1、“空间位置关系”双基过关检测一、选择题1在下列命题中，不是公理的是( )A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选 A 选项 A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的2在正方体 AC1 中，E，F 分别是线段 BC，CD 1 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是( )A相交 B异面C平行 D垂直解析：选 A 如图所示，直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为A1BCD1，EF平面 A1B
2、CD1，且两直线不平行，故两直线相交3(2015北京高考)设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m ， “m ”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而 m/ ；当 时， 内任一直线与 平行，因为 m，所以 m.综上知， “m ”是“ ”的必要而不充分条件4(2016南昌一模)已知 a，b，c 是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列命题中正确的是( )Aa 与 b 异面，b 与 c 异面a 与 c 异面Ba 与 b 相交，b 与 c 相交a 与 c 相交C ， Da，b
3、， 与 相交a 与 b 相交解析：选 C 如图(1) ，在正方体中， a，b，c 是三条棱所在直线，满足 a 与 b 异面，b 与 c 异面，但 ac A，故 A 错误；在图(2)的正方体中，满足 a 与 b 相交，b 与 c 相交，但 a 与 c 不相交，故 B 错误；如图(3) ， c，ac，则 a 与 b 不相交，故 D 错误5.如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为 O，M 为 PB 的中点，给出下列五个结论：PD平面AMC； OM平面 PCD； OM平面 PDA；OM平面PBA； OM 平面 PBC.其中正确的个数有( )A1 B2C3 D4解析：选 C 矩
4、形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 BD 的中点在PBD 中，M 是 PB 的中点，所以 OM 是 PBD 的中位线， OMPD，则 PD平面AMC， OM平面 PCD，且 OM平面 PDA.因为 MPB，所以 OM 与平面 PBA、平面 PBC相交6(2017长春模拟)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD所成角的余弦值为( )A. B.16 36C. D.13 33解析：选 B 画出正四面体 ABCD 的直观图，如图所示设其棱长为 2，取 AD 的中点 F，连接 EF，CF，设 EF 的中点为 O，连接 CO，则 EFBD
5、，则 FEC 就是异面直线 CE 与 BD 所成的角， ABC 为等边三角形，则 CEAB，易得 CE ，同理可得 CF ，故 CECF .因3 3为 OE OF，所以 COEF.又 EO EF BD ，所以 cosFEC 12 14 12 EOCE .123 367(2016余姚模拟)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD 1 的中点，则下列说法错误的是( )AMN 与 CC1 垂直BMN 与 AC 垂直CMN 与 BD 平行DMN 与 A1B1 平行解析：选 D 如图，连接 C1D，在C 1DB 中，MNBD，故 C 正确；CC 1平面 ABCD，BD平
6、面ABCD， CC1BD， MN 与 CC1 垂直，故 A 正确； ACBD，MNBD，MN 与 AC 垂直，故 B 正确，故选 D.8(2017福州质检)在三棱柱 ABCA1B1C 1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC 1 的中点，则在空间中与直线 A1B1，EF，BC 都相交的直线( )A不存在 B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条解析：选 D 在 EF 上任意取一点 M，直线 A1B1 与 M 确定一个平面，这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N，当 M 的位置不同时确定不同的平面，从而与 BC 有不同的交点 N，而直线 MN 与A1B1，EF，BC 分别有交点 P，M，N，如
7、图，故有无数条直线与直线 A1B，EF，BC 都相交二、填空题9如图所示，平面 ， 两两相交，a，b，c 为三条交线，且 ab，则 a 与 b，c的位置关系是_解析：ab，a，b ，b .又 b ， c， bc.abc.答案：abc10(2016天津六校联考)设 a，b 为不重合的两条直线， 为不重合的两个平面，给出下列命题：若 a 且 b，则 ab；若 a 且 a，则 ；若 ，则一定存在平面 ，使得 ， ；若 ，则一定存在直线 l，使得 l，l .上面命题中，所有真命题的序号是_解析：中 a 与 b 也可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在 ，使得 与 ， 都垂直中只
8、需直线 l 且 l 就可以答案：11(2015浙江高考)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，AD BC2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_解析：如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK .M 为 AD 的中点，MK AN，KMC 为异面直线 AN，CM 所成的角ABACBDCD 3，AD BC2，N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 ANDNCM2 ， MK .2 2在 Rt CKN 中，CK . 22 12 3在CKM 中，由余弦定理，得cosKMC . 22 222 322222 78答案：7812
9、.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接 AC，BD，则 ACBD，PA底面 ABCD，PABD.又 PAACA，BD平面 PAC，BDPC.当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD.而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.答案：DMPC(或 BMPC)三、解答题13.如图所示，在三棱锥 P ABC 中，PA底面 ABC，D 是 PC 的中点已知BAC ， AB 2，AC2 ，PA 2.求：2 3(1)三棱锥 P AB
10、C 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解：(1)S ABC 22 2 ，12 3 3故三棱锥 P ABC 的体积为V SABCPA 2 2 .13 13 3 433(2)如图所示，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 DEBC，所以ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角在ADE 中，DE2，AE ，AD2，2则 cosADE .DE 2 AD 2 AE22DEAD 22 22 2222 34即异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .3414如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD ，AB4，BC CD
11、2，AA 12，E，E 1，F 分别是棱 AD，AA 1，AB 的中点(1)证明：直线 EE1平面 FCC1；(2)证明：平面 D1AC平面 BB1C1C.证明：(1)F 是 AB 的中点，AB CD，AB 4，BCCD2，AF 綊 CD，四边形 AFCD 为平行四边形，CFAD.又 ABCDA1B1C1D1 为直四棱柱，C1C D1D.而 FCC 1CC，D 1DDAD ，平面 ADD1A1平面 FCC1.EE1 平面 ADD1A1，EE1平面 FCC1.(2)在直四棱柱中，CC 1平面 ABCD，AC平面 ABCD，CC1AC，底面 ABCD 为等腰梯形，AB4，BC2，F 是棱 AB 的中点，CFADBF2，BCF 为正三角形， BCFCFB60，FCAFAC30，ACBC.又 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C，AC平面 BB1C1C，而 AC平面 D1AC，平面 D1AC平面 BB1C1C.
