1、2017 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集 ，则2,10,|1,2,0UAxBUCABA. B. C. D. ,21,022.已知复数 （ 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于ziizA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.已知等差数列 中，其前 项和为 ，若 ，则nanS3452a7SA. 98 B. 49 C. 14 D. 1474.下列命题中正确的是A.若两条直线和同一平面所成角相等，则这两条直线平行B.若一个
2、平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线垂直 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 5.九章算术是我国古代数学经典名著，它在几何学中的研究比西方早 1 千多年.在九章算术中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膳.已知“鳖膳”的三视图如图所示，则该鳖膳的外接球的表面积为A. B. C. D.20501012536.函数 的图象大致是2lnxy7.中国古代算书孙子算经中有一著名的问题“物不知数” ，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著
3、作数书九章中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术.下面的程序框图的算法思路源于“大衍求一术” ，执行该程序框图，若输入的 分别为 ，则,ab20,17输出的 cA. 1 B. 6 C. 7 D. 118.为了调查广告与销售额的关系，某厂商对连续 5 年的广告费和销售额进行了统计，得到统计数据如下表（单位：万元） 。由上表可得回归方程为 ，据此模型，预测10.2yxa广告费为 10 万元时的销售额约为A. B. C. D.1.2108.10.218.29.已知函数 ，若 ，则 的最sin,fxAx03ff小值为A. 2 B. C. 1 D. 31210.设 ，直线 所围成的区域为
4、 M，曲线1,0lnxfe0,1xey与直线 围成的区域为 N,在区域 M 内任取一点 P，则点 P 在区域 N 上的概yfy率为A. B. C. D.23e32e321e1e11.已知 F 为双曲线 的右焦点，过点 F 作 E 的一条渐近线的垂2:10,xyEab线，垂足为 P，线段 PF 与 E 相交于点 Q,记点 Q 到 E 的两条渐近线的距离之积为 ，若2d，则该双曲线的离心率为2dA. B. 2 C. 3 D. 412.以下四个命题： 2eln3ln2其中，正确的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D.4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知平面向
5、量 的夹角为 ，且 ，若 ，则 .,ab120,4abnabn14. 的展开式中，所有二项式系数的和为 512，则展开式中 的系数为 nx 3x.（用数字作答）15. 已知数列 满足 ，na231 212,loglnn nnaaNba A设数列 的前 项和为 ，则 .nbnS1230S16. 设实数 满足约束条件 ，则 的取值范围为 .,xyxy2xy三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分 12 分）已知 分别为 内角 的对边，函数,abcABC,且232sincosfxxx5.fA（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大
6、值 .a18.（本题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ,平面SABCDAB/,ABCD平面 ， 分别为 的中点， 为SCD2,SMNSE的中点，过 作平面 分别与交 于点 ，若,MNPQ,PQ.QtA（1）当 时，求证：平面 平面 ；2SAEN（2）是否存在实数 ，使得二面角 的平面角的余弦值为tPQ？若存在，求出实数 的值，若不存在，说明理由.5t19.（本题满分 12 分）2017 年 3 月 10 日 CBA 半决赛开打，采用 7 局 4 胜制（若某队取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格） ，采用 2-3-2 的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于
7、新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场） 。以下是总决赛赛程：（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率为 ，客场取胜的概率均为 ，求辽宁队2313以比分 4:1 获胜的概率；（2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入 50 万元（与主客场无关） ，若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为 ，设本次半决赛中（只考虑这两支队）12组织者所获得的门票收入为 X,求 X 的分布列及数学期望 .20.（本题满分 12 分）已知椭圆 左、右焦点分别 是椭圆的右顶点，过2:10xyCab12,0FA且垂直于 轴的直线交椭圆于两点，且2F3PQ（1）
8、求椭圆的方程；（2）若直线 与椭圆交于两点 M,N， （M,N 不同于点 A） ，若 ，l 0,MNT求证：直线 过定点，并求出定点的坐标；求直线 AT 的斜率的取值范围.21.（本题满分 12 分）已知函数 21.xfxae（1）当 时，求 在点 处的切线方程；ef,f（2）讨论 的单调性；fx（3）当 时， 是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围 .12aefx请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分 10 分）选修 4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点 O 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标xoyx系，
9、曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程为1C2cosin2Ccos2in40.（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；12C（2）设 P 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.QPQ23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 的最大值为 .12fxxm（1）作出函数 的图象；（2）若 ，求 的最大值.22abcm2abc2017 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学试题(理科)参考答案及评分标准一.选择题:每小题 5 分,总计 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B A C B D C A B A
10、B D二.填空题:每小题 5 分,总计 20 分.13. 1 14.12615. Error! 16.-,0三.解答题:17. (本小题满分 12 分) (1)由题意可得：，即 ， .6分(2)由余弦定理可得：故 面积的最大值是 12 分18.(本小题满分 12 分)(1)E 为 CD 中点，所以四边形 ABCE 为矩形，所以 AE CD当 t= 时，Q 为 AD 中点， 所以 PQ AE因为平面 SCD平面 ABCD，SECD，所以 SE面 ABCD因为 PQ ，所以 PQSE 所以 PQ面 SAE所以面 MNPQ面 SAE.6分（2）如图，以 E 为原点，ED,EA,ES 直线分别为 x
11、轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系；设 ED=a,则 E(0,0,0),A(0 ,0),Q ,，面 ABCD 一个方向向量为 （1,0,0）设平面 MPQ 的法向量为Error!=(x,y,z),则由Error! ,Error! 得：,x=0令 z=2Error!= .9分显然平面 ABCD 的法向量为Error!=（0，0，1）由题意：cos=Error!Error! Error!Error!Error!=所以 t= .11分由图形知，当 t=Error!时，二面角 M-PQ-A 为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=Error!.12 分19 （本题满分 12 分）(1)设“辽宁队以 比
12、分 4： 1 获 胜 ”为 事 件 A， “第 i 场 比 赛 取 胜 ”记 作 事 件 Ai,由赛 程 表 可 知 ：P（ A1） =P（ A2） = ,P(A3)= P(A4)= P(A5)=则 P(A)=P(Error!A2A3A4A5)+ P(A1Error!A3A4A5)+ P(A1A2Error!A4A5)+ P(A1A2A3Error!A5)=+ + + 6 分（2）X 的所有可能取值为 200,250,300,350设“辽宁队以 4：0 取胜”为事件 A4， “四川队以 4：0 取胜”为事件 B4；“辽宁队以 4：1 取胜”为事件 A5， “四川队以 4：1 取胜”为事件 B5
13、；“辽宁队以 4：2 取胜”为事件 A6， “四川队以 4：2 取胜”为事件 B6；“辽宁队以 4：3 取胜”为事件 A7， “四川队以 4：3 取胜”为事件 B7；则P（X=4）=P（A 4）+P（B 4）=2 (Error!)4=Error!P（X=5）=P（A 5）+P（B 5）=2 Error!Error!(Error!)4=Error!P（X=6）=P（A 6）+P（B 6）=2 Error!(Error!)2(Error!)4=Error!P（X=7）=P（A 7）+P（B 7）=2 Error!(Error!)3(Error!)4=Error!X 的分布列为：X 200 250
14、300 350P Error! Error! Error! Error!EX=2 00Error!+250Error!+300Error!+350Error!=290.62512 分20 （本题满分 12 分）（1）令 ， ，又 ，。4 分（2）当直线 MN 斜率不存在时，设 ，与椭圆方程 联立得：设直线 MN 与 x 轴交于点 B， 即过定点当直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 斜率为 k,则直线 MN：y=kx+b ，与椭圆方程Error!+Error!=1 联立并消元整理得，即综合知，直线过定点 8 分（3）T 为 MN 中点，当 k=0 时，当 时， ，k ATError!, Err
15、or! 直线 AT 的斜率的取值范围是Error!, Error!12 分21. （本题满分 12 分）解: (1)当 a=-Error!时,f(x)= -Error!x2+ (x-1)ex f(1)= -Error!f(x)=-(e+1)x+xex f (1)=-1切线方程为：y+Error!=-(x-1) 即：2x+2y+e-1=0 4 分(2) f(x)=2ax+xex=x(ex+2a)当 2a0 即 a0 时，f(x)在（- ，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；当-Error!a0 时，f(x)在（-，ln(-2a)）上单调递增，在（ln(-2a) ，0) 上单调递减，在（0，+
16、）上单调递增；当 a=-Error!时，f(x) 在（- ，+）上单调递增；当 a-Error!时,f(x) 在（- ，0) ）上单调递增，在（0，ln(-2a)上单调递减，在（ln(-2a) ，+）上单调递增；8 分(3)由（2）知, 当-Error!a-Error!0 时，f(x) 在（- ，ln(-2a)）上单调递增，在（ln(-2a)，0)上单调递减，在（0，+）上单调递增；所以 x1= ln(-2a)为极大值点，x 2=0 为极小值点，所有极值的和即为 f(x1)+f(x2);f(x1)+f(x2)=ax12+(x1-1)ex1-1x 1= ln(-2a) a=-Error!e x1
17、f(x 1)+f(x2)=-Error!ex1x12+(x1-1)ex1-1= ex1(-Error!x12+x1-1)-1-Error!a-Error! Error!-2a1 -1x 1= ln(-2a)0令(x)= e x (-Error!x2+x-1)-1(-1x0) (x)= ex (-Error!x2)0 (x)在（-1，0）单调递减(0) (x) (-1)即-2 (x)-Error!-1所有极值的和的取值范围为（-2，- Error!-1）12 分22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：（1）由Error!消去参数得曲线 C1的普通方程为：Error!+Er
18、ror!1；由 cos-sin-4 得曲线 C2的直角坐标方程为：x-y-4=0 5 分(2)设 P（2cos,2sin)，由点 P 到曲线 C2的距离为：d=Error!=Error!=4当 cos(+Error!)=1 时，d 有最小值 0,所以PQ的最小值为 0. 10分23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解： (1) f(x)=|x-1|-|2x+1|=25 分(2)由（1）知,当 x=-Error!时，f(x)的最大值为Error!,即 m=Error!;a 2+ b2+2c2=Error!a2+ b2+2c2= a2+tb2+(1-t)b2+2c22ab+2bc令 2:2=1:2 即 8（1-t)=16t 得：t=Error!a 2+ b2+2c2= a2+Error!b2+Error!b2+2c22Error!ab+4Error!bc=Error! (ab+2bc)ab+2bcError!(a 2+ b2+2c2)= Error!（当且仅当 a2=c2=Error!,b2=Error!时取“”号）10 分
