1、浙江省杭州市 2016 年中考数学模拟命题比赛试卷（一）一仔细选一选（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1 是一个（ ）A整数 B分数 C有理数 D无理数2下列计算正确的是（ ）A 的平方根为8 B 的算术平方根为 8C 的立方根为 2 D 的立方根为23小明想用图形 1 通过作图变换得到图形 2，下列这些变化中不可行的是（ ）A轴对称变换 B平移变换 C旋转变换 D中心对称变换4下列各式计算正确的有（ ）A（p 5q4）（2p 3q）=2p 2q3 B（a+5）（a5）=a 225C D5如果
2、圆内接四边形 ABCD 的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形 ABCD 一定是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形6已知 ab=1，则 a2b 22b 的值为（ ）A1 B2 C3 D47某种数码产品原价每只 400 元，经过连续两次降价后，现在每只售价为 256 元，则平均每次降价的百分率为（ ）A20% B80% C180% D20%或 180%8为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放，一天，小林把垃圾分装在三个袋中，则他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的概率是（ ）A B C D9一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ）A3 个
3、B4 个 C5 个 D6 个10已知抛物线 y=a（xm） 2+n 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，若直线 AB 的解析式为y=2x+b，点 A，B 关于原点的对称点分别为 A，B，且四边形 ABAB为矩形，则下列关于m，n，b 的关系式正确的是（ ）A5m=4b B4m=5b C5n=3b D3n=5b二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）11数据 1，5，2，1，5，4 的中位数是 ，方差为 12把代数式 4a2b3b 2（4a3b）进行因式分解得： 13函数 y=x22x3，当 y0 时，x 的取值范围为 ；当1x2 时，y 的取值范围为 14已知弦 A
4、B 与 CD 交于点 E，弧 的度数比弧 的度数大 20，若CEB=m，则CAB= （用关于 m 的代数式表示）15正方形 ABCD 的边长为 acm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm 216如图，ABC 中，ACB=90，BC=6cm，AC=8cm，动点 P 从 A 出发，以 2cm/s 的速度沿ABC 的边按 ABCA 的顺序运动一周，则点 P 出发 s 时，BCP 为等腰三角形三、全面答一答（本题有 7 小题，共 66 分，）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17先化简，
5、再求值： （x+2 ），其中 x 满足 x（x 24）=018为了深化我省义务教育课程改革，某校积极开展本校课程建设，计划成立“科普观察”、“架子鼓”、“足球”、“摄影”等多个社团，要求每个学生都自主选择其中一个社团为此，随机调查了本校七、八、九年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如图统计表（不完整）：某校被调查学生选择社团意向统计表选择意向架子鼓 科普观察 足球 摄影 其他所占百分比30% a b 10% c根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求架子鼓和摄影社团的人数及 a，b 的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有 1200 名学生，试估计全校选择“科普观察”社
6、团的学生人数19某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯，物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元销售过程中发现，月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可看作一次函数：y=10x+n（1）当销售单价 x 定为 25 元时，李明每月获得利润 w 为 1250 元，求 n 的值；（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？20如图，矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，BC 在 x 轴上，一次函数 y=kx2 的图象经过点 A、C，并与y 轴交于点 E，反比例函数 y= 的图象经过点 A（1）点 E
7、的坐标是 ；（2）求反比例函数的解析式；（3）求当一次函数的值小于反比例函数的值时，x 的取值范围21如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 EO 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F，且 AD=3，cosBCD= （1）求证：CDBF；（2）求O 的半径；（3）求弦 CD 的长22如图，已知 tanEOF=2，点 C 在射线 OF 上，OC=12点 M 是EOF 内一点，MCOF 于点C，MC=4在射线 CF 上取一点 A，连结 AM 并延长交射线 OE 于点 B，作 BDOF 于点 D（1）当 AC 的长度为多少时，AMC 和BOD 相似；（2）当点 M 恰好
8、是线段 AB 中点时，试判断AOB 的形状，并说明理由；（3）连结 BC当 SAMC =SBOC 时，求 AC 的长23关于 x 的函数 y=2mx2+（1m）x1m（m 是实数），探索发现了以下四条结论：函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；当 m=3 时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）；当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 ；当 m0 时，函数图象总经过两个定点请你判断四条结论的真假，并说明理由浙江省杭州市 2016 年中考数学模拟命题比赛试卷（一）参考答案与试题解析一仔细选一选（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意
9、可以用多种不同的方法来选取正确答案.1 是一个（ ）A整数 B分数 C有理数 D无理数【考点】无理数【分析】根据无理数的定义即可作答【解答】解： 是一个无限不循环小数， 是一个无理数故选 D【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数为无理数初中范围内学习的无理数有三类： 类，如 2， 等；开方开不尽的数，如 ， 等；虽有规律但是无限不循环的数，如 0.1010010001，等2下列计算正确的是（ ）A 的平方根为8 B 的算术平方根为 8C 的立方根为 2 D 的立方根为2【考点】立方根；平方根；算术平方根【分析】依据平方根、算术平方根、立方根的性质求解即可【解答】解：A、 =8，8 的平
10、方根为2 ，故 A 错误；B、 =8，8 的算术平方根为 2 ，故 B 错误；C、 =8，8 的立方根为 2，故 C 正确；D、 =8，8 的立方根为 2，故 D 错误故选：C【点评】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键3小明想用图形 1 通过作图变换得到图形 2，下列这些变化中不可行的是（ ）A轴对称变换 B平移变换 C旋转变换 D中心对称变换【考点】几何变换的类型【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换和中心对称变换的概念进行判断即可【解答】解：连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线，垂足为 O，图形 1 以直线 l 为对称轴通过轴对称变换得到图
11、形 2，A 可行；图形 1 以 O 为旋转中心，旋转 180得到图形 2，C、D 可行；故选：B【点评】本题考查的是几何变换的类型，掌握轴对称变换、平移变换、旋转变换和中心对称变换的概念是解题的关键4下列各式计算正确的有（ ）A（p 5q4）（2p 3q）=2p 2q3 B（a+5）（a5）=a 225C D【考点】分式的加减法；平方差公式；整式的除法【分析】根据单项式的除法、平方差公式以及分式的加减法进行计算即可【解答】解：A、（p 5q4）（2p 3q）= p2q3，故错误；B、（a+5）（a5）=a 225，故错误；C、 + = ，故错误；D、正确；故选 D【点评】本题考查了分式的加减、
12、平方差公式以及分式的加减，掌握运算法则是解题的关键5如果圆内接四边形 ABCD 的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形 ABCD 一定是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形【考点】圆内接四边形的性质【分析】由圆内接四边形 ABCD 的对角线交点恰好是该圆的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得四边形 ABCD 的四个内角都是直角，即可判定四边形 ABCD 一定是矩形【解答】解：圆内接四边形 ABCD 的对角线交点恰好是该圆的圆心，A=B=C=D=90，四边形 ABCD 一定是矩形故选 B【点评】此题考查了矩形的判定以及圆的内接四边形的性质注意直径所对的圆周角是直角定理的应用是解此题的
13、关键6已知 ab=1，则 a2b 22b 的值为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】完全平方公式【分析】由已知得 a=b+1，代入所求代数式，利用完全平方公式计算【解答】解：ab=1，a=b+1，a 2b 22b=（b+1） 2b 22b=b 2+2b+1b 22b=1故选：A【点评】本题考查了完全平方公式的运用关键是利用换元法消去所求代数式中的 a7某种数码产品原价每只 400 元，经过连续两次降价后，现在每只售价为 256 元，则平均每次降价的百分率为（ ）A20% B80% C180% D20%或 180%【考点】一元二次方程的应用【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的
14、价格（1降低的百分率）=256，把相应数值代入即可求解【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，根据题意得：400（1x） 2=256解得：x=20%或 x=1.8（舍去），故选 A【点评】考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b8为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放，一天，小林把垃圾分装在三个袋中，则他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的概率是（ ）A B C D【考点】列表法与树状图法【专题】计算题【分析】（装可回收的、不可回收的和有害的垃圾的三个袋分别用
15、A、B、C 表示，陈放可回收的、不可回收的和有害的垃圾的地方分别为 a、b、c）画树状图展示所用 6 种等可能的结果数，再找出把三个袋子都放错位的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（装可回收的、不可回收的和有害的垃圾的三个袋分别用 A、B、C 表示，陈放可回收的、不可回收的和有害的垃圾的地方分别为 a、b、c）画树状图：共有 6 种等可能的结果数，其中他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的结果数为 2，所以他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的概率= = 故选 C【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，
16、然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率9一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个【考点】多边形内角与外角【分析】利用多边形的外角和是 360 度即可求出答案【解答】解：因为多边形的外角和是 360 度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于 360 度，多边形的内角与相邻的外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角时，内角中就最多有 3 个锐角故选 A【点评】本题考查了多边形的内角问题由于内角和不是定值，不容易考虑，而外角和是 360 度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑10已知抛物线 y=a（xm） 2+n 的顶点为 A，与 y
17、 轴的交点为 B，若直线 AB 的解析式为y=2x+b，点 A，B 关于原点的对称点分别为 A，B，且四边形 ABAB为矩形，则下列关于m，n，b 的关系式正确的是（ ）A5m=4b B4m=5b C5n=3b D3n=5b【考点】二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征【分析】根据题意可知：A（m，n），B（0，b），所以 B的坐标为（0，b），由题意可知：四边形 ABAB为矩形，所以对角线 AA=BB【解答】解：由题意可知：A（m，n），B（0，b），点 A，B 关于原点的对称点分别为 A，B，BB=|2b|，四边形 ABAB为矩形，AA=BB，OA 2=m2+n2，AA 2=4OA2=
18、4（m 2+n2），4（m 2+n2）=4b 2，把（m，n）代入 y=2x+b，n=2m+b，b 2=m2+（2m+b） 2，化简可得：5m=4b，故选（A）【点评】本题考查了二次函数的性质，涉及矩形的性质，二次函数的性质，完全平方差公式，综合程度较高二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）11数据 1，5，2，1，5，4 的中位数是 3 ，方差为 3 【考点】方差；中位数【专题】推理填空题【分析】首先将这组数据按照从小到大的顺序排列，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；然后根据方差的含义和求法，求出数据 1，5，2，1，5，4 的方差是多少即可【解答】解：
19、数据 1，5，2，1，5，4 按照从小到大的顺序排列是：1，1，2，4，5，5，数据 1，5，2，1，5，4 的中位数是：（2+4）2=62=3数据 1，5，2，1，5，4 的平均数是：（1+5+2+1+5+4）6=186=3数据 1，5，2，1，5，4 的方差是：（13） 2+（53） 2+（23） 2+（13） 2+（53） 2+（43） 2= 4+4+1+4+4+1= 18=3故答案为：3，3【点评】此题主要考查了中位数、方差的含义和求法，要熟练掌握12把代数式 4a2b3b 2（4a3b）进行因式分解得： b（2a3b） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【专题】计算题；因式分解
20、【分析】原式去括号整理后，提取 b，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式=4a 2b12ab 2+9b3=b（4a 212ab+9b 2）=b（2a3b） 2，故答案为：b（2a3b） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13函数 y=x22x3，当 y0 时，x 的取值范围为 1x3 ；当1x2 时，y 的取值范围为 4y0 【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】根据函数解析式可以确定图象与 x 轴的交点是（1，0），（3，0），又当 y0 时，图象在 x 轴的下方，由此可以确定 x 的取值范围，结合函数解析式求出 y 的取值范围【解答
21、】解：当 y=0 时，即 x22x3=0，x 1=1，x 2=3，图象与 x 轴的交点是（1，0），（3，0），当 y0 时，图象在 x 轴的下方，此时1x3当1x2 时，y 的取值范围为：4y0，故答案为：1x3，4y0【点评】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点问题，解答此题的关键是求出图象与 x 轴的交点，然后由图象找出当 y0 时，自变量 x 的范围，锻炼了学生数形结合的思想方法14已知弦 AB 与 CD 交于点 E，弧 的度数比弧 的度数大 20，若CEB=m，则CAB= （用关于 m 的代数式表示）【考点】圆心角、弧、弦的关系【分析】由弧 BC 与 AD 的度数之差为 20，根据圆
22、周角定理，可得CABC= 20=10，又由CEB=60，可得CAB+C=60，继而求得答案【解答】解：弧 BC 与 AD 的度数之差为 20，CABC= 20=10，CEB=CAB+C=m，CAB= 故答案为： 【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形外角的性质此题难度不大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用15正方形 ABCD 的边长为 acm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm 2【考点】正方形的性质【专题】几何图形问题【分析】连接 BD，可看出阴影部分的面积等于 正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证【解
23、答】解：连接 BD，EF阴影部分的面积=ABD 的面积+BDG 的面积 （G 为 BF 与 DE 的交点），ABD 的面积= 正方形 ABCD 的面积= a2BCD 中 EF 为中位线，EFBD，EF= BD，GEFGBD，DG=2GE，BDE 的面积= BCD 的面积BDG 的面积= BDE 的面积= BCD 的面积= a2= a2阴影部分的面积= a2+ a2= a2故答案为： a2【点评】本题考查正方形的性质，正方形的四个边长相等，关键是连接 BD，把阴影部分分成两部分计算16如图，ABC 中，ACB=90，BC=6cm，AC=8cm，动点 P 从 A 出发，以 2cm/s 的速度沿AB
24、C 的边按 ABCA 的顺序运动一周，则点 P 出发 2 或 2.5 或 11 或 1.4 s 时，BCP 为等腰三角形【考点】勾股定理；等腰三角形的判定【专题】动点型【分析】根据ACB=90，BC=6cm，AC=8cm，利用勾股定理求出 AB 的长，当点 P 在 AB 边上时；当点 P 在 BC 边上时，不存在BCP；点 P 在 AC 边上时；利用 P 点的运动速度求出时间即可，注意分类讨论【解答】解；ABC 中，ACB=90，BC=6cm，AC=8cm，AB= = =10（cm），当点 P 在 AB 边上时，当 BP=BC=6cm 时，AP=ABBP=106=4，动点 P 从 A 出发，以
25、 2cm/s 的速度沿 AB 移动，42=2，点 P 出发 2s 时，BCP 为等腰三角形；当 PC=PB 时，P 为斜边 AB 的中点，此时 AP=BP=PC=5cm，52=2.5，点 P 出发 2.5s 时，BCP 为等腰三角形；当 BC=PC 时，过点 C 作 CDAB 于点 D，如图 1 所示：则BCDBAC， = ，即 ，解得：BD=3.6，BP=2BD=7.2，AP=107.2=2.8，2.82=1.4，点 P 出发 1.4s 时，BCP 为等腰三角形；当点 P 在 BC 边上时，不存在BCP；点 P 在 AC 边上时，CP=CB=6，AB+BC+CP=10+6+6=22，222=
26、11，点 P 出发 11s 时，BCP 为等腰三角形综上所述：点 P 出发 2s 或 2.5s 或 11s 或 1.4s 时，BCP 为等腰三角形；故答案为：2 或 2.5 或 11 或 1.4【点评】此题主要考查勾股定理和等腰三角形的判定，解答此题的关键是首先根据勾股定理求出AB 的长，然后再利用等腰三角形的性质去判定三、全面答一答（本题有 7 小题，共 66 分，）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17先化简，再求值： （x+2 ），其中 x 满足 x（x 24）=0【考点】分式的化简求值【专题】计算题【分析】先把括号内通
27、分和把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分得到原式，接着解 x（x 24）=0，然后利用分式有意义的条件确定 x 的值，再把 x 的值代入计算即可【解答】解：原式= = = ，解 x（x 24）=0 得 x=0 或 x=2 或 x=2，因为 x0 且 x2，所以 x=2，当 x=2 时，原式= = 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式18为了深化我省义务教育课程改革，某校积极开展本校课程建设，计划成立“科普观察”、“架子
28、鼓”、“足球”、“摄影”等多个社团，要求每个学生都自主选择其中一个社团为此，随机调查了本校七、八、九年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如图统计表（不完整）：某校被调查学生选择社团意向统计表选择意向架子鼓 科普观察 足球 摄影 其他所占百分比30% a b 10% c根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求架子鼓和摄影社团的人数及 a，b 的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有 1200 名学生，试估计全校选择“科普观察”社团的学生人数【考点】条形统计图；用样本估计总体；统计表【分析】（1）根据统计图和表格中的数据可以求得本次抽查的人数，从而可以解答本题；（2）根据（
29、1）中求得的架子鼓和摄影社团的人数，可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图和表格中的数据可以估计全校选择“科普观察”社团的学生人数【解答】解：（1）由图可得，本次抽查的学生有：（70+40+10）（130%10%）=12060%=200（人），架子鼓的人数为：20030%=60，摄影社团的人数为：20010%=20，a= ，b= ，即架子鼓的人数为 60，摄影社团的人数为 20，a 的值是 35%，b 的值是 20%；（2）由（1）知架子鼓的人数为 60，摄影社团的人数为 20，故补全的条形统计图如右图所示；（3）由题意可得，120035%=420（人），即全校选择“科普观察”社团的学生人
30、数是 420【点评】本题考查条形统计图、统计表、用样本股及总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答19某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯，物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元销售过程中发现，月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可看作一次函数：y=10x+n（1）当销售单价 x 定为 25 元时，李明每月获得利润 w 为 1250 元，求 n 的值；（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，得到
31、 n 的值，本题得以解决；（2）根据题意可以得到 w 与 x 的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题【解答】解：（1）由题意可得，（2520）（1025+n）=1250，解得，n=500，即 n 的值是 500；（2）w=（x20）（10x+500）=10x 2+700x10000=10（x35） 2+2250，x=35 时，w 取得最大值，此时 w=2250，即当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 2250 元【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件20如图，矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，BC 在 x
32、轴上，一次函数 y=kx2 的图象经过点 A、C，并与y 轴交于点 E，反比例函数 y= 的图象经过点 A（1）点 E 的坐标是 （0，2） ；（2）求反比例函数的解析式；（3）求当一次函数的值小于反比例函数的值时，x 的取值范围【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）一次函数 y=kx2 中代入 x=0 求得 y 的值，即可求得点 E 的坐标；（2）利用ACDCEO 求得点 A 的坐标后代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；（3）首先确定两个函数的交点坐标，然后结合图象确定 x 的取值范围即可【解答】解：（1）一次函数 y=kx2 中令 x=0 得 y=2，所以 E
33、（0，2）；（2）OCE=ACB，RtOCERtBCA， = ，即 = ，解得 OC=4，C 点坐标为（4，0）；（2）把 C（4，0）代入 y=kx2 得 4k2=0，解得 k= ，一次函数解析式为 y= x2；OC=4，A 点坐标为（6，1），把 A（6，1）代入 y= 得 m=61=6，反比例函数解析式为 y= ；（3）令解得 ，另一个交点（2，3），观察图象得：当 x2 或 0x6 时次函数的值小于反比例函数的值【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力21如图，已知O 的直径
34、 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 EO 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F，且 AD=3，cosBCD= （1）求证：CDBF；（2）求O 的半径；（3）求弦 CD 的长【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【专题】证明题【分析】（1）由 BF 是O 的切线得到 ABBF，而 ABCD，由此即可证明 CDBF；（2）连接 BD，由 AB 是直径得到ADB=90，而BCD=BAD，cosBCD= ，所以 cosBAD=，然后利用三角函数即可求出O 的半径；（3）由于 cosDAE= ，而 AD=3，由此求出 AE，接着利用勾股定理可以求出 ED，也就求
35、出了CD【解答】（1）证明：BF 是O 的切线，ABBF，ABCD，CDBF；（2）解：连接 BD，AB 是直径，ADB=90，BCD=BAD，cosBCD= ，cosBAD= ，又AD=3，AB=4，O 的半径为 2；（3）解：BCD=DAE，cosBCD=cosDAE= ，AD=3，AE=ADcosDAE=3 = ，ED= ，CD=2ED= 【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题22如图，已知 tanEOF=2，点 C 在射线 OF 上，OC=12点 M 是EOF 内一点，MCOF
36、 于点C，MC=4在射线 CF 上取一点 A，连结 AM 并延长交射线 OE 于点 B，作 BDOF 于点 D（1）当 AC 的长度为多少时，AMC 和BOD 相似；（2）当点 M 恰好是线段 AB 中点时，试判断AOB 的形状，并说明理由；（3）连结 BC当 SAMC =SBOC 时，求 AC 的长【考点】相似三角形的判定与性质【分析】（1）由于MCA=BDO=Rt，所以AMC 和BOD 相似时分两种情况：AMCBOD；AMCOBD则两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等及 tanEOF=2 列出关于AC 的方程，解方程即可求出 AC 的长度；（2）先由 MCBD，得出AMCABD，根据
37、相似三角形对应边的比相等及三角形中位线的性质求出 BD=2MC=8，OD=4，CD=8，AC=CD=8，再利用 SAS 证明AMCBOD，得到CAM=DBO，根据平行线的性质及三角形内角和定理求出ABO=90，进而得出ABO 为直角三角形；（3）设 OD=a，根据 tanEOF=2 得出 BD=2a，由三角形的面积公式求出 SAMC =2AC，S BOC =12a，根据 SAMC =SBOC ，得到 AC=6a由AMCABD，根据相似三角形对应边的比相等列出关于 a 的方程，解方程求出 a 的值，进而得出 AC 的长【解答】解：（1）MCA=BDO=Rt，AMC 和BOD 中，C 与 D 是对
38、应点，AMC 和BOD 相似时分两种情况：当AMCBOD 时， =tanEOF=2，MC=4， =2，解得 AC=8；当AMCOBD 时， =tanEOF=2，MC=4， =2，解得 AC=2故当 AC 的长度为 2 或 8 时，AMC 和BOD 相似；（2）ABO 为直角三角形理由如下：MCBD，AMCABD， ，AMC=ABD，M 为 AB 中点，C 为 AD 中点，BD=2MC=8tanEOF=2，OD=4，CD=OCOD=8，AC=CD=8在AMC 与BOD 中，AMCBOD（SAS），CAM=DBO，ABO=ABD+DBO=AMC+CAM=90，ABO 为直角三角形；（3）连结 BC
39、，设 OD=a，则 BD=2aS AMC =SBOC ，S AMC = ACMC=2AC，S BOC = OCBD=12a，2AC=12a，AC=6aAMCABD， ，即 ，解得 a1=3，a 2= （舍去），AC=63=18【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积，三角形中位线定理，综合性较强，有一定难度进行分类讨论是解决第一问的关键23关于 x 的函数 y=2mx2+（1m）x1m（m 是实数），探索发现了以下四条结论：函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；当 m=3 时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）；当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于
40、 ；当 m0 时，函数图象总经过两个定点请你判断四条结论的真假，并说明理由【考点】二次函数的性质；抛物线与 x 轴的交点【分析】通过反例即可判断；把 m=3 代入，然后化成顶点式即可判断；求得与 x 轴的交点，进而求得|x 1x 2|的值，即可判断；由 y=2mx2+（1m）x1m=（2x 2x1）m+x1，可知当 2x2x1=0 时，y 的值与 m 无关，此时 x1=1，x 2= ，当 x1=1，y=0；当 x2= 时，y 2= ，从而判定函数图象总经过两个定点（1，0），（ ， ）【解答】解：假命题； 当 m=0 时，y=x1 为一次函数与坐标轴只有两个交点，真命题； 当 m=3 时，y=6x 2+4x+2=6（x ） 2+ ，顶点坐标是（ ， ），真命题； 当 m0 时，由 y=0 得：=（1m） 242m（1m）=（3m+1） 2，x= ，x 1=1，x 2= ，|x 1x 2|= + ，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 ；真命题； 当 m0 时，y=2mx 2+（1m）x1m=（2x 2x1）m+x1，当 2x2x1=0 时，y 的值与 m 无关此时 x1=1，x 2= ，当 x1=1，y=0；当 x2= 时，y 2= ，函数图象总经过两个定点（1，0），（ ， ）【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与二次函数的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
