1、专题 07 分式的化简与求值阅读与思考给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标又要抓住条件，既要根据目标变换条件又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1恰当引入参数；2取倒数或利用倒数关系；3拆项变形或拆分变形；4整体代入；5利用比例性质等例题与求解【例 l】 已知 ，则代数式 的值为 2310a361a（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出 的值，但可以求出 ，
2、需要对所求代数式变形含“ ”3a1a【例 2】 已知一列数 且 ， ，1234567,a18752，则 为（ ）356142 7a5A648 B832 C1168 D1944 （五城市联赛试题）解题思路：引入参数 ，把 用 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路k17a:k【例 3】 3(0)xyz求 222()()()aazax（宣州竞赛试题）解题思路：观察发现，所求代数式是关于 的代数式，而条件可以拆成xayza、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程xayza、【例 4】 已知 求 的值1,2,3,xyzx（上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一
3、次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式【例 5】 不等于 0 的三个正整数 满足 ，求证： 中至少有两个互为相,abc11cab,abc反数解题思路： 中至少有两个互为相反数，即要证明 ,abc ()()0（北京市竞赛试题）【例 6】 已知 为正整数，满足如下两个条件：,abc 32;abc 求证：以 为三边长可以构成一个直角三角14abc,形解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答（全国初中数学联赛试题）能力训练1若 ，则 的值是 abcdabcd（“希望杯”邀请赛试题）2已知 ，则 213x2491x（广东竞赛试题）3若 且 ，则222198,19,0axbxcx24abc1cabc
4、的值为 （“缙云杯”竞赛试题）4已知 ，则 235xy1xy5如果 ，那么 （ ） 1,abccaA1 B2 C D1214（“新世纪杯”竞赛试题）6设有理数 都不为 0，且 ，则 的,abc0abc22222bcabac值为（ ） A正数 B负数 C零 D不能确定7已知 ，则 的值为（ ） 4360,270()xyzxyzx223657xyzA0 B1 C2 D不能确定8已知 ，则 的值为（ ）2xm361xmA1 B C D32213m9设 ，求 的值0abc222abccab10已知 其中 互不相等，求证 11xyzx,yz21xyz（天津市竞赛试题）11设 满足 ，,abc11cab求
5、证 （ 为自然数）212121nnncn（波兰竞赛试题）12三角形三边长分别为 ,abc（1）若 ，求证：这个三角形是等腰三角形；abc（2）若 ，判断这个三角形的形状并证明1bc13已知 ，求 的值1axbycz444444111abcxyz（“华杯赛”试题）14解下列方程（组）：（1） ；8272938xx（江苏省竞赛试题）（2） ；564116xx（“五羊杯”竞赛试题）（3） 2134xyzzxy（北京市竞赛试题）B 级1设 满足 ， ，若 ，,abc0cababcx，则 11()()()y23y2若 ，且 ，则 0abcbca()()bca3设 均为非零数，且 ，则 , (),4cbc
6、4已知 满足 ，则 的值为 ,xyz1xyzx22yzzx5设 是三个互不相同的正数，已知 ，那么有（ ） ,abcacbbaA B C D323222ab6如果 ， ，那么 的值为（ ） 014abc1cA3 B8 C16 D207已知 ，则代数式 的值为（ ） 25190x42()(1)xA1996 B1997 C1998 D199998若 ，则 的值为（ ） 6532yxy224563xyA B C5 D699（全国初中数学联赛试题）9已知非零实数 满足 ,abc0c（1）求证： ；33（2）求 的值()()abcabc（北京市竞赛试题）10已知 ，且 求 的值2410a42313am（
7、北京市竞赛试题）11完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的 倍，乙单独做所需时间为甲、p丙两人合做所需时间的 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的 倍，q x求证： 21px(0)（天津市竞赛试题）12设 ，当 时，222222,bcacbacABCb3ABC求证： 20023C（天津市竞赛试题）13某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯） 如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨 1 级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的 2 倍已知男孩走了 27 级到达扶梯顶部，而女孩走了 18 级到达顶部（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离） 求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？ （江苏省竞赛试题）
