1、【备战 2017 高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】专题 立体几何一、选择题1 【2017 安徽马鞍山二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 2563263m【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是以俯视图为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥，如图，由勾股定理可得 由正弦定理可得底面外接圆直径 设球半径为 ，则由勾股定理得2,CD24,sin30rR，该几何体的外接球的表面积43RABr为 故选 C.3,2 【2017 安徽马鞍山二模】将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 的二面角，则折后的直线 BD 与平120面 ABC 所成角的正弦
2、值为（ ）A. B. C. D. 12323m【答案】A【解析】3 【2017 重庆二诊】已知棱长为 的正方体 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线31ABCD为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）1ACA. B. C. D. 92892432【答案】D【解析】如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过 点的三个面相切，A且切点分别在线段 上，设线段 上的切点为 ， 面 ，圆柱上底11,ABCD1BE1C2ABDO面的圆心为 ，半径即为 记为，则 ， ，1O1E2362OF213C由 知 ，则圆柱的高为 ，12/EF11A1Ar.应选答案 D。23329423448rSrr 侧4 【2017 湖南娄
3、底二模】在体积为 的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜V边都是 的等腰直角三角形，则 的最小值是（ ）2A. B. C. D. 432312【答案】B点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据5 【2017 河北唐山二模】正方体 棱长为 6， 点在棱 上，且 ，1ABCDOBC2OC过 点的直线与直线 ， 分别交于 ， 两点，则 （ ）O11MNA. B. C. D. 319542【答案】D【解析
4、】根据题意作图，由图可知： ， ， ， 113CFNAD1C13FN，21113AFB故 ， ，故选 D. 7EN13EMN21点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，空间想象能力以及线面平行的判定及性质定理，准确画出图形是解决本题的关键，难度一般；由三角形相似可得 ，由勾股定理可得13NC，再次利用三角形相似 ，从而可得结果.1,NFA13EFAN6 【2017 河北唐山二模】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 242432424【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体是以 2 为边长正方体从右下前方挖去 个球，该球以顶点为球心，182 为半径
5、，则该几何体的表面积为 ，故选 A.22163447 【2017 安徽淮北二模】某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为 1 的正方形，则该几何体中最长的棱长是（ ）A. B. C. D. 3567【答案】A【解析】几何体为一个三棱锥 ABCD，其中，因此最长的棱长是 ，选 A.1,3,2,2,5ABCDACBD， 5点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据8 【2017 江西 4 月质检】如图，直三棱柱
6、 中， ， ， 1ABC12A1BC，外接球的球心为 ，点 是侧棱 上的一个动点.有下列判断：90ABCOE直线 与直线 是异面直线； 一定不垂直 ；三棱锥 的体积为定值；1E111EO 的最小值为 .12其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C9 【2017 江西 4 月质检】一个三棱锥的三视图如图（图中小正方形的边长为 1） ，若这个三角棱锥的顶点都在同一个球的球面上，则这个球的表面积是（ ）A. B. C. D. 16324864【答案】B【解析】由三视图可知，三棱锥的底面是一斜边为的等腰直角三角形，且过直角顶点的侧棱垂直底面，该侧棱长为，可以把该棱锥补成一
7、个底面边长为 ，侧棱长为的正四棱柱，外接球的直径为2，所以表面积为 ，故选 B.学。816423210 【2017 福建 4 月质检】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）A. B. C. D. 724925【答案】D【解析】根据三视图可得该几何体由一个圆柱和一个半球组成，故该几何体表面积为： 1+24=5点睛：将三视图还原为立体图形便可很容易解决，要注意面积公式的准确性11 【2017 四川宜宾二诊】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D. 1051820【答案】B【解析】 由题意得，在俯视图中（如图所示）
8、，过点 作 ，则 ,CEAD2C且 ,1,3,ABED所以俯视图的面积为 ，115232S所以构成四棱锥的体积为 ，故选 B.6Vh12 【2017 四川宜宾二诊】三棱锥 内接于半径为的球 ， 过球心 ，当三棱锥ABCDOBC体积取得最大值时，三棱锥 的表面积为ABCDA. B. C. D. 643823463843【答案】D二、填空题13 【2017 安徽淮北二模】中国古代数学经典 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底九 章 算 术面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi no） 若三棱锥为鳖臑,且 平面 , 又该鳖臑的外接球的表面积为 ，则该鳖PABCPABC
9、2,PA24臑的体积为_【答案】 83【解析】由题意得 ,所以由 得246R222PABCR,因此鳖臑的体积为244,BC， 1824.33，14 【2017 福建 4 月质检】在三棱锥 中， 是边长为 3 的等边三角形， SABC，二面角 的大小为 120，则此三棱锥的外接球的表面积为3,SA_【答案】 21点睛：画出草图分析几何关系即可得出结论15 【2017 福建 4 月质检】用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是_【答案】6【解析】设正三棱柱的底边长为，高为 y,则 ，由基本不等式可得6312xy故三棱柱的侧面积最大值为 66312632
10、xyxy点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可三、解答题16 【2017 安徽阜阳二模】如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中， 为 的中点， PABCDEP平面 . ,90,ADBCPA,2,23,4BCDPA（1）求证： 平面 ；DEAPB（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.C【答案】 （）见解析;（） .421【解析】试题分析：（）先取 中点 ，利用三角形中位线性质得 ，再根据梯形性BF/FEPB质得 ，即得面面平行，最后根据面面平行定义可得线面平行， （）求线面角，一般利用/DFAB空间向量数量积进行求解，先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利
11、用方程组解平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与平面法向量的夹角，最后根据线面角与向量夹角关系确定所求角.试题解析：（）取 中点 ，连接BCF,.DE是直角梯形， AD四 边 形 /AB又 ， /FEPP平 面 平 面平 面 /E平 面（）建立如图空间直角坐标系，则 0,20,23,40,21ADCE设 是平面 的一个法向量. ,nxyzPCD则 01,3n42sinco,1nAFE17 【2017 广东佛山二模】如图，矩形 中， ， ， 在 边上，且BCD4A2DEC，将 沿 折到 的位置，使得平面 平面 .1DAEAAB（）求证： ；EBD（）求二面角 的余弦值.【答案】 （）见解析;
12、（） .421【解析】试题分析：（I）连接 交 于点 ，根据对应边成比例可证得两个直角三角形BDAEO相似，由此证得 ，而 ，故 平面 ，所以 .,ABDEAEOBDAEB（II）由（I）知 平面 ，以 为原点联立空间直角坐标系，利用平面 和平面OC的方向量，计算两个半平面所成角的余弦值.（）因为平面 平面 ，ADEBC由（）知， 平面 ，O以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示.xyz在 中，易得 ， ， ，RtADE25O4A15OE所以 ， ， ，4,058,0B2,D则 ， ，,AB,5设平面 的法向量 ，则 ，即 ，解得 ，D1,nxyz10nABD48052xyz24xyz令 ，
13、得 ，1y2,4显然平面 的一个法向量为 .ABE20,1n所以 ，所以二面角 的余弦值为 .1212cos,n4DABE42118 【2017 安徽马鞍山二模】已知圆柱 底面半径为 1，高为 ， ABCD 是圆柱的一个轴截面，动1O点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D，其距离最短时在侧面留下的曲线 如图所示将轴截面ABCD 绕着轴 逆时针旋转 后，边 与曲线 相交于点 P(0)1BC()求曲线 长度；()当 时，求点 到平面 APB 的距离；21C()证明：不存在 ，使得二面角 的大小为 (0)DABP4【答案】() () 不存在【解析】试题分析：()在侧面展开图中根据几何性质求解
14、；() 建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 ABP 的一个法向量及向量 ，利用空间向量点到直线距离公式求解；()假设存1OC在满足要求的 ，在空间坐标系中求出法向量，根据空间向量夹角余弦公式，列出关于(0)的方程，看是否有解即可.()试题解析：() 在侧面展开图中为 BD 的长，其中 AB = AD = ， 的长为 ; 2注：本题也可以使用等积法求解 () 假设存在满足要求的 ，(0)在（II）的坐标系中， ，,Psinco，sin,co1,AP设平面 ABP 的法向量为 ，则1,mxyz，11 120yxsincos取 x1 = 1 得 ，in,又平面 ABD 的法向量为 ，1,0k由二
15、面角 的大小为 ，DABP4则 2cos,sin1mksin ， 时，均有 ，与上式矛盾sin(0)0si所以不存在 使得二面角 的大小为 DABP419 【2017 重庆二诊】如图，矩形 中， ， ， 为 的中点，将C22ADMC沿 折到 的位置， DAM M（1）求证：平面 平面 ；DABC（2）若 为 的中点，求二面角 的余弦值EBEAMD【答案】 （）由见解析； （） . 5【解析】 【试题分析】 （）先用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用面面垂直的判定定理推证；（）依据题设建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，再运用空间向量的数量积公式求解：（）由题知，在矩形 中， ， ，又
16、，ABCD45MBC90AMBDABM面 ， 面 面 ； BM A（）由（）知，在平面 内过 作直线 ，则 平面 ，NC故以 为原点， 分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，,ABN,xyz则 ， ， ， ，0,M2,0A,20B1,D于是 ， ， ，1,E,2ME设平面 的法向量为 ，则A,mxyz012xyz令 ，得平面 的一个法向量 ，显然平面 的一个法向量为 ，1yE,DAM 0,1n故 ，即二面角 的余弦值为 . 1cos,5mnEAMD520 【2017 湖南娄底二模】如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面 是边PBCADPAD长为 2 的正三角形， , .B73（）求证：平面
17、平面 ；PADBC（）设 是棱 上的点，当 平面 时，求二面角 的余弦值.QADQABDQ【答案】 （）见解析; （） .23【解析】试题分析：（）要证平面 平面 ，只需证 平面 即可.PCOPC（）分别以 、 、 所在直线为轴、 轴、轴建立空间直角坐标系如图，求平面OABy的一个法向量和平面 的一个法向量求解即可.BDQD（）连结 ，设 ，则 为 的中点，连结 ，当 平面 时， ACBDEACEQPABDQ，所以 是 的中点.PEQP由（）知， 、 、 两两垂直，分别以 、 、 所在直线为轴、 轴、轴建立OOBy空间直角坐标系如图，则 、 、 、 ，0,6B2,60C1,0D,3P由 、 坐
18、标得 ，从而 ， ，PC31,2Q,B6,2Q设 是平面 的一个法向量，则由 得 ，,nxyzBD0nD0632xyz取 ，得 ，易知平面 的一个法向量是 ，16,12AB1,n所以 ，11cos,n3由图可知，二面角 的平面角为钝角，故所求余弦值为 .ABDQ 23点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21 【2017 河北唐山二模】在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， PABCDAB3AB， ， 点在底面 内的射影
19、在线段 上，且 ， 2AD45BC E2PE， 为 的中点， 在线段 上，且 BEFAMCD（）当 时，证明：平面 平面 ；23PFMAB（）当平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 时，求四棱锥 的体PABCD25PABCM积【答案】 （）见解析;（） . 83试题解析：（）证明：连接 ，作 交 于点 ，则四边形 为平行四边形，EC/ANCDNAECN，在 中， ， ， ，由余弦定理得 1CNAEB22B45B2所以 ，从而有 .22E在 中， ， 分别是 ， 的中点，DFMADN则 ， ，/A/C因为 ，所以 .BEB由 平面 ， 平面 ，P得 ，又 ， ，FPEA得 平面 ，又 平面 ，M
20、AFM所以平面 平面 .B（）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴，轴建立如图所示的空间ECy直角坐标系，则 ， ， ， ， ， 1,0A,2P0,3,20D1,02AP.3MCD平面 的一个法向量为 .ABCD0,1m设平面 的法向量为 ，PMnxyz由 ， ，得 令 ，得 .0n02,130y2x,31n由题意可得， ，cos,mn2551解得 ，13所以四棱锥 的体积 . PABCM 833PABCMABCMVSPE梯 形22 【2017 安徽淮北二模】如图，三棱柱 中，四边形 是菱形，1ABC1AB,二面角 为 ， .16（）求证：平面 平面 ;1ACB1（）求二面角 的余
21、弦值.【答案】 （1）见解析（2） 1cos4AEO【解析】试题分析：（1）先由三棱柱性质将线面垂直 转化为 ，11CBA面 1CBA面再由 得线线垂直 ，又由 是菱形得 ,最后根据线面垂1CBA面 1CBA1B1AB直判定定理得线面垂直 , 根据面面垂直判定定理得平面 平面 .（2）1面 C1A求二面角的大小，一般借助空间向量数量积求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系求二面角.（2）由题意得 为正三角形，1AB取 得中点为 D，连 CD,BD,1则 ,又11C易得 ,则 为二面角 的平面角，A
22、B1CAB因 , = ,所以 ,D63所以 112过 交点 作 ,垂足为 ,连,ABO1EACEA则 为二面角 的平面角， EB又 得5,345所以 1cos4AEO另：建系用向量法相应给分。23 【2017 江西 4 月质检】如图，四棱锥 中，侧面 底面 ， ， PABCDPABCD/A， , ， ，点 在棱 上，且 ，ADC326FG2FP点 在棱 上，且 平面 .E/PAEF（1）求证： 平面 ；PEABCD（2）求二面角 的余弦值.F【答案】 （1）详见解析（2） 63【解析】试题分析：连接 交 于点 ，根据三角形相识，可得 ， ，由勾股定ACEBG1EA2D理可得 是直角三角形，进而
23、得 ，再由面面垂直判定定理可得结论；（2）以 ， PDPADEA， 所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量与平面EBy FB的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.（2）因为 ， ，所以 ，有 ，如图，以 ， ， DEBC/BECDAEBAEB所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，Py则 ， ， ，1,0A,302,30，所以 ，2EP所以 ，20,2,133FPC 2,13设平面 的法向量为 ，B,nxyz则 ，203nEF，令 ，则 ，所以 ，0y1z2x2,01n又因为平面 的法向量 ，PB,0EA所以 ，26cos, 31n即所求二面角的余弦值是
24、.24 【2017 福建 4 月质检】如图，三棱柱 中， 1ABC， ， 分别为棱 的中点.01116,4BACAC2AB,PQ1,AC（1）在平面 内过点 作 平面 交 于点 ，并写出作图步骤，但不要求证明./M1CM（2）若侧面 侧面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.11 1【答案】 （1）见解析（2） 391【解析】 （1）如图，在平面 内，过点 作 交 于点 ，连结 ，在ABA1/NBP1NBQ中，作 交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，则 为所求作直线.BQ1/NHQHCMA（2）连结 ， ， 为正三角形.1,PCA01114,6CA1AC 为 的中点， ，又侧面 侧面 ，且面 面
25、 ，11B111B平面 ， 平面 ，1PCAPCA在平面 内过点 作 交 于点 ，1ABP1RABR分别以 的方向为轴， 轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，,RCy Pxyz则 ， .10,20,04,23PC10,23C 为 的中点，点 的坐标为 ，QACQ0,3 .10,23,P ， ， ，016B1,B13,0PB设平面 的法向量为 ，1Q,mxyz由 得 ，10PB30令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 .x,yz1PQB1,3m设直线 与平面 所成角为，1AC1PQB则 ，1139sinco,ACm即直线 与平面 所成角的正弦值为 .1AC1PQB13点睛：考察立体几
26、何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性.25 【2017 四川宜宾二诊】如甲图所示，在矩形 中， ， ， 是 的中ABCD42ADEC点，将 沿 折起到 位置，使平面 平面 ，得到乙图所示的四棱锥ADE1E1E1BC（）求证： 平面 ；1A（）求二面角 的余弦值DE【答案】 （）见解析；（） .3试题解析：（）如下图，取 中点 ，连 ，在 中， ， ，又AEF1D1AE12DE1DFAE平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，1DBCBCBCB即 在 中，易得 ， ， ，B24A，又 ，EA1FAE平面D（）由题意，取 中点 ，以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴正方向建立间直角ABGEEGCxy，坐标系 如图所示，则 ，由（）知： Exyz10,20,2,0CDB是平面 的法向量，设平面 的法向量为 ，则2,0B1Dmxyz，令 ，则 ， ，1,2, 20mCxyzyExz120，设二面角 的平面角为，01AEC则 ，,cosBm2,0,23由图可知，二面角 的平面角为钝角，1ADEC，即：二面角 的余弦值为3cos13
