB1BDC SBDCBB1 222 .13 13 12 43三棱 锥 CBDB1 的体积为 .4312.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD60， AB2，PA 1，PA平面 ABCD，点 E 是 PC 的中 点，F 是 AB 的中点(1)求证：BE平面 PDF；(2)求直线 BE 与平面 PAD 所成角的正弦值解：(1)证明：取 PD 中点为 M，连接 ME，MF.E 是 PC 的中点，ME 是PCD 的中位线，ME 綊 CD.12F 是 AB
34、 中点且 ABCD 是菱形， AB 綊 CD，ME 綊 AB.ME 綊 FB.12四 边形 MEBF 是平行四边形从而 BEMF，BE平面 PDF，MF平面 PDF，BE平面 PDF.(2)由(1)得 BE MF，直 线 BE 与平面 PAD 所成角就是直线 MF 与平面 PAD 所成角取 AD 的中点 G，连接 BD，BG.底面 ABCD 是菱形，BAD 60，ABD 是正三角形，BGAD，PA平面 ABCD，PA平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，BGAD，BG平面 PAD，过 F 作 FHBG，交 AD 于 H，则 FH平面 PAD，连接 MH，则FMH 就是 MF 与平面PAD 所成的角又 F 是 AB 的中点，H 是 AG 的中点连接 MG，又 M 是 PD 的中点，MG 綊 PA.12在 RtMGH 中，MG PA ，GH AD ，MH .12 12 14 12 22在正三角形 ABD 中，BG ，3FH BG .12 32在 RtMHF 中，MF (22)2 ( 32)2 52sinFMH ，FHFM3252 155直 线 BE 与平面 PAD 所成角的正弦值为 .155答案：155
