1、第4课时 操作探究型问题,2017临沂数学课上，张老师出示了问题：如图441，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若ACBACDABDADB60，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图，延长CB到E，使BECD，连结AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，故ACCE，所以ACBCCD.,图441 小亮展示了另一种正确的思路：如图，将ABC绕着点A逆 时针旋转60，使AB与AD重合，从而容易证明ACF是等边 三角形，故ACCF，所以ACBCCD. 在此基础上，同学们作了进一步的研究：,(1)小颖提出：如图，如果把“ACBACDABDA
2、DB60”改为“ACBACDABDADB45”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明,图441,(2)小华提出：如图，如果把“ACBACDABDADB60”改为“ACBACDABDADB”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明 【解析】 (1)如答图，延长CB到E，使BECD，连结AE，构造ADCABE，从而得到AEAC，进而得出结论； (2)延长CD到E，使DEBC，连结AE，构造ABCADE，从而得到AEAC，E，作AFEC，则CFACcos，从而得到结论,
3、证明：方法一：如答图，延长CB到E，使BECD，连结AE. ACBACDABDADB45， BAD90，BCD90，ADAB， ABCADC180， 又ABEABC180， ADCABE，ADCABE， ACAE，CADEAB， EACBAD90，,例1答图 方法二，如答图，将ABC绕着点A逆时针旋转90至ADF的位置，使AB与AD重合，易得C，D，F三点共线，之后与方法一相同，证明略 (2)BCCD2ACcos. 理由：如答图，延长CD至E，使DEBC，连结AE. ABDADB，,ABAD，BAD180ABDADB1802， ACBACD，ACBACD2， BADBCD180，ABCADC1
4、80， ADCADE180，ABCADE，ABCADE(SAS)，ACBAED，ACAE， AEC，过点A作AFCE于F，CE2CF， 在RtACF中，ACD，CFACcosACDACcos， CE2CF2ACcos， CECDDECDBC，BCCD2ACcos.,12017岳阳问题背景：已知EDF的顶点D在ABC的边AB上(不与A，B重合)DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N.记ADM的面积为S1，BND的面积为S2.,图442(1)初步尝试：如图442，当ABC是等边三角形，AB6，EDFA，且DEBC，AD2时，则S1S2_； (2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿A
5、B平移，使AD4，再将EDF绕点D旋转至如图所示位置，求S1S2的值；,12,(3)延伸拓展：当ABC为等腰三角形时，设BAEDF. ()如图，当点D在线段AB上运动时，设ADa，BDb，求S1S2的表达式(用a，b和的三角函数表示) ()如图，当点D在BA的延长线上运动时，设ADa，BDb，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程 解： (2)如答图，过M，N分别作MGAB，NHAB，垂足为G，H. ADMMDNNDB180， ADMADMA180，EDFA， NDBDMA，又AB，,变 式跟进1答图 变式跟进1答图,22016成都如图443，在ABC中，ABC45，AHBC于点H，点D在
6、AH上，且DHCH，连结BD.(1)求证：BDAC； (2)将BHD绕点H旋转，得到EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连结AE.,图443,()如图，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC4，tanC3，求AE的长； ()如图，当EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到时，设射线CF与AE相交于点G，连结GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由 【解析】 (1)先判断AHBH，再判断出BHDAHC即可； (2)()如答图，先根据tanC3，求出AH3，CH1，然后根据EHAFHC，得到HP3AP，AE2AP，最后用勾股定理求出即可；,3xx4， x1，AH3，CH1， 由旋转知，EHFBHDAHC90，EHAH3，CHDHFH1， EHAAHFFHCAHF， EHAFHC，,变式跟进2答图,()由()可知，AEH和FHC都为等腰三角形，且AHEFHC，其中BHE30，,
