1、2017 年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1设集合 S=x|x5 或 x5，T= x|7x3 ，则 ST=（ ）Ax|7x5 Bx|3x5 Cx| 5x3 Dx|7x52在区间1，m上随机选取一个数 x，若 x1 的概率为 ，则实数 m 的值为（ ）A2 B3 C4 D53设 f（x）= ，则 f（f（2） ）的值为（ ）A0 B1 C2 D34已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，且 F2 为抛物线 y2=2px 的焦点，设 P 为两曲线的一个公共点，则PF 1F2 的面积为（ ）A18 B18 C36 D
2、365若实数 x、y 满足 ，则 z=2xy 的最大值为（ ）A B C1 D26已知命题 p：xR ，x 22xsin+10；命题 q： ， R，sin（+）sin+sin，则下列命题中的真命题为（ ）A （p）q B（pq） C （p）q Dp（q）7若函数 f（x）为区间 D 上的凸函数，则对于 D 上的任意 n 个值x1、x 2、x n，总有 f（x 1）+f（x 2）+f（x n）nf（ ） ，现已知函数 f（x）=sinx 在0， 上是凸函数，则在锐角ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为（ ）A B C D8三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，且 ABBC
3、，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A48 B32 C12 D89执行如图所示的程序框图，若 xa，b，y0，4，则 ba 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D510已知向量 、 、 满足 = + ，| |=2，| |=1，E、F 分别是线段BC、CD 的中点，若 = ，则向量 与 的夹角为（ ）A B C D11一块边长为 6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3） ） ，则该容器的体积为（ ）A B C D12
4、已知椭圆 E： + =1 的一个顶点为 C（0， 2） ，直线 l 与椭圆 E 交于A、B 两点，若 E 的左焦点为ABC 的重心，则直线 l 的方程为（ ）A6x5y14=0 B6x5y+14=0 C6x+5y+14=0 D6x+5y14=0二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13若复数 a+i 是纯虚数，则实数 a= 14曲线 y=sinx+1 在点（0，1）处的切线方程为 15已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x）满足 f（x+2）= f（x） ，当0x1 时，f（x）=x，则 f（37.5）等于 16函数 f（x）=sinx+ cosx+1（0）的最小正
5、周期为 ，当 xm，n时，f（ x）至少有 5 个零点，则 nm 的最小值为 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，已知 A=60，b=5，c=4（1）求 a；（2）求 sinBsinC 的值18设等差数列a n的公差为 d，且 2a1=d，2a n=a2n1（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列 bn的前 n 项和 Sn19某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为 A、B 、C、D 四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生
6、的成绩，得到如图所示分布图：（）试确定图中实数 a 与 b 的值；（）若将等级 A、B、C、D 依次按照 90 分、80 分、60 分、50 分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（）从两校获得 A 等级的同学中按比例抽取 5 人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选 2 人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率20如图，三棱锥 PABC 中，PA=PC，底面 ABC 为正三角形（）证明：ACPB；（）若平面 PAC平面 ABC，AB=2 ，PA PC，求三棱锥 PABC 的体积21已知圆 C：（x6） 2+y2=20，直线 l：y=kx 与圆 C 交于不同的两点 A、
7、B（）求实数 k 的取值范围；（）若 =2 ，求直线 l 的方程22已知函数 f（x）=alnx+x 2x，其中 aR（）若 a 0，讨论 f（ x）的单调性；（）当 x1 时，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围2017 年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1设集合 S=x|x5 或 x5，T= x|7x3 ，则 ST=（ ）Ax|7x5 Bx|3x5 Cx| 5x3 Dx|7x5【考点】交集及其运算【分析】利用交集定义和不等式性质求解【解答】解：集合 S=x|x 5 或 x5，T= x|7x3，ST=x
8、| 7x 5故选：A2在区间1，m上随机选取一个数 x，若 x1 的概率为 ，则实数 m 的值为（ ）A2 B3 C4 D5【考点】几何概型【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于 m 的等式解之【解答】解：由题意 x1 的概率为 ，则 ，解得 m=4；故选 C3设 f（x）= ，则 f（f（2） ）的值为（ ）A0 B1 C2 D3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log 3（2 21）=1，所以 f（f（2） ）=f（1）=2e 11=2【解答】解：f（f （2） ）=f（log 3（2 21） ）=f （1） =2e11=
9、2，故选 C4已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，且 F2 为抛物线 y2=2px 的焦点，设 P 为两曲线的一个公共点，则PF 1F2 的面积为（ ）A18 B18 C36 D36【考点】双曲线的简单性质【分析】求出 P 的坐标，即可求出 PF 1F2 的面积【解答】解：由题意， =6，p=12 ，双曲线方程与抛物线方程联立，可得 P（9，6 ） ，PF 1F2 的面积为 =36 ，故选 D5若实数 x、y 满足 ，则 z=2xy 的最大值为（ ）A B C1 D2【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线 y=2x 可得结论【解答】解：作出约束条件 ，所
10、对应的可行域（如图 ABO） ，变形目标函数可得 y=2xz，平移直线 y=2x 可知当直线经过点 A 时，直线的截距最小，z 取最大值，由 可得 ，A（ ， ）代值计算可得 z=2xy 的最大值为 1，故选：C 6已知命题 p：xR ，x 22xsin+10；命题 q： ， R，sin（+）sin+sin，则下列命题中的真命题为（ ）A （p）q B（pq） C （p）q Dp（q）【考点】复合命题的真假【分析】分别判断出 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：关于命题 p：xR，x 22xsin+10，=4sin 240，故 p 是真命题，关于命题 q：， R，sin（+
11、）sin+sin ，是真命题，（p）q 是真命题，故选：C 7若函数 f（x）为区间 D 上的凸函数，则对于 D 上的任意 n 个值x1、x 2、x n，总有 f（x 1）+f（x 2）+f（x n）nf（ ） ，现已知函数 f（x）=sinx 在0， 上是凸函数，则在锐角ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为（ ）A B C D【考点】三角函数的化简求值【分析】利用凸函数对于 D 上的任意 n 个值 x1、x 2、x n，总有 f（x 1）+f（x 2） +f（x n）nf（ ） ，将函数 f（x）=sinx 在0， ，sinA+sinB+sinC ，得到所求【解答】解：由已知
12、凸函数的性质得到 sinA+sinB+sinC =3sin =；所以在锐角ABC 中，sinA +sinB+sinC 的最大值为 ；故选 D8三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，且 ABBC，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A48 B32 C12 D8【考点】球的体积和表面积【分析】以 AB，BC ，AA 1 为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积【解答】解：三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，且ABBC，AB=BC=AA 1=2，以 AB，BC ，AA 1 为棱构造一个正方
13、体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，该球的半径 R= = ，该球的表面积为 S=4R2=43=12故选：C 9执行如图所示的程序框图，若 xa，b，y0，4，则 ba 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5【考点】程序框图【分析】写出分段函数，利用 xa，b，y0，4，即可 ba 的最小值【解答】解：由题意，y= ，xa，b，y0，4，则 ba 的最小值为 2，此时区间为0，2或2，4，故选 A10已知向量 、 、 满足 = + ，| |=2，| |=1，E、F 分别是线段BC、CD 的中点，若 = ，则向量 与 的夹角为（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题
14、意画出图形，结合 求得 ， 的值，即可求出向量与 的夹角【解答】解：如图所示， =（ ）（ ）= = ；由| |=| |=2，| |=| |=1，可得 =1，cos ， = ， ， = ，即向量 与 的夹角为 故选：B 11一块边长为 6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3） ） ，则该容器的体积为（ ）A B C D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】推导出 PM+PN=6，且 PM=PN，MN=3 ，PM=3，设 MN 中点为 O，则 PO平面 ABCD，
15、由此能求出该容器的体积【解答】解：如图（2） ，PMN 是该四棱锥的正视图，由图（1）知：PM+PN=6，且 PM=PN，由PMN 为等腰直角三角形，知 MN=3 ，PM=3，设 MN 中点为 O，则 PO 平面 ABCD，PO= ，该容器的体积为 = =9 故选：D12已知椭圆 E： + =1 的一个顶点为 C（0， 2） ，直线 l 与椭圆 E 交于A、B 两点，若 E 的左焦点为ABC 的重心，则直线 l 的方程为（ ）A6x5y14=0 B6x5y+14=0 C6x+5y+14=0 D6x+5y14=0【考点】椭圆的简单性质【分析】先由椭圆左焦点 F1 恰为ABC 的重心，得相交弦 A
16、B 的中点坐标，再由点 A、B 在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线 l 的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，椭圆 + =1 的左焦点为（1，0） ，点 C（0，2） ，且椭圆左焦点 F1 恰为ABC 的重心 =1， =0x 1+x2=3，y 1+y2=2 ， ，两式相减得： + =0将代入得： = ，即直线 l 的斜率为 k= = ，直线 l 过 AB 中点（ ，1）直线 l 的方程为 y1= （x+ ）故答案为 6x5y+14=0，故选 B二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13若复数
17、 a+i 是纯虚数，则实数 a= 0 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数 a+i 是纯虚数，则实数 a=0故答案为：014曲线 y=sinx+1 在点（0，1）处的切线方程为 xy+1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先对函数 y=sinx+1 进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx+1 在点 x=0 处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程【解答】解：y=cosx，切线的斜率 k=y|x=0=1，切线方程为 y1=x0，即 xy+1=0故答案为：xy+1=015已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x）满足
18、f（x+2）= f（x） ，当0x1 时，f（x）=x，则 f（37.5）等于 0.5 【考点】抽象函数及其应用【分析】根据题意，由 f（x+2）=f（x）可得 f（x +4）=f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x ）的周期为 4，即有 f（37.5）=f （1.5） ，结合题意可得 f（1.5）=f2+（0.5）=f（0.5） ，结合函数的奇偶性可得 f（0.5）= f（0.5） ，进而结合函数在 0x1 上的解析式可得 f（0.5）的值，综合即可得答案【解答】解：根据题意，由于 f（x+2）=f（x） ，则有 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）的周期为 4，则有
19、f（ 37.5）=f（1.5+4 9）=f （1.5） ，又由 f（ x+2）=f（x） ，则有 f（1.5）=f2+（ 0.5）= f（0.5） ，又由函数为奇函数，则 f（0.5）=f（0.5） ，又由当 0x1 时，f（x）=x，则 f（0.5）=0.5；则有 f（ 37.5）=f（1.5）=f（ 0.5）=f （0.5）=0.5，故 f（37.5 ）=0.5；故答案为：0.516函数 f（x）=sinx+ cosx+1（0）的最小正周期为 ，当 xm，n时，f（ x）至少有 5 个零点，则 nm 的最小值为 2 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】将函数化简为 f（
20、x）=2sin（2x+ ）+1 的最小正周期为 ，可得f（x） =2sin（2x+ ）+1 可知在 y 轴左侧的第一个零点为 ，右侧的第一个零点为 ，x m，n时，f（x）至少有 5 个零点，可得 nm 的最小值【解答】解：函数 f（x）=sinx+ cosx+1（ 0）化简可得：f（x）=2sin（2x+ ）+1最小正周期为 ，即 T=， ，可得 =1f（x ）=2sin（2x+ ） +1根据正弦函数的图象及性质可知：函数 f（x）的 y 轴左侧的第一个零点为 ，右侧的第一个零点为 ，xm，n时，f（x）至少有 5 个零点，不妨设 m=，则 n= 此时 nm 可得最小值为 2故答案为 2三、
21、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，已知 A=60，b=5，c=4（1）求 a；（2）求 sinBsinC 的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出 a 的值；（2）由条件和正弦定理求出 sinB 和 sinC 的值，代入式子求出答案【解答】解：（1）因为 A=60，b=5，c=4，所以由余弦定理得，a 2=b2+c22bccosA=25+16 =21，则 a= ；（2）由正弦定理得， = = ，所以 sinB= = ，sinC= =所以 sinBsinC= = 18设等差数列a n的公差
22、为 d，且 2a1=d，2a n=a2n1（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列 bn的前 n 项和 Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出（2）利用“错位相减法 ”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）等差数列a n的公差为 d，2a n=a2n1取 n=1，则 2a1=a21=a1+d1，与 2a1=d 联立，解得 d=2，a 1=1a n=1+2（n1）=2n1（2）b n= = = ，数列b n的前 n 项和 Sn= + ，= + + ， = + = ，S n=2 19某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组
23、织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为 A、B 、C、D 四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生的成绩，得到如图所示分布图：（）试确定图中实数 a 与 b 的值；（）若将等级 A、B、C、D 依次按照 90 分、80 分、60 分、50 分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（）从两校获得 A 等级的同学中按比例抽取 5 人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选 2 人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】 （）由甲校样本频数分布条形图能求出 a，由乙校样本频率分布条形
24、图能求出 b（）由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值（）由样本数据可知集训的 5 人中甲校抽 2 人，分别记作 E，F，乙校抽 3 人，分别记作 M，N，Q，从 5 人中任选 2 人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率【解答】解：（）测试成绩从高到低依次分为 A、B 、C、D 四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生的成绩，由甲校样本频数分布条形图知：6+a+33+6=60，解得 a=15，由乙校样本频率分布条形图得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得 b=0.5（）由数据可得甲校的平均值为 = =67，乙校的平均值为 =900.15+800.5+600.2+500.
25、15=73（）由样本数据可知集训的 5 人中甲校抽 2 人，分别记作 E，F，乙校抽 3 人，分别记作 M，N，Q，从 5 人中任选 2 人，一共有 10 个基本事件，分别为：EF，EM ，EN，EQ，FMFN，FQ ，MN，MQ， NQ，其中 2 人来自同一学校包含中 EF，MNMQNQ，两人来自同一学校的概率 p= 20如图，三棱锥 PABC 中，PA=PC，底面 ABC 为正三角形（）证明：ACPB；（）若平面 PAC平面 ABC，AB=2 ，PA PC，求三棱锥 PABC 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （）取 AC 中点 O，连接 PO，
26、BO，由等腰三角形的性质可得POAC ，BOAC，再由线面垂直的判定可得 AC平面 POB，则 ACPB；（）由面面垂直的性质可得 PO平面 ABC，再由已知求出三角形 ABC 的面积，即 PO 的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥 PABC 的体积【解答】 （）证明：如图，取 AC 中点 O，连接 PO，BO，PA=PC，POAC，又底面 ABC 为正三角形， BOAC ，POOB=O，AC平面 POB，则 ACPB；（）解：平面 PAC平面 ABC，且平面 PAC平面 ABC=AC，POAC ， PO平面 ABC，又 AB=2，PAPC，可得 PO=1，且 21已知圆 C：（x6） 2+y2
27、=20，直线 l：y=kx 与圆 C 交于不同的两点 A、B（）求实数 k 的取值范围；（）若 =2 ，求直线 l 的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】 （）根据题意可得圆心 C（6，0）到直线 l：y=kx 的距离小于半径，由此求得 k 的范围（）把直线 l：y=kx 代入圆 C，化简后利用韦达定理，再根据 =2 ，可得x2=2x1，从而求得 k 的值，可得直线 l 的方程【解答】解：（）由题意可得，圆心 C（6，0）到直线 l：y=kx 的距离小于半径 ，即 ，求得 k （）把直线 l：y=kx 代入圆 C：（x6） 2+y2=20，化简可得（1+k 2）x212x+16=0，x 1+
28、x2= ，x 1x2= 若 =2 ，则 x2=2x1，则 x1= ，x 2= ， 则x1x2= = ，k=1，故直线 l：y=x22已知函数 f（x）=alnx+x 2x，其中 aR（）若 a 0，讨论 f（ x）的单调性；（）当 x1 时，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （I）令 f（x）=0 求出 f（x）的极值点，结合 f（x）的定义域得出f（x）的符号变换情况，从而得出 f（x）的单调性；（II）对 a 进行讨论，判断 f（x）在1，+）上的单调性，得出 f（x）在1，+）上的最小值 fmin（x） ，即可得
29、出结论【解答】解：（I）f （x）的定义域为（0，+） ，f（x） = = ，令 f（ x）=0 得 2x2x+a=0，解得 x1= ，x 2= ，a0，x 10，x 20，当 0x 时， f（x）0，当 x 时，f（x）0，f（x ）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增（II）若 a=0 时，f（x）=x 2x，f（x ）在1，+）上单调递增，f min（x）=f （1）=0，符合题意若 a0，由（ I）可知 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ， +）上单调递增，当 1 即1a 0 时，f （x）在1，+）上单调递增，f min（x）=f（1）=0，符合题意，当 1 即 a1 时，f （x）在1， ）上单调递减，在，+ ）上单调递增，f min（x）=f（ ）f（1）=0，不符合题意若 a0，令 f（x）=0 得 2x2x+a=0，当=1 8a0 即 a 时，f（x）0 恒成立，f（x）在1，+）上单调递增，f min（x）=f（1）=0，符合题意若 0 ，则 2x2x+a=0 有两正实数解，x 1= ，x 2= ，f（x ）在（0， ）上单调递增，在（ ， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增， 1，f （x）在1，+）上单调递增，f min（x）=f（1）=0，符合题意，综上，a 的取值范围是 1，+） 2017 年 4 月 3 日
