1、专题 19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下
2、基本图形：S1S23 S4例题与求解【例 l】如图，矩形 ABCD 的对角线相交于 O，AE 平分BAD，交 BC 于E，CAE15，那么BOE_.EODB CA(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例 2】下面有四个命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ）A.1 B. 2 C. 3 D.4(全
3、国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例 3】如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD2，E，F 分别是边 AD，CD 上的两个动点且满足 AE+CF2.（1）判断BEF 的形状，并说明理由；（2）设BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围. EDA CBF(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2） ，只需求出 BE 的取值范围.【例 4】如图，设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点，PEAC 于点E，PF BC
4、于点 F，PGEF 于点 G，延长 GP 并在春延长线上取一点 D，使得 PDPC.求证：BCBD，BCBD. RDGFECA BP(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明CPBDPB，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例 5】在ABCD 中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 的延长线于点F.图3图2图1 GFDGFDFDB B BCA E CAE CA E（1）在图 1 中证明 CECF；（2）若ABC90，G 是 EF 的中点（如图 2） ，直接写出 BDG 的度数；（3）若ABC120，FG CE，FGCE，分别连结 DB，DG（如图 3） ，求BDG的度数
5、.(北京市中考试题)解题思路：对于（1） ，由角平分线加平行线的条件可推出图中有 3 个等腰三角形；对于（2） ，用测量的方法可得BDG=45，进而想到等腰直角三角形，连 CG，BD ，只需证明BGCDGF，这对解决（3） ，有不同的解题思路.对于（3）【例 6】如图，ABC 中，C90 ，点 M 在 BC 上，且 BMAC ，点 N 在 AC 上，且 ANMC，AM 与 BN 相交于点 P.求证：BPM 45. PNMB CA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移 AN 或 AC，
6、即作MEAN，MEAN，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，ABCD 中，BECD，BFAD，垂足分别为 E、F，若CE2，DF1，EBF60 ，则ABCD 的面积为_.图1F ECA BD2. 如图，ABCD 的对角线相交于点 O，且 ADCD，过点 O 作 OMAC ，交 AD 于点M，若 CDM 周长为 a，那么 ABCD 的周长为 _.图2MODB CA(浙江省中考试题)3. 如图，在 RtABC 中，B90 ，BAC 78 ，过 C 作 CFAB，连结 AF 与 BC相交于 G，若 GF2AC，则 BAG 的大小是_.图3GF CBA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形
7、ABCD 中，BEAF60，BAE20，则CEF 的大小是_.图4FAB DCE(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是 a，b，c，d，其中 a，c 为对边，且满足，则这个四边形一定是（ ）222abcdabA.两组角分别相等的四边形 B. 平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；菱形的对角线的平方和等于边长的平方的 4 倍.其中，正确的命题有（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB1，AD ，AF 平分
8、 DAB，过点 C 作 CEBD3于 E，延长 AF，EC 交于点 H，下列结论中：AF FH ； BOBF；CACH；BE3ED.正确的是（ ）A. B. C. D. 图7 HEFODB CA(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形 ABCD 的长为 a，宽为 b，如果 ，则 （ ）1234S4A. B. C. D. 38ab423 S1 S3S2S4图8CA BDEF(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形 ABCD，现有条件：AB DC ；AB DC ；AD BC；ADBC；AC；BD.从中取两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛
9、试题)10. 如图，ABC 为等边三角形，D、F 分别是 BC、AB 上的点，且 CDBF， 以AD 为边作等边ADE .（1）求证：ACDCBF ；（2）当 D 在线段 BC 上何处时，四边形 CDEF 为平行四边形，且DEF30，证明你的结论. EFAB CD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在 RtABC 中，ABAC，A90 ，点 D 为 BC 上任一点，DF AC 于F，DEAC 于 E，M 为 BC 中点，试判断 MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论. FEAMB CD(河南省中考试题)12. 如图，ABC 中，AB3，AC 4，BC5， ABD，ACE ，BCF 都是等
10、边三角形，求四边形 AEFD 的面积. EDFAB C(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知 ABCD 是平行四边形，E 在 AC 上，AE2EC，F 在 AB 上，BF2AF，如果 BEF 的面积为 2 ，则 ABCD 的面积是_.cm图1FEBDA C(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知 P 为矩形 ABCD 内一点，PA3，PD4，PC5，则 PB_.图2DBP CA(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，现将矩形折叠，使 B 点与 D 点重合，则折痕 EF 长为_.图3FEDB CA(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC
11、4，将矩形沿 AC 折叠，使点 D 落在点 处，交 AB 于点 F，则重叠部分 AFC 的面积为 _.CD图4FD CA BD(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD12，AB5，P 是 AD 边上任意一点，PEBD于 E，PFAC 于 F，那么 PE+PF 的值为_. 图5EFDB CAP(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形 ABCD 的边长为 4 cm，且ABC60，E 是 BC 的中点，P 点在 BD 上，则 PE+PC 的最小值为_.图6E DAB CP(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，ABC 的周长为 24，M 是 AB 的中点，MCMA5，则ABC 的面
12、积是（ ）A. 30 B. 24 C.16 D.12图7MB CA(全国初中数学联赛试题)8. 如图，ABCD 中，ABC 75 ，AFBC 于 F，AF 交 BD 于 E，若 DE2AB，则AED 的大小是（ ）A. 60 B. 65 C.70 D.75图8EFBDAC9. 如图，已知AB， ， ， 均垂直于 ， 17， 16，1AP1B1A11P20， 12，则 AP+PB 的值为（ ）11A. 15 B.14 C. 13 D.12图9BA1 B1P1PA(全国初中数学联赛试题)10. 如图 1，ABC 是直角三角形，C90 ，现将ABC 补成矩形，使ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点
13、，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形 ACBD 和矩形 AEFB（如图 2）.图1 图2 图3FEDB C AB CCA BA解答问题：（1）设图 2 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 ， ，则 _ （填1S212S“”、 “”或“ ”）.（2）如图 3，ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图 3 画出来.（3）如图 4，ABC 是锐角三角形且三边满足 BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图 4 画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4AB C(陕西中考试题)11.四边形 ABCD 中，AB BCCDDA ，BAD 120 ，M 为 BC 上一点，N 为CD 上一点 .求证：若AMN 有一个内角等于 60，则AMN 为等边三角形.12. 如图，六边形 ABCDEF 中，ABDE，BCEF，CDAF，对边之差BC EFED ABAF CD0.求证：该六边形的各角相等. ECAB DF(全俄数学奥林匹克试题)
