1、第 4 讲 直线与圆的综合求解策略例 5 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx 26x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 xy a0 交于 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值审题破题 (1)求出圆上三点，根据三点坐标灵活设出圆的方程； (2)将直线和圆的方程联立，根据根与系数的关系，转化已知条件求出 a 的值解 (1)曲线 yx 26x 1 与 y 轴的交点为(0,1) ，与 x 轴的交点为(3 2 ，0)，(32 ，0)2 2故可设圆 C 的圆心为(3，t)，则有 32(t1) 2(2 )2t 2，2解得 t1.则圆 C 的半径为 3.3
2、2 t 12所以圆 C 的方程为(x3) 2( y1) 29.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：Error!消去 y，得到方程 2x2(2a8)xa 22a10.由已知可得，判别式 5616a4a 20.设 x1，x 2是方程的两根，从而 x1x 24a，x 1x2 .a2 2a 12由于 OAOB ，可得 x1x2y 1y20，又 y1x 1a，y 2x 2a，所以 2x1x2a(x 1x 2)a 20.由得 a1，满足 0，故 a1.构建答题模板第一步：求出曲线与坐标轴的交点坐标两条坐标轴 ；第二步：求出圆心和半径并且写出圆的方程；第三步：将直线和圆的方
3、程联立；第四步：求出联立后方程的判别式以及根与系数的关系；第五步：根据垂直的等价条件数量积为零求出字母 a 的值.对点训练 5 已知点 P(2,2)，圆 C：x 2y 28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积解 (1)圆 C 的方程可化为 x2(y4) 216，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4.设 M(x，y)，则 (x，y 4)， (2x,2y)CM MP 由题设知 0，CM MP 故 x(2 x)(y4)(2 y )0，即(x1) 2(y 3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x 1) 2(y3) 22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 为半径的圆2由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 ，13故 l 的方程为 y x .13 83又|OM| | OP|2 ，2O 到 l 的距离为 ，4105|PM| ，4105所以POM 的面积为 .165
