1、第三章勾股定理单元测试一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是（ ）A.3 B.2+2 C.10 D.42.如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S 2 ， 则 S1+S2 的值为（ ）A.16 B.17 C.18 D.193.如图，在长、宽都为 3cm，高为 8cm 的长方体纸盒的 A 处有一粒米粒，一只蚂蚁在 B 处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（ ）A.（32+8 ）cm B.10cm C.82cm D.无法
2、确定4.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物 3m，顶端离地面 4m，则梯子的长度为（ ） A.2m B.3m C.4m D.5m5.若直角三角形的两边长分别为 a，b，且满足 a2-6a+9+|b4|=0，则该直角三角形的第三边长为（ ） A.5 B.7 C.4 D.5 或 76.如图，一架 2.5 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端下滑 0.4 米，则梯足将向外移（ ）A.0.6 米 B.0.7 米 C.0.8 米 D.0.9 米7.一直角三角形两边分别为 3 和 5，则第三边为（ ） A、4 B、 C、4
3、 或 D、28.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖 8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10 分钟之后两只小鼹鼠相距（ ） A.100cm B.50cm C.140cm D.80cm9.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ） A、3cm 2 B、4cm 2 C、 5cm2 D、6cm 210.如图，已知在 RtABC 中，ACB=90，AB=4，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1、S 2 ， 则 S1+S2 等于_ 二、填空题（共 8 题；共 24 分）11.若一直角三角形的两边长为 4、5，则第三边的长为_ 12.一根旗杆在离底部 4.5 米
4、的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则旗杆折断前高为_ 13.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为 64 厘米 2 ， 则 x 的长为_厘米 14.一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 2，则三角形的周长为_ 15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“ 弦图”，后人称其为“赵爽弦图” （如图（1）图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、正方形EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S 2、S 3 若正方形 EFGH 的边长为 2，则 S1+S2+S3=_ 16.已知在三角形 ABC 中，C=90，AC=15
5、，BC=20，则 AB 的长等于_ 17.如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 8，正方形 A 的面积是 10，B 的面积是 11，C 的面积是 13，则 D 的面积之为_ 18.如图，RtABC 中，分别以它的三边为边长向外作三个正方形S 1 ， S2 ， S3 分别为三个正方形的面积，若 S1=36，S 2=64，则 S3=_ 三、解答题（共 5 题；共 35 分）19.如图，圆柱形容器高 12cm，底面周长 24cm，在杯口点 B 处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的 A 处，（1 ）求蚂蚁从 A 到 B 处吃到蜂蜜最短距离；（2 ）
6、若蚂蚁刚出发时发现 B 处的蜂蜜正以每秒钟 1cm 沿杯内壁下滑，4 秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？20.如图，圆柱形容器高 12cm，底面周长 24cm，在杯口点 B 处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的 A 处，（1 ）求蚂蚁从 A 到 B 处吃到蜂蜜最短距离；（2 ）若蚂蚁刚出发时发现 B 处的蜂蜜正以每秒钟 1cm 沿杯内壁下滑，4 秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？21.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过 C 点作直线 AB 的垂线
7、L，过点 B 作一直线（在山的旁边经过），与 L 相交于 D 点，经测量ABD=135，BD=800 米，求直线 L 上距离 D 点多远的 C 处开挖？（结果保留根号） 22.如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90 ，A=60，BC=2，CD=1 ，求 AD 的长 23.如图，ABC 中，CDAB 于 D，若 AD=2BD，AC=6，BC=4，求 BD 的长 四、综合题（共 1 题；共 10 分）24.一架梯子 AB 长 25 米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端 B 离墙 7 米 (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子底部在水平方向滑动了 4 米吗？
8、为什么？ 答案解析一、单选题1、 【 答案】C 【考点】平面展开-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图，AB= 故选 C【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可 2、 【 答案】B 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图，设正方形 S1 的边长为 x，ABC 和CDE 都为等腰直角三角形，AB=BC，DE=DC ，ABC= D=90，sinCAB=sin45=BCAC=22 ， 即 AC=2BC，同理可得：BC=CE=2CD，AC=2BC=2CD ，又AD=AC+CD=6，CD=63=2，EC 2=22+22 ， 即 EC=22；S 1 的面积为 EC2
9、=2222=8；MAO=MOA=45，AM=MO，MO=MN，AM=MN，M 为 AN 的中点，S 2 的边长为 3，S 2 的面积为 33=9，S 1+S2=8+9=17故选 B【分析】由图可得，S 2 的边长为 3，由 AC=2BC，BC=CE=2CD，可得 AC=2CD，CD=2，EC=22；然后，分别算出 S1、S 2 的面积，即可解答 3、 【 答案】B 【考点】平面展开-最短路径问题 【解析】【解答】解：将点 A 和点 B 所在的两个面展开，矩形的长和宽分别为 6cm 和 8cm，故矩形对角线长 AB=62+82=10cm；矩形的长和宽分别为 3cm 和 11，故矩形对角线长 AB
10、=32+112=130cm即蚂蚁所行的最短路线长是 10cm故选 B【分析】根据”两点之间线段最短”，将点 A 和点 B 所在的两个面进行展开，展开为矩形，则 AB 为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为 AB 4、 【 答案】D 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：根据题意，画出图形，AB=4m，BC=3m，AC 为梯子的长度，可知BAC 为 Rt，有 AC=AB2+BC2=42+32=5（m ）故选：D【分析】如下图所示，AB=4m，BC 为梯子底端到建筑物的距离，有 BC=3m，AC 为梯子的长度，可知ABC 为 Rt，利用勾股定理即可得出 AC 的长度 5、 【 答案】D 【考
11、点】勾股定理 【解析】【解答】解：a2-6a+9+|b4|=0 ，a 26a+9=0 ，b 4=0 ，a=3 ，b=4 ，直角三角形的第三边长=42+32=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7 ， 直角三角形的第三边长为 5 或 7 ， 故选 D【分析】根据非负数的性质列出方程求出 a、b 的值，根据勾股定理即可得到结论 6、 【 答案】C 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：在直角三角形 ABC 中，首先根据勾股定理求得 AC=2.4，则 AC=2.40.4=2，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理求得 BC=1.5，所以 BB=1.50.7=0.8，故选 C【分析】在本题中
12、，运用两次勾股定理，即分别求出 AC 和 BC，求二者之差即可解答 7、 【 答案】C 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：当 5 是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是 4； 当 5 是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 = 故选 C【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论 8、 【 答案】A 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：两只鼹鼠 10 分钟所走的路程分别为 80cm，60cm， 正北方向和正东方向构成直角，由勾股定理得 602+802 =100，其距离为 100cm故选 A【分析】由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其 10 分钟内走路程分
13、别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离 9、 【 答案】C 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：由勾股定理得： =5（cm）， 阴影部分的面积=51=5（cm 2）；故选：C【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果 10、 【答案 】2 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：S 1= （ ） 2= AC2 ， S2= BC2 ， 所以 S1+S2= （AC 2+BC2）= AB2=2故答案为：2【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知 S1+S2 等于以斜边为直径的半圆面积 二、填空题11、 【答案 】 和 3【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：
14、当 4 和 5 都是直角边时，则第三边是 = ；当 5 是斜边时，则第三边是 3故答案为： 和 3【分析】考虑两种情况：4 和 5 都是直角边或 5 是斜边根据勾股定理进行求解 12、 【答案 】12 米 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示，AC=6 米，BC=4.5 米，由勾股定理得， AB= 4.52+62 =7.5（米） 故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）故答案是：12 米【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形，其直角边分别是 4.5 米和 6 米利用勾股定理解题即可 13、 【答案 】17 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：正方形的面积为 64 厘米 2
15、 ， 正方形的边长为 8 厘米，x= 152+82 =17（厘米），故答案为：17【分析】首先计算出正方形的边长，再利用勾股定理计算出 x 即可 14、 【答案 】5+ 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：根据勾股定理可知：斜边= = ， 三角形周长=3+2+ =5+ 故答案是：5+ 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，继而即可求出三角形的周长 15、 【答案 】12 【考点】勾股定理的证明 【解析】【解答】解：八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形， CG=KG，CF=DG=KF ，S 1=（ CG+DG） 2=CG2+DG2+2CGDG=GF2+2CG
16、DG，S2=GF2 ， S3=（KFNF） 2=KF2+NF22KFNF，S 1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+KF2+NF22KFNF=3GF 2=12，故答案是：12【分析】根据八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，得出 CG=KG，CF=DG=KF，再根据 S1=（CG+DG） 2 ， S2=GF2 ， S3=（KFNF） 2 ， S1+S2+S3=12 得出 3GF2=12 16、 【答案 】25 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图，ABC 中，C=90，AC=15，BC=20 ， AB= = =25故答案为：25【分析】根据题意画出图形
17、，再由勾股定理求解即可 17、 【答案 】30 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图记图中三个正方形分别为 P、Q、M 根据勾股定理得到：C 与 D 的面积的和是 P 的面积； A 与 B 的面积的和是 Q 的面积；而 P，Q 的面积的和是 M 的面积即 A、B、C、D 的面积之和为 M 的面积M 的面积是 82=64，A、B、C、D 的面积之和为 64，是正方形 D 的面积为 x，10+11+13+x=64，x=30故答案为：30【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积 64，由此即可解决问题 18、 【答案 】100 【考点】勾股定
18、理 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，AC 2+BC2=AB2 ， 又由正方形面积公式得 S1=AC2 ， S2=BC2 ， S3=AB2 ， S 3=S1+S2=100故答案为：100【分析】由正方形的面积公式可知 S1=AC2 ， S2=BC2 ， S3=AB2 ， 在 RtABC 中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2 ， 即 S1+S2=S3 ， 由此可求 S3 三、解答题19、 【答案 】解：（1）如图所示，圆柱形玻璃容器，高 12cm，底面周长为 24cm，AD=12cm，AB=AD2+BD2=122+122=122（cm）答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是 122cm；
19、（2 ） AD=12cm，蚂蚁所走的路程=122+12+42=20，蚂蚁的平均速度=204=5（米/ 秒）【考点】平面展开-最短路径问题 【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2 ）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论 20、 【答案 】解：（1 ）如图所示，圆柱形玻璃容器，高 12cm，底面周长为 24cm，AD=12cm，AB= AD2+BD2=122+122=122（cm）答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是 122cm；（2 ） AD=12cm，蚂蚁所走的路程= 122+12+42=20，蚂蚁的平均速度=204=5（米/ 秒）【考点】平面展开-最
20、短路径问题 【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2 ）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论 21、 【答案 】解：CD AC， ACD=90，ABD=135，DBC=45，D=45，CB=CD，在 Rt DCB 中：CD 2+BC2=BD2 ， 2CD2=8002 ， CD=400 （米），答：直线 L 上距离 D 点 400 米的 C 处开挖 【考点】勾股定理的应用 【解析】【分析】首先证明BCD 是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得 CD2+BC2=BD2 ， 然后再代入 BD=800 米进行计算即可 22、 【答案 】解：分别延长 AD、DC 交于
21、点 E， 在 RtABE 中，A=60，E=30，在 Rt CBE 中，E=30，BC=2，EC=4，DE=4+1=5，在 Rt ABE 中，E=30，AE=2AD，AE2=AD2+DE2 ， 4AD2=AD2+52 ， 解得：AD= 【考点】勾股定理 【解析】【分析】延长 AD，DC 交于点 E，可得直角三角形 ABE，易得 CE 长，在 RtCBE 中，利用 30的三角函数可得 EC，DE 的长，进而利用勾股定理可得 AD 长 23、 【答案 】解：设 BD=x，则 AD=2x， 在 RtACD 中，由勾股定理得，AC 2AD 2=CD2 ， 在 Rt BCD 中，BC 2BD 2=CD2 ， AC 2AD 2=BC2BD 2 ， 即 62（2x） 2=42x 2 ， 解得，x= ，则 BD= 【考点】勾股定理 【解析】【分析】设 BD=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可 四、综合题24、 【答案 】（1 ）解：由题意，得 AB2=AC2+BC2 ， 得 AC= = =24（米）（2 ）解：由 AB2=AC2+CB2 ， 得 BC= = = =15（米）BB=BCBC=157=8（米）答：梯子底部在水平方向不是滑动了 4 米，而是 8 米 【考点】勾股定理的应用 【解析】【分析】应用勾股定理求出 AC 的高度，以及 BC 的距离即可解答
