1、题型三 规律探索题类型一 数式规律 针对演练1. (2016 新疆)如图，下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定 x 的值为_第 1 题图2. (2016 绥化)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21叫三角数，它有一定的规律若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2，第 n 个三角数记为 an，计算a1 a2， a2 a3， a3 a4，由此推算 a399 a400_3. (2016 济宁)按一定规律排列的一列数： ，1，1， ， ， ， ，请你仔细观12 91111131317察，按照此规律方框内的数字应为_4. (2016 郴州)观察下列等式：313，3
2、 29，3 327，3 481，3 5243，3 6729，.试猜想，3 2016的个位数字是_5. (2016 百色)观察下列各式的规律：( a b)(a b) a2 b2；( a b)(a2 ab b2) a3 b3；( a b)(a3 a2b ab2 b3) a4 b4；可得到( a b)(a2016 a2015b ab2015 b2016)_6. 请观察下列等式的规律： (1 )， ( )， ( )，113 12 13 135 1213 15 157 1215 17 ( )，则 _179 1217 19 113 135 157 1991017. (2016 滨州)观察下列式子：1312
3、 2；7918 2；2527126 2；7981180 2；可猜想第 2016 个式子为_8. (2016 黄石)观察下列等式：第 1 个等式： a1 1，第 2 个等式 a2 ，11 2 2 12 3 3 2第 3 个等式： a3 2 ，第 4 个等式： a4 2，13 2 3 12 5 5按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第 n 个等式： an_； (2)a1 a2 a3 an_9. (2011 省卷 20，9 分)如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答(1)表中第 8 行的最后一个数是_，它是自然数_的平方，第 8 行共有_个数；(2)用含 n 的代数式表
4、示：第 n 行的第一个数是_，最后一个数是_，第 n 行共有_个数；(3)求第 n 行各数之和【答案】1370 【解析】观察可得，第 n 个图形的数字为：n 2n12n 2n(2n1) n当 2n20 时， n10， x2 n(2n1) n20(201)10370.2160000 【解析】由a1 a242 2， a3 a4610164 2， a5 a61521366 2，依此类推可得an an1 ( n1) 2， a399 a400400 2160000.31 【解析】将原来的一列数变形为 ， ， ， ，观察可以得出分子依次123355 91111131317为从小到大排列的连续奇数，分母是依
5、次从小到大排列的质数，故方框内填 ，故答案为 1.7741 【解析】从前几个 3 的幂来看，它的个位数依次是 3，9，7，1，第 5 个数跟第一个数的个位数相同，于是 3 的整数次幂的个位数是每四个数一个循环，20164504，于是 32016的个位数与 34的个位数相同，即为 1.5 a2017 b2017 【解析】由题可知，( a b)(a b) a2b 2，( a b)(a2 ab b2) a3 b3，( a b)(a3 a2b ab2 b3) a4 b4，( a b)(an an 1b an2 b2 a2bn2 abn1 bn) an1 bn1, 当 n2016 时，( a b)(a2
6、016 a2015b ab2015 b2016) a2017 b2017.6. 【解析】原式 (1 ) ( ) ( ) ( ) (1 50101 12 13 1213 15 1215 17 12199 1101 12 13 13 ) (1 ) .15 15 17 199 1101 12 1101 501017(3 20162)3 20161(3 20161) 2 【解析】第个式子转化为：(3 12)311(3 11) 2，第个式子转化为： (3 22)3 21(3 21) 2，第个式子转化为：(332)3 31(3 31) 2，第个式子转化为： (342)3 41(3 41) 2，由以上规律可
7、得，第 n 个式子为： (3n2)3 n1(3 n1) 2，当 n2016 时，第 2016 个式子为：(3 20162)3 20161(3 20161) 2.8(1) ；(2) 1 【解析】(1) a1 1， a21n n 1 n 1 n n 1 11 2 2 ， a3 ， an ；(2)12 3 3 2 13 4 4 3 1n n 1 n 1 na1 a2 a3 an( 1) ( )( )( )( )2 3 2 4 3 5 4 n 1 n 1.n 19解：(1)64，8，15；【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是 11 2，且共有 1 个数；第二行最后一个数是 42 2，且共有 3 个数
8、，第三行最后一个数是 93 2，且共有 5 个数，以此类推，可知第 n 行最后一个数可以表示为 n2，且共有(2 n1)个数，所以第 8 行最后一个数是8264，共有 28115 个数；(2)n22 n2， n2，2 n1；【解法提示】由(1)中的分析得知第 n 行的第一个数是( n1) 21 n22 n2，最后一个数是 n2，第 n 行共有(2 n1)个数；(3)第 n 行各数之和为： (2n1)( n2 n1)(2 n1)n2 2n 2 n22类型二 图形规律针对演练1、图形累加规律探索1. (2016 荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列图案若第
9、 n 个图案中有 2017 个白色纸片，则 n 的值为( )第 1 题图A. 671 B. 672 C. 673 D. 6742. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第个图形中一共有6 个小圆圈，第个图形中一共有 9 个小圆圈，第个图形中一共有 12 个小圆圈，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为 ( )第 2 题图A. 21 B. 24 C. 27 D. 303. (2016 重庆 B 卷)观察下列一组图形，其中图形中共有 2 颗星，图形中共有 6颗星，图形中共有 11 颗星，图形中共有 17 颗星，按此规律，图形中星星的颗数是( )第 3 题图A. 43 B. 45
10、 C. 51 D. 534. (2015 曲靖)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H” ，依此规律，摆出第 9个“H”需用火柴棒_根第 4 题图5. (2015 深圳)观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第五个图有_个太阳第 5 题图6. (2016 安顺)观察下列砌钢管的横截面图：第 6 题图则第 n 个图的钢管数是_(用含 n 的式子表示)【答案】1B 【解析】对于每个图中的白色纸片的个数，依次是4，743，10432，那么，第 n 个图中的白色纸片的个数为 43( n1)3 n1，令 3n12017，解得 n672.2B 【解析】第个图形有 6 个小圆圈，第个图形有
11、639 个小圆圈，第个图形有 63212 个小圆圈，按照这个规律，第 个图形有 63( n1)3n3 个小圆圈，故第个图形一共有 37324 个小圆圈3C 【解析】图形中星星的颗数为：21(211)，图形中星星的颗数为：6(12)(221)，图形中星星的颗数为：11(123)(231)，图形中星星的颗数为：17(1234)(241)，图形 中星星的颗数为：(12 n)(2 n1) 2 n1，所以图形中星星的颗数为：n（ n 1）228151.8（ 8 1）2429 【解析】图形序号 火柴棒数量 图形序号与火柴棒数量的关系1 5 根 31252 8 根 32283 11 根 33211 n (3
12、n2)根 3n23 n2第 9 个“H”所需的火柴棒的数量为 39229 根521 【解析】所有图形中，第一行太阳的个数分别为 1，2，3，4， n，第五个图形第一行太阳的个数为 5，所有图形中，第二行太阳的个数分别为1，2，4，8，2 n1 ，第五个图形第二行太阳的个数为 2416 个太阳，第五个图形共有 51621 个太阳6. n2 n 【解析】32 32n 1 2 3 4 n钢管数 3 9 18 30 规律 3122 3232 3342 3452 3n（ n 1）2由表可知，第 n 个图的钢管数是 n2 n.3n（ n 1）2 32 322、图形成倍递变规律探索1. (2016 六盘水)
13、如图，已知 AB A1B， A1B1 A1A2， A2B2 A2A3， A3B3 A3A4，若 A70，则 An的度数为( )A. B. C. D. 702n 702n 1 702n 1 702n 2第 1 题图第 2 题图2. (2016 内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点 B1在 y 轴上，顶点C1、 E1、 E2、 C2、 E3、 E4、 C3在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1的边长为 1， B1C1O60，B1C1 B2C2 B3C3则正方形 A2016B2016C2016D2016的边长是( )A. ( )2015 B. ( )2016 C. ( )2016 D.
14、 ( )201512 12 33 333. (2016 南平)如图，已知直线 l： y2 x，分别过 x 轴上的点 A1(1，0)、 A2(2，0)、 An(n，0)，作垂直于 x 轴的直线交 l 于点 B1、 B2、 Bn，将 OA1B1、四边形A1A2B2B1、四边形 An1 AnBnBn1 的面积依次记为 S1、 S2、 Sn，则 Sn( )A. n2 B. 2n1 C. 2 n D. 2n1第 3 题图第 4 题图4. (2016 威海)如图，点 A1的坐标为(1，0)， A2在 y 轴的正半轴上，且 A1A2O30，过点 A2作 A2A3 A1A2，垂足为 A2，交 x 轴于点 A3
15、；过点 A3作 A3A4 A2A3，垂足为 A3，交 y轴于点 A4；过点 A4作 A4A5 A3A4，垂足为 A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5作 A5A6 A4A5，垂足为 A5，交 y 轴于点 A6；按此规律进行下去，则点 A2016的纵坐标为_5. (2016 钦州)如图， MON60，作边长为 1 的正六边形 A1B1C1D1E1F1，边A1B1、 F1E1分别在射线 OM、 ON 上，边 C1D1所在的直线分别交 OM、 ON 于点 A2、 F2，以 A2F2为边作正六边形 A2B2C2D2E2F2，边 C2D2所在的直线分别交 OM、 ON 于点 A3， F3，再以 A3F3
16、为边作正六边形 A3B3C3D3E3F3，依此规律，经第 n 次作图后，点 Bn到 ON 的距离是_第 5 题图【答案】1C 【解析】在 ABA 1中， AB A1B， A BA1A， A1A2 A1B1， B1A2A1 BA1A，同理， B2A3A2 B1A2A1 BA1A， An BA1A .12 12 14 12n 1 702n 12D 【解析】易得 B2C2E2 C1D1E1， tan30，B2C2C1D1 B2E2C1E1 C2E2D1E1 C2E2B2E2 B2C2 C1D1tan30 ， C2D2 ，同理， B3C3 C2D2tan30( )2，由此猜想33 33 33BnCn(
17、 )n1 ，当 n2016 时， B2016C2016( )2015，故选 D.33 333D 【解析】由题意可知， OA1B1 OA2B2 OA3B3 OAnBn且相似比为123 n，其面积比为149 n2， S1 S2 S3 Sn135(2 n1)， A1(1，0)，过点 A1作垂直于 x 轴的直线交 l： y2 x 于点 B1， OA11， A1B12， S OA1B11， Sn2 n1.43 1007 【解析】 A1(1，0)， A1A2O30， A2(0， )， A2A3 A1A2 3 3， A3A2O60， A2A3O30， A3(3，0)，同理， A4(0，3 )， A5(9，0
18、)，3A6(0，9 )， A7(27，0)，A 8(0，27 )，即， A2(0， )， A4(0，3 )， A6(0，93 3 3 3)， A8(0，27 )，列表如下：3 3A2 (3) 03 (22)20A4 (3) 13 (42)21A6 (3) 23 (62)22A8 (3) 33 (82)23 An (3)( 1)3n2 (n2)2 1n2 An ，2016211007， A2016的纵坐标是3 2()n-31007 .353 n1 【解析】由题意可知， MON60，设点 Bn到 ON 的距离为 hn，正六3边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 1， A1B11，易知 A1OF1
19、为等边三角形， A1B1 OA11， OB12，则 h12 ，又 OA2 A2F2 A2B23， OB26，则32 3h26 3 ，同理可求， OB318，则 h318 9 ，依此可得，32 3 32 3OBn23 n1 ，则 hn23 n1 3 n1 ，点 Bn到 ON 的距离为 3n1 .32 3 33、图形循环规律探索1. (2016 河南)如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0，0)， B(2，2)，若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为( )A. (1，1) B. (1，1) C. ( ，0) D. (0， )2 2第 1 题图
20、第 2 题图2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前 2016 个梅花图案中，共有_个“ ”图案3. 如图，正五边形五个顶点标有数字 1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点；若青蛙从标有数字 5 的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字 2 的顶点上，第二次跳后落在标有数字 1 的顶点上，则第 2017 次跳后所停的顶点对应的数字为_第 3 题图4. (2016 三明)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动 1 个单位，依次得到点 P1(0，
21、1)， P2(1，1)， P3(1，0)， P4(1，1)，P5(2，1)， P6(2，0)，则点 P60的坐标是_第 4 题图第 5 题图5. (2016 聊城)如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线 OB1为边作正方形 OB1B2C2，再以正方形 OB1B2C2的对角线 OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形 OB2015B2016C2016的顶点 B2016的坐标是_【答案】1B 【解析】菱形 OABC 的顶点坐标为 O(0，0)，点 B 的坐标是(2，2)， BO 与 x轴的夹角为 45，菱形的对角线互相垂直平分，点
22、D 是线段 OB 的中点，点 D 的坐标是(1，1)，菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45，360458，每旋转 8 秒，菱形的对角线交点 D 就回到原来的位置(1，1)，60874，第 60 秒时是把菱形绕点 O 逆时针旋转了 7 周回到原来位置后，又旋转了 4 秒，即又旋转了 445180，点 D 的对应点落在第三象限，且对应点与点 D 关于原点 O 成中心对称，第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为(1，1)2504 【解析】观察图形可知， “ ”图案方向依次向下、向左、向上、向右，每四个为一个循环周期20164504，前 2016 个梅花图案中，有 504 个“ ”图案32
23、 【解析】由 5 起跳，5 是奇数，沿顺时针下一次能跳 2 个点，落在 2 上由 2起跳，2 是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在 1 上，1 是奇数，沿顺时针跳两个点，落在 3 上由 3 起跳，是奇数，沿顺时针跳两个点，落在 5 上.21352，周期为4，又由 201745041，经过 2017 次跳后它停在的点所对应的数为 2.4(20，0) 【解析】将点 P 的横纵坐标分开来看， Pn的横坐标始终在变化且逐渐增大，而 Pn的纵坐标变化呈周期变化，即 1，1，0，1，1，0，所以每 6 个点 P 的纵坐标为一个循环，显然 60610，恰好能够整除，所以点 P60的纵坐标为 0，即在 x 轴上，显然 P6， P12， P18，这些点的横坐标为：2，4，6，所以点 P6k的纵坐标为 2k，点P60的横坐标为 20，点 P60的坐标为(20，0)5(2 1008，0) 【解析】点 B 的位置依次落在第一象限、 y 轴正半轴、第二象限、 x轴负半轴、第三象限、 y 轴负半轴、第四象限、 x 轴正半轴，每 8 次一循环，20168252，点 B2016落在 x 轴正半轴，故 B2016的纵坐标是 0； OBn是正方形的对角线，OB1 ， OB22( )2， OB32 ( )3， OB2016( )20162 1008，点 B2016的坐2 2 2 2 2标为(2 1008，0)
