1、第 2 讲 常考的数列综合问题数列通项公式的求解问题例 2 设数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 2Sna n1 2 n 11，nN *，且 a1，a 25，a 3 成等差数列(1)求 a1 的值；(2)求数列a n的通项公式审题破题 (1)可令 n1，n2 得关系式联立求 a1；(2)由已知可得 n2 时，2Sn1 a n2 n1，两式相减解 (1)当 n1 时，2a 1a 241a 23，当 n2 时，2(a 1a 2)a 381a 37，又 a1，a 25，a 3成等差数列，所以 a1a 32(a 25)，由解得 a11.(2)2S na n1 2 n1 1，当 n2 时，有 2Sn
2、1 a n2 n1，两式相减得 an1 3a n2 n，则 1，an 12n 32 an2n 1即 2 .an 12n 32( an2n 1 2)又 23，知 是首项为 3，公比为 的等比数列，a120 an2n 1 2 32 23 n1 ，an2n 1 (32)即 an3 n2 n，n1 时也适合此式，a n3 n2 n.构建答题模板第一步：令 n1，n2 得出 a1，a 2，a 3 的两个方程，和已知 a1，a 2，a 3 的关系联立求 a1；第二步：令 n2 得关系式后，利用作差得 an1 ，a n的关系；第三步：构造等比数列 ，并求出通项；an2n 1 2第四步：求出数列a n的通项对
3、点训练 2 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn2a n(1) n(nN *)(1)求数列a n的前三项 a1，a 2，a 3；(2)求证：数列 为等比数列，并求出 an的通项公式an 23 1n(1)解 在 Sn2a n(1) n，n1 中分别令 n1,2,3，得Error!解得Error!(2)证明 由 Sn2a n(1) n，n1，得 Sn1 2a n1 (1) n1 ，n2.两式相减得 an2a n1 2( 1)n，n2.an2a n1 (1) n (1) n43 232a n1 (1) n1 (1) n，43 23a n (1) n2 (n2) 23 an 1 23 1n
4、 1故数列 是以 a1 为首项，公比为 2 的等比数列所以 an (1)an 23 1n 23 13 23n 2n1 ，13a n 2n1 (1) n.13 23数列求和问题例 3 已知数列a n的前 n 项和 Sn n2kn(其中 kN *)，且 Sn的最大值为 8.12(1)确定常数 k，并求 an；(2)求数列 的前 n 项和 Tn.9 2an2n 审题破题 (1)由 Sn的最大值，可据二次函数性质求 k，因而确定 an；(2) 利用错位相减法求和解 (1)当 nkN *时，S n n2kn 取最大值，12即 8S k k2k 2 k2，故 k216，因此 k4，12 12从而 anS
5、nS n1 n(n 2)92又 a1S 1 ，所以 an n.72 92(2)设 bn ，9 2an2n n2n 1Tnb 1b 2b n1 ，22 322 n 12n 2 n2n 1所以 Tn2T nT n21 12 12n 2 n2n 14 4 .12n 2 n2n 1 n 22n 1构建答题模板第一步：利用条件求数列b n的通项公式；第二步：写出 Tnb 1b 2b n的表达式；第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.例如：公式法、裂项法，本题用错位相减法；第四步：明确规范表述结论；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求 an时，易忽视对n1，n2 时的讨论.对
6、点训练 3 已知点 是函数 f(x)a x (a0，且 a1)的图象上的一点等比数列a n的前 n(1，13)项和为 f(n)c.数列b n (bn0)的首项为 c，且前 n 项和 Sn满足 SnS n1 Sn Sn 1(n2)(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)若数列 的前 n 项和为 Tn，问满足 Tn 的最小正整数 n 是多少？1bnbn 1 10012012解 (1)f(1)a ，f(x ) x.13 (13)由题意知，a 1f(1)c c ，13a2f(2)cf(1) c ，29a3f(3)cf(2) c .227又数列a n是等比数列，a 1 c，a2a3481 227 2
7、3 13c1.又公比 q ，a2a1 13a n n1 2 n (nN *)23(13) (13)S nS n1 ( )( )Sn Sn 1 Sn Sn 1 (n2)Sn Sn 1又 bn0， 0， 1.Sn Sn Sn 1数列 构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列，Sn 1(n1)1n，即 Snn 2.Sn当 n2 时，b nS nS n1 n 2(n1) 22n1，当 n1 时，b 11 也适合此通项公式b n2n1 (nN *)(2)Tn 1b1b2 1b2b3 1b3b4 1bnbn 1 113 135 157 12n 12n 1 .12 (1 13) 12 (13 15) 12 (15 17) 12 ( 12n 1 12n 1) 12 (1 12n 1) n2n 1由 Tn ，得 n ，n2n 110012012 100110满足 Tn 的最小正整数 n 的值为 101.10012012
