1、5.3.3 角平分线的性质基础训练1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明AOC=BOC 的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等2.作AOB 的平分线时,以 O为圆心,某一长度为半径作弧,与 OA,OB分别相交于点 C,D,然后分别以点 C,D为圆心,适当的长度为半径作弧,使两弧相交于一点,则这个适当的长度为( )A.大于 CD B.等于 CD12 12C.小于 CD D.以上答案都不对123.根据图中尺规作图的痕迹,先判断得出结论: ,并说明理由. 4.如图,OC 是AOB 的平分线,P 是 OC上一点,PDOA 于点 D,PD=6
2、,则点 P到边 OB的距离为( )A.6 B.5 C.4 D.35.如图,OP 为AOB 的平分线,PCOA,PDOB,垂足分别是点 C,D,则下列结论错误的是( )A.PC=PD B.CPD=DOPC.CPO=DPO D.OC=OD6.如图,OP 平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为点 A,B.下列结论中不一定成立的是( )A.PA=PB B.PO平分APBC.OA=OB D.AB垂直平分 OP7.如图,ABCD,BP 和 CP分别平分ABC 和DCB,AD 过点 P,且与 AB垂直.若 AD=8,则点 P到 BC的距离是( )A.8 B.6 C.4 D.28.如图,在ABC 中,CD
3、 是 AB边上的高,BE 平分ABC,交 CD于点E,BC=50,DE=14,则BCE 的面积等于 .9.如图,在ABC 中,BD 平分ABC,交 AC于点 D,BC边上有一点 E,连接 DE,则 AD与 DE的关系为( )A.ADDE B.AD=DEC.ADDE D.不确定提升训练10.如图,一块余料 ABCD,ADBC,现进行如下操作:以点 B为圆心,适当长为半径画弧,分别交 BA,BC于点 G,H,再分别以点 G,H为圆心,大于 GH的长为半径画弧,两弧在ABC 内部相交于点 O,画射线 BO,交12AD于点 E.(1)试说明:AB=AE;(2)若A=100,求EBC 的度数.11.如图
4、,BD 为ABC 的平分线,AB=BC,点 P在 BD上,PMAD 于点M,PNCD 于点 N.试说明:PM=PN.12.如图,在四边形 ABCD中,AC 为BAD 的平分线,AB=AD,点 E,F分别在 AB,AD上,且 AE=DF,请说明为何四边形 AECF的面积为四边形 ABCD的一半. 13.如图,1=2,P 为 BN上一点,且 PDBC 于点 D,AB+BC=2BD.试说明:BAP+BCP=180.参考答案1.【答案】A 2.【答案】A 3.解:OM 平分BOA.理由:如图,连接 CM,DM,由作图的痕迹可知,OC=OD,CM=DM.又因为 OM=OM,所以COMDOM.所以COM=
5、DOM.所以 OM平分BOA.4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】C 解:如图,过点 P作 PEBC 于点 E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PA=PE,PD=PE,那么 PE=PA=PD.又因为 AD=8,进而求出PE=4.8.【答案】3509.【答案】D 解:本题易出现错误的主要原因是误认为角平分线上的点与角两边上的任意一点连接的线段都相等,而忽略了“到角两边的距离”这一要求,即忽略 DE与 BC,AB与 AD是否垂直.10.解:(1)因为 ADBC,所以AEB=EBC.根据题意可知 BE是ABC 的平分线,所以EBC=ABE.所以AEB=ABE.所以
6、 AB=AE.(2)由A=100,ABE=AEB,得ABE=AEB=40.由 ADBC,得EBC=AEB=40.11.解:因为 BD为ABC 的平分线,所以ABD=CBD.又因为 BA=BC,BD=BD,所以ABDCBD(SAS).所以ADB=CDB.因为点 P在 BD上,PMAD,PNCD,所以 PM=PN.12.解:如图,作 CGAB 于 G,CHAD 于 H,因为 AC为BAD 的平分线,所以 CG=CH.因为 AB=AD,所以 SABC =SACD .又因为 AE=DF,所以 SAEC =SCDF .因为 SBCE =SABC -SAEC ,SACF =SACD -SCDF ,所以 S
7、BCE =SACF .因为 S 四边形 AECF=SAEC +SACF ,所以 S 四边形 AECF=SAEC +SBCE .所以 S 四边形 AECF=SABC .所以四边形 AECF的面积为四边形 ABCD的一半.13.(方法一)过点 P作 PEBA 于点 E,如图,(第 13题)因为 PDBC,1=2,所以 PE=PD.因为BEP=BDP=90,BP=BP,1=2,所以 RtBPERtBPD.所以 BE=BD.因为 AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE,所以 AE=CD.所以PEAPDC(SAS).所以PAE=PCD.因为BAP+EAP=180,所以BAP+BCP=18
8、0.(方法二)在 BC上截取 BF,使 BF=BA,连接 PF,如图,因为 AB+BC=2BD,所以 BC-BD=BD-BF.所以 CD=FD.又因为PDC=PDF=90,PD=PD,所以PDCPDF(SAS).所以PCD=PFD.在BAP 和BFP 中, =,1=2,=,所以BAPBFP(SAS).所以BAP=BFP.因为BFP+PFC=180,所以BAP+PCB=180.(第 13题)(第 13题)(方法三)在 BC上取点 E,使 DE=BD,连接 PE,如图.因为 PDBD,所以BDP=EDP=90.又因为 PD=PD,所以BDPEDP(SAS).所以 BP=EP,2=PED.又因为1=2,所以PEC=1.因为 AB+BC=2BD,DE=BD,所以 AB=CE.又因为 BP=EP,所以ABPCEP(SAS).所以BAP=ECP.又因为BCP+ECP=180,所以BAP+BCP=180.
