1、第2节 一元二次不等式及其解法,考纲展示,知识梳理自测,考点专项突破,易混易错辨析,知识梳理自测 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.若a0,则函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0与不等式ax2+bx+c0之间有何关系? 提示:对于函数y=ax2+bx+c,令y=0可得ax2+bx+c=0,令y0可得ax2+bx+c0,也就是说函数y=ax2+bx+c的零点是方程ax2+bx+c=0的根,也是不等式ax2+bx+c0解集的端点值. 2.一元二次不等式ax2+bx+c0恒成立的条件是什么?,知识梳理,1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系,2.一元二次不等式ax2
2、+bx+c0(a0)的求解过程用程序框图表示为,双基自测,1.不等式(x-1)(2-x)0的解集为( ) (A)x|1x2 (B)x|x1或x2 (C)x|12,A,解析:由(x-1)(2-x)0可知(x-2)(x-1)0, 所以不等式的解集为x|1x2.,(A)-2,1 (B)(-2,1 (C)(-,-2)(1,+) (D)(-,-2(1,+),B,B,4.不等式x2+ax+40的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .,解析:因为x2+ax+40的解集不是空集,则x2+ax+4=0一定有解. 所以=a2-4140,即a216, 所以a4或a-4. 答案:(-,-44,+),考点专项突破 在讲
3、练中理解知识,考点一,一元二次不等式的解法,【例1】 解下列不等式: (1)x2-7x+120;(2)-x2-2x+30;,解:(1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4.而y=x2-7x+12的图象开口向上,可得原不等式x2-7x+120的解集是x|x4. (2)不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x2+2x-30. 方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1. 而y=x2+2x-3的图象开口向上,可得原不等式-x2-2x+30的解集是x|-3x1.,反思归纳 解一元二次不等式的步骤:(1)将二次项系数化为正数.(2)解相应的一元二次方程.(3)根据一元二次方程的根,结合不
4、等号的方向画图.(4)写出不等式的解集.,跟踪训练1:(1)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是( ) (A)-3,1 (B)(-3,1) (C)(-,-31,+) (D)(-,-3)(1,+) (2)不等式-x2-3x+40的解集为 .(用区间表示),解析:(1)由题意得x2+2x-30, 即(x-1)(x+3)0,解得x1或x0(x+4)(x-1)0-4x1. 答案:(1)D (2)(-4,1),考点二,含参数的一元二次不等式的解法,【例2】 导学号 18702278 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.,解:原不等式可化为(x-1)(ax-1)1.,反思归纳 解含参
5、数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于零,还是大于零,若小于零将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.,跟踪训练2:解关于x的不等式ax2-22x-ax(aR).,考点三,一元二次不等式恒成立问题,反思归纳 (1)一元二次不等式恒成立问题,对于x变化的情形,利用参变量分离法,化成af(x)(af(x)max(af(x)min),求出参数范围.也可化归为二次函数,由于是轴动区间定,结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调
6、性等相关知识,求出参数范围.(2)对于参数变化的情形,大多利用参变量转换法,即参数转换为变量;变量转换为参数,把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式,化繁为简,然后再利用一次函数的单调性,求出x的取值范围.,跟踪训练3:(1)设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围;,(2)对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12x+a成立的x的取值范围.,考点四,一元二次不等式的实际应用,【例4】 导学号 18702280某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加 x成.
7、要求售价不能低于成本价. (1)设该商品一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;,(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.,反思归纳 求解不等式应用题的方法 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. (2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型. (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.,跟踪训练4:某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本
8、为C=500+30x元,则该厂日产量为 时,日获利不少于1 300元.,解析:由题意,得(160-2x)x-(500+30x)1 300,化简得x2-65x+9000,解之得20x45.因此,该厂日产量在20件至45件时,日获利不少于1 300元. 答案:20件至45件,备选例题,【例1】 已知a=(1,x),b=(x2+x,-x),m为实数,求使m(ab)2-(m+1)ab+10成立的x的范围.,【例2】 (2017山西忻州质检)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m0的解集;,解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n)
9、. 当m=-1,n=2时,不等式F(x)0, 即a(x+1)(x-2)0. 当a0时,不等式F(x)0的解集为x|x2; 当a0的解集为x|-1x2.,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,忽视对参数的讨论致误 【典例】对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40恒成立,则实数a的取值范围是( ) (A)(-,2) (B)(-,2 (C)(-2,2) (D)(-2,2,易错分析:(1)解决本题易忽视二次项系数等于零的情况. (2)对含参数的不等式问题,易因分类标准的选择不准而致误.对含参的一元二次不等式在进行解题时一般有三个分类标准:一是对二次项系数分等于0和不等于0进行分类;二是对判别式0,0时,对两根的大小比较进行分类.,
