1、回扣 8 计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种方法，在第二类办法中有 m2 种方法，在第 n 类办法中有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm 1m 2m n种方法(也称加法原理).2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m1 种方法，做第二步有 m2 种方法，做第 n 步有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm 1m2mn种方法(也称乘法原理).3.排列 (1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 .(2)排列数的定
2、义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 A 表示.mn(3)排列数公式：A n(n1)(n2)( nm 1).mn(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，A n(n1)(n2) 21n！.排列数公式写成阶乘的形式为 A ，这里规定n mnn！n m！0！1.4.组合(1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个
3、不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 C 表示.mn(3)组合数的计算公式：C ，由于mnAmnAm n！m！ n m！ nn 1n 2n m 1m！0！1，所以 C 1.0n(4)组合数的性质：C C ；C C C .mn n mn mn 1 mn m 1n5.二项式定理(ab) nC anC an1 b1C ank bkC bn0n 1n kn n(nN *).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab) n的二项展开式，其中的系数C (k0，1，2，n) 叫做二项式系数.式中的 C ank bk叫做二项展开式的通项，用 Tk1kn kn表示，即展开式的第 k1 项：T k1 C a
4、nk bk.kn6.二项展开式形式上的特点(1)项数为 n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，C .0n 1n n 1n n7.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C C .mn n mn(2)增减性与最大值：二项式系数 C ，当 k 时，knn 12 n 12二项式系数是递减的.当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项 的二项式
5、系数最大.12+nT当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项 和 的二项式系数相等且最大.-12+n(3)各二项式系数的和(ab) n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C C C C C 2 n.0n 1n 2n kn n二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C C C C C C 2 n1 .1n 3n 5n 0n 2n 4n1.关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分
6、步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.(2)混合问题一般是先分类再分步.(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.3.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2) 合理分类与准确分步；(3) 排列、组合混合问题先选后排；(4)
7、 相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.4.对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数” ，审题时要仔细.项的系数与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再求所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系.(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为 0，1.(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用
8、整体思想看待 a、b.1.用 1，2，3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A.36 个 B.18 个 C.9 个 D.6 个答案 B解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1 Error!，共可确定 8 个四位数，但其中不符合要求的有 2 个，所以所确定的四位数 应有 18 个，故选 B.2.某学习小组男女生共 8 人，现从男生中选 2 人，女生中选 1 人，分别去做 3 种不同的工作，共有 90 种不同的选法，则男，女生人数为( )A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2答案 B解析 设男生人数为 n，则女生人数
9、为 8n，由 题意可知 C C A 90，即2n 18 n 3C C 15，解得 n3，所以男，女生人数为 3，5，故选 B.2n 18 n3.将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( )A.150 种 B.180 种 C.240 种 D.540 种答案 A解析 先将 5 个人分成三组，(3， 1，1)或(1 ，2，2)，分 组方法有 C C 25(种)，再将35 15C24C22三组全排列有 A 6(种)，故总的方法数有 256150(种).34.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班
10、主任(每班 1 位班主任) ，要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( )A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种答案 B解析 因为要求 3 位班主任中男、女教 师都要有，所以共有两种情况， 1 男 2 女或 2 男 1 女.若选出的 3 位教师是 1 男 2 女则共有 C C A 180(种)不同的选派方法，若选出的 3 位教15 24 3师是 2 男 1 女则共有 C C A 240(种)不同的选派方法，所以共有 180240420(种) 不同25 14 3的方案，故选 B.5.若二项式(2x )7 的展开式中 的系数是 84，则实数 a 等于(
11、 )ax 1x3A.2 B. C.1 D.5424答案 C解析 二项式(2x )7 的通项 公式为 Tk1 C (2x)7k ( )kC 27k akx72k ，令 72k3，ax k7 ax k7得 k5.故展开式中 的系数是 C 22a584，解得 a1.1x3 576.(x1) 44x(x1) 36x 2(x1) 24x 3(x1)x 4 等于( )A.1 B.1 C.(2x1) 4 D.(12x )5答案 B解析 (x1) 44x (x1) 36x 2(x1) 24x 3(x1)x 4(x1)x) 41.7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的
12、发言顺序有( )A.30 种 B.600 种 C.720 种 D.840 种答案 C解析 A A 720(种).47 458.如图，花坛内有 5 个花池，有 5 种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( )A.180 B.240 C.360 D.420答案 D解析 若 5 个花池栽了 5 种颜色的花卉，方法有 A 种，若 5 个花池栽了 4 种颜色的花卉，5则 2，4 两个花池栽同一种颜色的花，或 3，5 两个花池栽同一种颜色的花，方法有 2A 种；45若 5 个花池栽了 3 种颜色的花卉，方法有 A 种，所以最多有 A 2A A 42
13、0( 种).35 5 45 359.(x )5 的各项系数和是 1 024，则由曲线 yx 2 和 yx a围成的封闭图形的面积为_.1ax答案 512解析 设 x1，则各项系数和为(1 )51 0244 5，所以 a ，联立Error!可得交点坐标分1a 13别为(0，0) ，(1，1)，所以曲线 yx 2 和 yx 围成的封闭图形的面积为 (x x 2)dx310 3Error! .(34x 13x3) 34 13 51210.圆上有 10 个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为_.答案 120解析 圆上任意三点都不共线，因此有三角形 C 120(个).31011.
14、一排共有 9 个座位，现有 3 人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有_种.答案 36解析 可先考虑 3 人已经就座，共有 A 6(种) ，再考 虑剩余的 6 个空位怎么排放，根据要3求可产生把 6 个空位分为 1，1，2，2，放置在由已经坐定的 3 人产生的 4 个空中，共有C 6，所以不同的坐法共有 6636( 种).2412.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有_种.答案 24解析 先把甲、乙捆绑在一起有 A
15、种情况，然后 对甲、乙整体和戊进行排列，有 A 种情况，2 2这样产生了三个空位，插入丙、丁，有 A 种情况，所以着舰方法共有23A A A 22624(种).2 2 2313.实验员进行一项实验，先后要实施 5 个程序(A，B，C，D，E) ，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程序 C 或 D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有_种.答案 24解析 依题意，当 A 在第一步时，共有 A A 12(种) ；当 A 在最后一步时，共有2 3A A 12( 种). 所以实验的编排方法共有 24 种.2 314.用 1，2，3，4，5，6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左右两
16、端，2，4，6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_.答案 288解析 从 2，4，6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个“整体 ”，方法有 A 6( 种)，先排 3 个23奇数，有 A 6(种)，形成了 4 个空，将“整体”和另一个偶数插在 3 个奇数形成的 4 个空3中，方法有 A 12(种).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有246612432(种).若 1 排在两端， 1 的排法有 A A 4( 种)，形成了 3 个空，将“整体”和12 2另一个偶数插在 3 个奇数形成的 3 个空中，方法有 A 6(种) ，根据分步乘法 计数原理求得23此时满足条件的六位数共有 646144(种) ，故 满足 1 不在左右两端，2，4，6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样 的六位数的个数为 432 144288(种).
