1、第 43 练 函数与方程思想思想方法解读 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数 yf(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也
2、离不开不等式.(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.体验高考1.(2015湖南)已知函数 f(x)Error!若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a的取值范围是_.答案 (，0)(1 ，)解析 函数 g(x)有两个零点，即方程 f(x)b0 有两个不等实根，则函数 yf(x)
3、和 yb 的图象有两个公共点 .若 aa 时，f(x)x 2，函数先 单调递减后单调递 增，f(x)的图象如图(1) 实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点 .若 0a1，则 a3a 2，函数 f(x)在 R 上单调递增，f (x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 yb 至多有一个公共点.若 a1，则 a3a2，函数 f(x)在 R 上不单调 ，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点.综上，a1.2.(2015安徽)设 x3axb0，其中 a，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号 ).a3，b3；a3，
4、b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.答案 解析 令 f(x)x 3ax b，f(x)3x 2a，当 a0 时，f(x)0，f(x) 单调递增，必有一个实根，正确；当 a0，b2，正确， 错误.所有正确条件 为.3.(2016课标全国甲)已知函数 f(x)(xR )满足 f(x)2f(x )，若函数 y 与 yf(x) 图象x 1x的交点为(x 1，y 1)，( x2，y 2)， ，(x m，y m)，则 (xiy i)等于( )mi 1A.0 B.m C.2m D.4m答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据 f(x) 2f (x)可设函数 f(x)x1，由 y ，解得两x 1x个点的坐标
5、为Error!Error! 此时 m2，所以 (xiy i)m，故 选 B.mi 1方法二 由题设得 (f(x)f(x)1，点(x，f (x)与点( x，f(x)关于点(0 ，1)对称，则 yf (x)12的图象关于点(0，1)对称.又 y 1 ，x0 的图象也关于点(0，1)对称.x 1x 1x则交点(x 1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对，且关于点(0， 1)对 称.则 (xi，yi) i i0 2m，故 选 B.mi 1mi 1xmi 1y m2高考必会题型题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例 1 (2016天津)已知函数 f(x)Error!(a0，且 a
6、1) 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|2x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( )A. B. C. D. (0，23 23，34 13，23 34 13，23) 34答案 C解析 由 ylog a(x1)1 在0， )上递减，得 02，即 a 时，由 x2(4a3)x3a2x(其中 xf( x)，且 f(0)1，则不等式 0，所以不等式的解集为(0，). 故选 B.点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示
7、函数关系，使问题更明朗化 .一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.变式训练 2 已知 f(x)log 2x，x2，16 ，对于函数 f(x)值域内的任意实数 m，则使x2mx42m 4x 恒成立的实数 x 的取值范围为( )A.( ，2 B.2，)C.(，22，) D.(，2) (2，)答案 D解析 x2，16，f(x ) log2x1，4，即 m1，4.不等式 x2mx42m4x 恒成立，即为 m(x2)(x2) 20 恒成立，设 g(m)(x2)m( x2) 2，则此函数在1，4上恒大于 0，所以Error! 即Error!解得 x2.题型三 函数与方程思想在数列中的应用例
8、 3 已知数列a n是首项为 2，各项均为正数的等差数列， a2，a 3，a 41 成等比数列，设bn (其中 Sn是数列 an的前 n 项和)，若对任意 nN *，不等式1Sn 1 1Sn 2 1S2nbnk 恒成立，求实数 k 的最小值.解 因为 a12，a a 2(a41)，23又因为a n是正项等差数列，故 d0，所以(22d) 2(2 d)(3 3d)，得 d2 或 d1(舍去)，所以数列a n的通项公式 an2n.因为 Snn(n1)，bn 1Sn 1 1Sn 2 1S2n 1n 1n 2 1n 2n 3 12n2n 1 1n 1 1n 2 1n 2 1n 3 12n 12n 1
9、.1n 1 12n 1 n2n2 3n 1 12n 1n 3令 f(x)2x (x1)，1x则 f(x )2 ，当 x1 时，f ( x)0 恒成立，1x2所以 f(x)在1，)上是增函数，故当 x1 时，f( x)minf(1)3，即当 n1 时，(b n)max ，16要使对任意的正整数 n，不等式 bnk 恒成立，则须使 k(b n)max ，所以实数 k 的最小值为 .16 16点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程) 化法类似，但要注意数列问题中 n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步：分析数列式子的结构特征.第
10、二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程) ，转化问题 形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数 (方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究 .第四步：回归问题.结合对函数(方程) 相关性质的研究，回 归问题 .变式训练 3 设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，(n1) SnnS n1 (nN *).若 1，则( )a8a7A.Sn的最大值是 S8 B.Sn的最小值是 S8C.Sn的最大值是 S7 D.Sn的最小值是 S7答案 D解析 由条件得 ，即 ，所以 ana n1 ，所以等差数列Snn Sn 1n 1 na1 an2n n 1a1 an 12n 1
11、an为递增数列.又 1，所以 a80，a 70，即数列a n前 7 项均小于 0，第 8 项大于零，所以 Sn的最小值a8a7为 S7，故选 D.题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例 4 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 ，离心率为 ，直线 l 与222y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且 3 .AP PB (1)求椭圆 C 的方程；(2)求 m 的取值范围 .解 (1)设椭圆 C 的方程为 1 (ab0)，y2a2 x2b2设 c0，c2a 2b 2，由题意，知 2b ， ，所以 a1， bc .2ca 22 22故椭圆 C 的方程
12、为 y2 1，即 y22x 21.x212(2)当直线 l 的斜率不存在时，也满足 3 ，此时 m .AP PB 12当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm (k0)，l 与椭圆 C 的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error! 得(k 22)x 22kmx (m21)0，(2km) 24( k22)(m 21) 4(k 22m 22)0，(*)x1x 2 ，x1x2 . 2kmk2 2 m2 1k2 2因为 3 ，所以x 13x 2，AP PB 所以Error! 则 3(x1x 2)24x 1x20，即 3 24 0，( 2kmk2 2) m2 1k2 2
13、整理得 4k2m22m 2k 220，即 k2(4m21)2m 220，当 m2 时，上式不成立；14当 m2 时，k 2 ，14 2 2m24m2 1由(*)式，得 k22m22，又 k0，所以 k2 0，2 2m24m2 1解得10 或 0 中，即可求出目标参数的取值范围.第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判 别式对某些量的制约， 这是求解 这类问题的关键环节.变式训练 4 已知点 F1(c ， 0)，F 2(c， 0)为椭圆 1(ab0)的两个焦点，点 P 为椭x2a2 y2b2圆上一点，且 c 2，则此椭圆离心率的
14、取值范围是_.PF1 PF2 答案 33，22解析 设 P(x，y)，则 (cx，y)( cx ， y)PF1 PF2 x 2c 2y 2 c2， 将 y2b 2 x2 代入式解得b2a2x2 ，2c2 b2a2c2 3c2 a2a2c2又 x20 ，a2，2c 2a 23c 2，e .ca 33，22高考题型精练1.关于 x 的方程 3xa 22a，在( ，1上有解，则实数 a 的取值范围是( )A.2，1) (0，1 B.3，2)0 ，1C.3，2)(0，1 D.2，1)0，1答案 C解析 当 x(，1时，3 x(0，3，要使 3x a22 a 有解，a 22a 的值域必须为(0，3，即
15、00，F(x)在( ，1) 上递减，在(1 ，) 上递增，F(x)的最小值为 F(1)1 ，所以 a1 ，1e 1e故选 D.3.已知 f(x)x 24x 4，f 1(x)f (x)，f 2(x)f (f1(x)，f n(x)f(f n1 (x)，函数 yf n(x)的零点个数记为 an，则 an等于( )A.2n B.2n1 C.2n1 D.2n或 2n1答案 B解析 f 1(x)x 24x 4(x 2) 2，有 1 个零点 2，由 f2(x)0 可得 f1(x)2，则 x2 或2x2 ，即 yf 2(x)有 2 个零点，由 f3(x)0 可得 f2(x) 2 或 2 ，则(x2) 222
16、2 2或 (x2) 22 ，即 yf 3(x)有 4 个零点，以此类推可知，yf n(x)的零点个数 an2 n1 .故2 2选 B.4.已知函数 f(x)ln x x 1，g(x)x 22bx4，若对任意 x1(0，2)，x 21 ，2，14 34x不等式 f(x1)g(x 2)恒成立，则实数 b 的取值范围为_.答案 ( ，142解析 问题等价于 f(x)ming(x) max.f(x)ln x x 1，14 34x所以 f(x) ，1x 14 34x2 4x x2 34x2令 f(x )0 得 x24x32 时，g( x)maxg(2) 4b8.故问题等价于Error!或 Error!或
17、Error!解第一个不等式组得 b，则 (0 ，1)，(1，)，若函数 yf(x )在(e，)内有异号零点，即 y( x)在(e，)内有异号零点，所以 e，又 (0)10 ，所以 (e)e 2(2a)e1e 2，1e所以实数 a 的取值范围是(e 2，).1e8.已知 f(x)e xax1.(1)求 f(x)的单调增区间；(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围.解 (1)f(x) exax1(x R)，f(x )e xa.令 f(x )0，得 exa，当 a0 时，f(x)0 在 R 上恒成立；当 a0 时，有 xln a.综上，当 a0 时，f(x )的单调增区间为(
18、 ，)；当 a0 时，f( x)的单调增区间为(ln a，).(2)由(1)知 f(x)e xa.f(x)在 R 上单调递增，f(x )e xa0 恒成立，即 ae x在 R 上恒成立.当 xR 时，e x0，a0，即 a 的取值范围是(， 0.9.已知椭圆 C： 1(ab0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率为 .直线 yk(x1) 与椭x2a2 y2b2 22圆 C 交于不同的两点 M，N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当AMN 的面积为 时，求 k 的值.103解 (1)由题意得Error!解得 b .2所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y22(2)由Error!得(12k 2)x2
19、4k 2x2k 240.设点 M，N 的坐标分别为(x 1，y1)，(x2，y2)，则 x1x 2 ，x1x2 .4k21 2k2 2k2 41 2k2所以|MN | x2 x12 y2 y12 1 k2x1 x22 4x1x2 .21 k24 6k21 2k2又因为点 A(2，0)到直线 yk(x1)的距离 d ，|k|1 k2所以AMN 的面积为 S |MN|d .12 |k| 4 6k21 2k2由 ，解得 k1.|k| 4 6k21 2k2 103所以 k 的值为 1 或1.10.已知等比数列a n满足 2a1a 33a 2，且 a32 是 a2， a4 的等差中项.(1)求数列a n的通项公式.(2)若 bna nlog 2 ，S nb 1b 2b n，求使 Sn2 n1 470，解得 n9 或 n10.因为 nN *，故使 Sn2 n1 470 成立的正整数 n 的最小值为 10.
