1、第 4 练 用好基本不等式题型分析 高考展望 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查题目难度为中等偏上应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误体验高考1(2015四川)如果函数 f(x) (m2)x 2(n8) x1( m 0，n0) 在区间 上单调递减，12 12，2那么 mn 的最大值为( )A16 B18 C25 D.812答案 B解析 当 m2 时，f(x)在 ，2上 单调递减，120n8，mn2n16.m2 时，抛物线的对称轴为 x .n
2、8m 2据题意得，当 m2 时， 2，即 2mn12，n 8m 2 6，2mn2m n2mn18，由 2mn 且 2mn12 得 m3，n6.当 m2 时，抛物线开口向下，据题意得， ，即 m2n18，n 8m 2 12 9，2nm2n m2mn ，812由 2nm 且 m2n18 得 m92，故 应舍去要使得 mn 取得最大值，应有 m2n18(m2，n8)mn(182n)n(18 28)816，综上所述，mn 的最大值为 18，故 选 B.2(2015陕西)设 f(x)ln x,0ab，若 pf ( )，qf ，r (f(a)f (b)，则下列关ab (a b2 ) 12系式中正确的是(
3、)Aqrp BqrpCpr q Dpr q答案 C解析 0ab， ，a b2 ab又f(x )ln x 在(0 ，)上为 增函数，故 f f( )，即 qp.(a b2 ) ab又 r (f(a)f( b) (ln aln b)12 12 ln a ln bln(ab)12 12 12f( )p.ab故 prq.选 C.3(2015天津)已知 a0，b 0，ab8，则当 a 的值为_时，log 2alog2(2b)取得最大值答案 4解析 log 2alog2(2b)log 2a(1log 2b) 2 2(log2a 1 log2b2 ) (log2ab 12 ) 2 4，(log28 12 )
4、当且仅当 log2a1log 2b，即 a2b 时，等号成立，此时 a4， b2.4(2016江苏)在锐角三角形 ABC 中，若 sin A2sin Bsin C，则 tan Atan Btan C 的最小值是_答案 8解析 在ABC 中，ABC，sin Asin(BC )sin(BC)，由已知，sin A2sin Bsin C ，sin(BC)2sin Bsin C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，A，B，C 全为锐角，两边同时除以 cos Bcos C 得：tan Btan C 2tan Btan C.又 tan Atan(BC) .tan B tan C1
5、 tan BtanC tan B tan Ctan B tan C 1tan A(tan B tan C1)tan Btan C .则 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2 ，2tan Atan Btan C 2 ，tan Atan Btan C 2tan Atan Btan C8.5(2016上海)设 a0，b 0.若关于 x，y 的方程组Error!无解，则 ab 的取值范围是_答案 (2，)解析 由已知，ab1，且 ab，ab2 2.ab高考必会题型题型一 利用基本不等
6、式求最大值、最小值1利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等 ”，凑出定值是关键(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错2结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点” ，即把研究对象化成适用基本不等式的形式常见的转化方法有：(1)x xa a(x a)bx a bx a(2)若 1，则 mxny (mxny)1(mx ny ) ma nb2 (字母均为正数)ax by (ax by) abmn例 1 (1)已知正常数 a，b 满足 3，则( a1
7、)(b2)的最小值是 _1a 2b答案 509解析 由 3，得 b2a3ab，1a 2b(a1)( b2)2abab24ab2，又 a0，b0， 2 ，1a 2b 2abab (当且仅当 b2a 时取等号 )，89(a1)( b2)的最小值为 4 2 .89 509(2)求函数 y (x1) 的最小值x2 7x 10x 1解 设 x1t，则 xt1(t 0)，yt 12 7t 1 10tt 52 59.4t t4t当且仅当 t ，即 t2，且此时 x1 时，取等号，4ty min9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数 单调性求最值；二是利用基本不等式在利用基本不等式时往往都需要
8、变形， 变形的原则是在已知条件下通 过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或 “积”为定值等号能 够取得变式训练 1 已知 x0，y 0，且 2x5y20，(1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求 的最小值1x 1y解 (1)x0，y 0，由基本不等式，得 2x5y2 .10xy2x5y20，2 20 ，即 xy10，10xy当且仅当 2x5y 时等号成立因此有Error! 解得Error!此时 xy 有最大值 10.ulg xlg ylg(xy)lg 10 1.当 x5，y2 时，ulg xlg y 有最大值 1.(2)x0，y 0， 1x 1y (1x 1y)2x 5y20 ，1
9、20(7 5yx 2xy) 120(7 25yx2xy) 7 21020当且仅当 时等号成立5yx 2xy由Error! 解得Error! 的最小值为 .1x 1y 7 2 1020题型二 基本不等式的综合应用例 2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元，若每批生产 x 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费x8用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A60 件 B80 件 C100 件 D120 件答案 B解析 平均每件产品的费用为 y 2 20，当且 仅当 ，即800 x28x 800x x8 800x x8
10、 800x x8x80 时取等号，所以每批 应生产产品 80 件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小(2)某单位决定投资 3 200 元建一仓库( 长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，求：仓库面积 S 的最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米， 则顶部面积 S xy，依题设，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得 3 2002 20xy 120 20xy120 40x
11、90y xy 20S，则 S6 1600，即( 10)( 16) 0，故 0 10，从而 0S100，所S S S S S以 S 的最大允许值是 100 平方米，取得此最大 值的条件是 40x90y 且 xy100，解得 x15，即铁栅的长应设计为 15 米点评 基本不等式及不等式性 质应用十分广泛，在最 优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“ 三个条件”是否具备变式训练 2 (1)已知直线 axby60(a0，b0) 被圆 x2y 22x 4y0 截得的弦长为 2，则 ab 的最大值是_5答案 92解析 圆的方程变形为(x1) 2(y2) 25
12、，由已知可得直线 axby 60 过圆心 O(1,2)，a2b6(a0，b0)，6a2b2 ，2abab (当且仅当 a2b 时等号成立 )，92故 ab 的最大值为 .92(2)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x) x210x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x) 51x131 450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售10 000x完写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件) 的函数解析式；当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解
13、 当 0x80 时，L(x)1 000x0.05( x210x )25013 x240x250.13当 x80 时，L(x)1 000x0.05(51x 1 450)25010 000x1 200(x )10 000xL(x)Error!当 0x80 时，L (x) x240x250.13对称轴为 x60，即当 x60 时，L (x)最大 950(万元) 当 x80 时，L(x)1 200(x )10 000x1 2002 1 000(万元)，10 000当且仅当 x100 时，L (x)最大 1 000(万元) ，综上所述，当 x100 时，年获利最大高考题型精练1已知 x1，y 1，且 l
14、n x，ln y 成等比数列，则 xy( )14 14A有最大值 e B有最大值 eC有最小值 e D有最小值 e答案 C解析 x1，y 1，且 ln x，ln y 成等比数列，14 14ln xln y 2，14 (ln x ln y2 )ln xln yln xy1xye.2若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是( )A. B.245 285C5 D6答案 C解析 方法一 由 x3y5xy 可得 1，15y 35x3x4y(3x 4y )( )15y 35x 5(当且仅当 ，95 45 3x5y 12y5x 135 125 3x5y 12y5x即 x1，y 时，等号成
15、立)， 3x4y 的最小值是 5.12方法二 由 x 3y5xy 得 x ，3y5y 1x0，y0，y ，153x4y 4y9y5y 1 4135 9515y 15 (y 15) 2 5，135 3625当且仅当 y 时等号成立，123x4y 的最小值是 5.3若正数 a，b 满足 1，则 的最小值是( )1a 1b 1a 1 9b 1A1 B6C9 D16答案 B解析 正数 a，b 满足 1，1a 1bb 0，解得 a1.同理可得 b1，aa 1 1a 1 9b 1 1a 1 9aa 1 1 9(a1)2 6，1a 1 1a 19a 1当且仅当 9(a1)，即 a 时等号成立，1a 1 43
16、最小值为 6.故选 B.4已知 a0，b0，若不等式 0 恒成立，则 m 的最大值为( )m3a b 3a 1bA4 B16 C9 D3答案 B解析 因为 a0，b0，所以由 0 恒成立得 m( )(3ab)10 恒m3a b 3a 1b 3a 1b 3ba 3ab成立因为 2 6，3ba 3ab 3ba3ab当且仅当 ab 时等号成立，所以 10 16，3ba 3ab所以 m16，即 m 的最大值为 16，故选 B.5已知 x，y(0，)，2 x3 ( )y，若 (m0) 的最小值为 3，则 m 等于( )12 1x myA2 B2 C3 D42答案 D解析 由 2x3 ( )y得 xy 3
17、，12 (xy)( )1x my 13 1x my (1m )13 yx mxy (1m2 )(当且仅当 时取等号)13 m yx mxy (1m2 )3，解得 m4，故选 D.13 m6已知直线 axby c 1 0(b，c 0) 经过圆 x2y 22 y50 的圆心，则 的最小值4b 1c是( )A9 B8 C4 D2答案 A解析 圆 x2y 22y50 化成标准方程，得 x2(y1) 2 6，所以圆心为 C(0,1)，因为直线 axby c 10 经过圆 心 C，所以 a0b1c10，即 bc1.因此 (bc)( ) 5.4b 1c 4b 1c 4cb bc因为 b，c0，所以 2 4.
18、4cb bc 4cbbc当且仅当 时等号成立4cb bc由此可得 b2c，且 bc1，即 b ，c 时 ， 取得最小值 9.23 13 4b 1c7已知 x0，y 0，x 3yxy9，则 x3y 的最小值为_答案 6解析 由已知得 x .9 3y1 y方法一 (消元法)x0，y 0，0y3，x3y 3y 3(y1)69 3y1 y 121 y2 66，当且仅当 3(y1)，121 y3y 1 121 y即 y1，x3 时，(x 3y )min6.方法二 x 0，y0,9(x 3y )xy x(3y) 2，当且仅当 x3y 时等号成立设13 13(x 3y2 )x3yt0，则 t212t1080
19、， ( t6)(t18)0，又t0，t6.故当 x3，y1 时， (x3y) min6.8已知三个正数 a，b，c 成等比数列，则 的最小值为 _a cb ba c答案 52解析 由条件可知 a0，b0，c 0，且 b2ac，即 b ，故 2，令 t， 则aca cb 2acb a cbt2，所以 yt 在2 ，) 上单调递增，1t故其最小值为 2 .12 529已知 x，yR 且满足 x22xy4y 26，则 zx 24y 2 的取值范围为_答案 4,12解析 2xy6(x 24y 2)，而 2xy ，x2 4y226(x 24y 2) ，x2 4y22x 24y 24(当且仅当 x2y 时
20、取等号) ，又(x 2y)2 62xy0，即 2xy6，zx 24y 262xy12(当且仅当 x2y 时取等号)，综上可知 4x 24y 212.10当 x(0,1)时，不等式 m 恒成立，则 m 的最大值为_41 x 1x答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得m ，1x 41 x设 f(x) ，x(0,1)1x 41 x 1 x 4xx1 x 3x 1 x2 x令 t3x1，则 x ，t(1,4)，t 13则函数 f(x)可转化为 g(t) ，t (t 13 )2 t 13t 19t2 59t 49 9t t2 5t 49 t 4t 5因为 t(1,4)，所以 5t 4，4t0(
21、t )5 1， 9，4t 9 t 4t 5即 g(t)9 ，)，故 m 的最大 值为 9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得 m ，因为 x(0,1)，则 1x(0,1)，设1x 41 xy1x(0,1)，显然 xy1.故 1x 41 x 1x 4y x yx 4x yy5( ) 52 9，yx 4xy yx4xy当且仅当 ，即 y ，x 时等号成立yx 4xy 23 13所以要使不等式 m 恒成立，m 的最大值为 9.1x 41 x11运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50x100( 单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油
22、升，司机的工资是每小(2 x2360)时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解 (1)设所用时间为 t (小时)，130xy 2 14 ，x50,100130x (2 x2360) 130x所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是y x，x50,1002 340x 1318(2)y x26 ，2 340x 1318 10当且仅当 ，2 340x 13x18即 x18 时 等号成立10故当 x18 千米/时，这次行车的总费用最低，最低 费用的值为 26 元10 1012某种商品原来每件售价为 25 元，年
23、销售 8 万件(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入 (x2600)万元作为技改费用，投入 50 万元16作为固定宣传费用，投入 x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a 至少15应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解 (1)设每件定价为 t 元，依题意，有 t258，(8 t 251 0.2)整理得 t265t1 0000，解得 25t 40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元(2)依题意，x25 时，不等式 ax25850 (x2600) x 有解，16 15等价于 x25 时，a x 有解，150x 16 15 x2 10(当且仅当 x30 时，等号成立)，a10.2，150x 16 150x16x当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价 为 30 元
