1、第 47 练 配方法与待定系数法题型分析 高考展望 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”) 的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项” 、 “配”与“凑”的技巧，完全配方.配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求
2、和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.高考必会题型题型一 配方法例 1 (1)设 x2，8时，函数 f(x) loga(ax)loga(a2x)(a0，且 a1)的最大值是 1，最小12值是 ，则 a 的值是_.18(2)函数 ycos 2x2sin x 的最大值为 _.(3)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 (2，2) ， (4，1)，在 x 轴上取OA OB 一点 P，使 有最小值，则 P 点的坐标是_.AP BP 答案 (1) (2) (3)(3，0)12 32解析 (1)由题意知 f(x) (logax1
3、)(log ax2)1212logax2 3logax 2 (logax )2 .12 32 18当 f(x)取最小值 时，log ax ，18 32又x2 ，8，a(0，1).f(x)是关于 logax 的二次函数，函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 处取得.若 (loga2 )2 1，12 32 18则 a2 ，3f(x)取得最小值时，x (2 ) 2，8，舍去.3122若 (loga8 )2 1，12 32 18则 a ，f(x)取得最小值时，12x( ) 2 2，8，12 32a .12(2)ycos 2x2sin x12sin 2x2sin x2(sin 2xsin x)12
4、(sin x )22 112 142(sin x )2 .12 32因为1sin x 1，所以当 sin x 时，y 取最大值 ，12最大值为 .32(3)设 P 点坐标为(x ，0)，则 (x2，2) ， (x4，1)，AP BP (x2)(x4)(2) (1)x 26x10(x3) 21，AP BP 当 x3 时， 有最小值 1，AP BP 此时点 P 坐标为(3，0).点评 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方式(ab) 2a 22abb 2，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出 现完全平方.它主要适
5、用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题.如：yx 2bx cx 22 x( )b2 b22( )2c(x )2 ，yax 2bxc a( x2 x) cax 22 x( )2( )2b2 b2 4c b24 ba b2a b2a b2aca(x )2 .b2a 4ac b24变式训练 1 (1)若函数 f(x)m 的定义域为a，b，值域为 a，b，则实数 m 的取值x 3范围是_.(2)已知函数 ysin 2xasin x 的最大值为 2，则 a 的值为_.a4 12(3)已知向量 a( 2， 2cos 2)，b(m ， sin )，其中 ，m，
6、为实数，若 a2b，m2则 的取值范围是_.m答案 (1) 1，即 a2 时，a2函数 y(t )2 (a2a2) 在1，1上单调递增，a2 14所以由 ymax 1a a 2，14 12得 a .103当 n210n4 恒成立，当c n为递 减数列 时，c ncn1 ，即 ak1 且 akak1 成立 (其中 k2，kN *)，则称 ak为数列a n的峰值，若 an3n 215n18，则a n的峰值为( )A.0 B.4 C. D.133 163答案 A解析 因为 an3(n )2 ，且 nN *，52 34所以当 n2 或 n3 时，a n取最大 值，最大值为 a2a 30，故峰值为 0.
7、2.若点 O 和点 F(2，0) 分别为双曲线 y 21(a0)的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支x2a2上的任意一点，则 的取值范围为 _.OP FP 答案 32 ，)3解析 由条件知 a212 24，a 23，双曲线方程为 y 21，x23设 P 点坐标为(x，y )，则 (x，y)， (x2，y )，OP FP y 2 1，x23 x 2 2xy 2x 22x 1OP FP x23 x22x1 (x )2 .43 43 34 74又x (P 为右支上任意一点 )， 32 .3 OP FP 33.已知 a 为正的常数，若不等式 1 对一切非负实数 x 恒成立，则 a 的最大值1 xx2
8、x2a为_.答案 8解析 原不等式即 1 ，(*)x2a x2 1 x令 t ，t1，1 x则 xt 21，所以(*)即 1 tt2 12a t2 12 对 t1 恒成立，t2 2t 12 t 122所以 对 t1 恒成立，t 12a 12又 a 为正的常数，所以 a2(t1) 2min8，故 a 的最大值是 8.4.设 e1，e 2 为单位向量，非零向量 bx e1ye 2，x ，yR，若 e1，e 2 的夹角为 ，则 的最6 |x|b|大值等于_.答案 2解析 |b| 2 (xe1ye 2)2x 2y 22xye 1e2x 2y 2 xy.3 ，|x|b| |x|x2 y2 3xy当 x0
9、 时， 0；|x|b|当 x0 时， 2.|x|b|1yx2 3yx 11yx 322 145.(2015浙江)已知 e1，e 2 是空间单位向量，e 1e2 ，若空间向量 b 满足12be12 ，b e2 ，且对于任意 x，yR ，|b(xe 1ye 2)| b( x0e1y 0e2)|1(x 0，y 0R)，52则 x0_，y 0_，| b|_.答案 1 2 2 2解析 方法一 由题意得 xx 0，yy 0时， |b(xe 1y e2)|取得最小值 1，把|b(xe 1ye 2)|平方，转化为|b| 2x 2y 2xy4x5y，把 x2y 2xy4x5y 看成关于 x 的二次函数，利用二次
10、函数的性质确定最值及取最值的条件.对于任意 x，yR，|b(xe 1ye 2)|b(x 0e1y 0e2)|1( x0，y0R)，说明当 xx 0，yy 0时，| b( xe1ye 2)|取得最小 值 1.|b (xe1ye 2)|2| b|2(x e1ye 2)22b( xe1ye 2)|b| 2x 2y 2xy4x5y，要使|b|2x 2y 2xy4x 5y 取得最小 值，需要把 x2y 2xy 4x5y 看成关于 x 的二次函数，即 f(x)x 2(y4)xy 25y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 x2 ，所以当y2x2 时，f(x)取得最小值，代入化简得 f(x) (y2)
11、 27 ，显然当 y2 时，f(x) min7，此y2 34时 x2 1，所以 x01，y 02.此时|b| 271，可得|b|2 .y2 2方法二 e 1e2|e 1|e2|cose1，e2 ，12e 1，e2 .3不妨设 e1 ，e2(1， 0，0)，b(m， n，t).(12，32，0)由题意知Error!解得 n ，m ，32 52b .(52，32，t)b(x e1ye 2) ，(52 12x y，32 32x，t)|b ( xe1ye 2)|2 2 2t 2x 2xyy 24x5yt 27 2 (y2) 2t 2.由题(52 x2 y) ( 32 32x) (x y 42 ) 34
12、意知，当 xx 01，y y 02 时， 2 (y2) 2t 2 取到最小值.此时 t21，故|b| (x y 42 ) 342 .(52)2 ( 32)2 t2 26.已知函数 f(x)x 2ax b 2b1(aR ，bR )，对任意实数 x 都有 f(1x)f(1x )成立，若当 x1，1时，f(x)0 恒成立，则 b 的取值范围是_.答案 (，1)(2 ，)解析 由于对任意实数 x 都有 f(1x )f (1x )成立，则 f(x)的对称轴为 x1，所以 a2，f(x)x 22xb 2b1 (x1) 2b 2b2，则 f(x)在区间1，1上单调递增，当 x 1，1时，要使 f(x)0 恒
13、成立，只需 f(1)0，即 b2b20，则 b2.7.(2015陕西)若抛物线 y22px( p0)的准线经过双曲线 x2y 21 的一个焦点，则p_.答案 2 2解析 由于双曲线 x2y 21 的焦点为( ，0)，故 应有 ，p2 .2p2 2 28.(2015北京改编)已知双曲线 y 21( a0)的一条渐近线为 xy 0，则该双曲线的方x2a2 3程为_.答案 3x 2y 21解析 双曲线 y 21( a0)的渐近线方程为 y x，x2a2 1ax y0y x，3 3a0，则 ，a ，1a 3 33则该双曲线的方程为 3x2y 21.9.设函数 f(x)ka xa x (a0 且 a1)
14、是定义域为 R 的奇函数，若 f(1) ，且 g(x)32a 2x a2x 4 f(x)，求 g(x)在1 ，)上的最小值.解 f(x) 是定义域为 R 的奇函数，f(0)0，k10，即 k1.f(1) ，a ，32 1a 32即 2a23a20，a2 或 a (舍去)，12g(x)2 2x2 2x 4(2 x2 x )(2 x2 x )24(2 x2 x )2.令 t(x)2 x2 x (x1)，则 t(x )2 xln 22 x ln 20，t(x)在1，)上为增函数，即 t(x)t(1) ，32原函数变为 w(t)t 24t2(t2) 22，当 t2 时，w(t) min2，此 时 xl
15、og 2(1 ).2即 g(x)在 xlog 2(1 )时取得最小值2.210.(2015安徽)设椭圆 E 的方程为 1(ab0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为x2a2 y2b2(a， 0)，点 B 的坐标为 (0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足| BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为.510(1)求 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为(0 ，b)， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ，求 E 的方程.72解 (1)由题设条件知，点 M 的坐标为 ，(23a，13b)又 kOM ，从而 ，510 b2a 510进而得 a b，c 2b
16、，5 a2 b2故 e .ca 255(2)由题设条件和(1) 的计算结果可得，直线 AB 的方程为 1 ，x5b yb点 N 的坐标为 .(52b， 12b)设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ，(x1，72)则线段 NS 的中点 T 的坐标为 .(54b x12， 14b 74)又点 T 在直线 AB 上，且 kNSkAB1 ，从而有Error!解得 b3.所以 a3 ，故椭圆 E 的方程为 1.5x245 y2911.(2015浙江)已知椭圆 y 21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx 对称.x22 12(1)求实数 m 的取值范围；(2)求AOB 面积的最大值(O
17、 为坐标原点).解 (1)由题意知 m0，可 设 直线 AB 的方程为y xb.由Error!消去 y，1m得 x2 xb 210.(12 1m2) 2bm因为直线 y xb 与椭圆 y 21 有两个不同的交点，所以 2b 22 0， 1m x22 4m2将 AB 中点 M(2mbm2 2，m2bm2 2)代入直线方程 ymx ，解得 b ， 12 m2 22m2由得 m 或 m .63 63(2)令 t ，1m ( 62，0) (0，62)则|AB| ，t2 1 2t4 2t2 32t2 12且 O 到直线 AB 的距离为 d .t2 12t2 1设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)
18、 |AB|d ，12 12 2(t2 12)2 2 22当且仅当 t2 时，等号成立.12故AOB 面积的最大值为 .2212.已知数列a n的前 n 项和 Sn满足 Sn2a n(1) n(nN *).(1)求数列a n的前三项 a1，a 2，a 3；(2)求证：数列a n (1) n为等比数列，并求出a n的通项公式.23解 (1)在 Sn2a n(1) n(n N*)中分别令 n1，2， 3，得Error!解得Error!(2)由 Sn2a n(1) n(nN *)得，Sn1 2a n1 (1) n1 (n2) ，两式相减得an2a n1 2(1) n(n2)，an2a n1 (1) n (1) n43 232a n1 (1) n1 (1) n(n2)，43 23a n (1) n2 an1 (1) n1 (n2).23 23故数列a n (1) n是以 a1 为首项，23 23 132 为公比的等比数列.a n (1) n 2n1 ，23 13an 2n1 (1) n13 23 (1) n.2n 13 23
